辽宁省锦州市凌海安屯中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析

辽宁省锦州市凌海安屯中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为()A. B.

C.或－ D.和－参考答案：C【分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°，∴由对称性可知k=±．故选C．【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．2.设等差数列的前n项和为，若则正整数k=（

）A.10

B.11

C.12

D.13参考答案：D略3.若集合，则CBA=

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．以上都不对参考答案：A略4.函数的零点个数为 A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B由得，在同一坐标系中做出函数的图象，由图象可知两函数的交点有1个，即函数的零点个数为1，选B.5.在中，设三边的中点分别为，则

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】单元综合F4【答案解析】A

如图，=()，=(+)，所以．故选A．【思路点拨】根据向量加法的平行四边形法则即可求出=()，=(+)，所以．6.在如图所示的程序框图中，当时，函数等于函数的导函数，若输入函数，则输出的函数可化为（

）A.

B.

C.D.参考答案：C7.集合A={0,2，a},B={a2},若A∪B=A，则a的值有A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：C8.如图2，正三棱柱的主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为(

)A．

B．

C．

D．16参考答案：A由主视图可知，三棱柱的高为4，底面边长为4，所以底面正三角形的高为，所以侧视图的面积为，选A.9.设0＜x＜，记a=lnsinx，b=sinx，c=esinx，则比较a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】分别判断a，b，c的大小即可得到结论．【解答】解：∵0＜x＜，∴0＜sinx＜1，则lnsinx＜0，1＜esinx＜e，即a＜0，0＜b＜1，1＜c＜e，故a＜b＜c，故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数，对数函数的性质求出a，b，c的取值范围是解决本题的关键，比较基础．10.复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

参考答案：【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体的直观图是四面体，求出每个面的面积，即可得出结论．【解答】解：几何体的直观图是四面体，每个面的面积分别为+2×2++=，故答案为．12.曲线y＝2sinx(0≤x≤π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积为________．参考答案：略13.已知函数若使得，则实数的取值范围是

.参考答案：略14.实数满足不等式组，则的取值范围是_______________.参考答案：略15.已知点是的中位线上任意一点，且，实数，满足．设，，，的面积分别为，，，，记，，．则取最大值时，的值为

．参考答案：略16.设向量满足：则向量的夹角为

．参考答案：17.若直线与直线互相垂直，则实数=_____________________参考答案：1本题主要考查了两条直线的位置关系，难度较小。由于直线x－2y+5=0与直线2x+my－6=0互相垂直，则有1×2－2×m=0解得m=1，故填1；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.

（1）若时，讨论函数的单调性；（2）若，过作切线，已知切线的斜率为，求证：.参考答案：解：(1)由已知得：.①若，当或时，；当时，，所以的单调递增区间为；单调递减区间为.②若，故的单调递减区间为；③若，当或时，；当时，；所以的单调递增区间为；单调递减区间为.综上，当时，单调递增区间为；单调递减区间为，.当时，的单调递减区间为；当时，单调递增区间为；单调递减区间为,.(2),设切点，斜率为①

所以切线方程为，将代入得：②由①知代入②得：，令,则恒成立，在单增，且，，令，则，则在递减，且.19.函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＜0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g（x）的图象．（1）求函数y=g（x）的解析式；（2）在△ABC中，内角A，B，C满足2sin2=g（C+）+1，且其外接圆的半径为1，求△ABC的面积的最大值．参考答案：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）由图知周期T，利用周期公式求出ω，由f（）=1，结合|φ|＜求出φ，利用三角函数图象平移求出g（x）的解析式；（2）利用三角函数恒等变换与三角形内角和定理，化简求C的值，由正弦、余弦定理，基本不等式求出ab≤1，从而求出三角形面积的最大值．【解答】解：（1）由图知，=4×（+），解得ω=2；∵f（）=sin（2×+φ）=1，∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，解得φ=2kπ+，k∈Z，由于|φ|＜，因此φ=；∴f（x）=sin（2x+），∴f（x﹣）=sin=sin（2x﹣），即函数y=g（x）的解析式为g（x）=sin（2x﹣）；（2）∵2sin2=g（C+）+1，∴1﹣cos（A+B）=1+sin（2C+），∵cos（A+B）=﹣cosC，sin（2C+）=cos2C，cosC=cos2C，即cosC=2cos2C﹣1，所以cosC=﹣或1（不合题意舍去），可得：C=；由正弦定理得=2R=2，解得c=，由余弦定理得cosC==﹣，∴a2+b2=3﹣ab≥2ab，ab≤1，（当且仅当a=b等号成立），∴S△ABC=absinC=ab≤，∴△ABC面积最大值为．【点评】本题考查了三角函数周期公式、图象平移与三角函数恒等变换、内角和定理以及正弦、余弦定理，基本不等式的应用问题，是综合题．20.2018年9月16日下午5时左右，今年第22号台风“山竹”在广东江门川岛镇附近正面登录，给当地人民造成了巨大的财产损失，某记着调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五组，并作出如下频率分布直方图（图1）.（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，记者调查的100户居民捐款情况如下表格，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.

经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元60

捐款不超过500元

10

合计

图2

附：临界值表：P(K2≥k)0.100.050.025k2.7063.8415.024

随机变量K2=参考答案：解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有人，经济损失超过4000元的有100-70=30人，

则表格数据如下

经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元602080捐款不超过500元101020合计7030100

由于，所以有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率.由题意知的取值可能有，

经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30

捐款不超过500元

6

合计

经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30

捐款不超过500元

6

合计

经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30

捐款不超过500元

6

合计

，，，，

，从而的分布列为

，

21.学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分．现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：规定若满意度不低于98分，测评价该教师为“优秀”．（I）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；（Ⅱ）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望．参考答案：考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设Ai表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”，至多1人评价该教师为“优秀”记为事件A，由P（A）=P（A0）+P（A1），能求出至多有1人评价该教师是“优秀”的概率．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．解答：解：（Ⅰ）设Ai表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”，至多1人评价该教师为“优秀”记为事件A，则P（A）=P（A0）+P（A1）==．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=（）3=，∴ξ的分布列为：

ξ0123

PEξ==0.9．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．22.如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为边长为2的等边三角形，，为中点．（Ⅰ）证明：