北京第九十六中学2022年高一数学理期末试题含解析

北京第九十六中学2022年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D

解析：2.已知集合P={x|x≥2}，Q={x|1＜x≤2}，则（?RP）∩Q=（）A．[0，1） B．（0，2] C．（1，2） D．[1，2]参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，写出计算结果即可．【解答】解：集合P={x|x≥2}，Q={x|1＜x≤2}，则?RP={x|x＜2}，（?RP）∩Q={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：C．3.实数a，b满足，则下列不等式成立的是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C根据题意，依次分析选项：

对于A.时，成立，故A错误；

对于B、时，有成立，故B错误；对于D、，有成立，故D错误；

故选：C．

4.已知向量与单位向量的夹角为，且，则实数m的值为（

）A.

B. C. D.参考答案：C因为向量，则||3，由单位向量，则||＝1，6m，由数量积表示两个向量的夹角得：，则m＞0且64m2＝9，解得：m，故选：C．

5.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，其中主视图和左视图均为等腰三角形，俯视图是一个正方形，则这个四棱锥的体积是（） A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】数形结合；数形结合法；立体几何． 【分析】根据三视图计算三棱锥的底面积和高，代入体积公式计算． 【解答】解：由三视图可知四棱锥底面正方形对角线为2，∴棱锥底面积S==2， 由左视图可知棱锥的高h=． ∴四棱锥的体积V===2． 故选：B． 【点评】本题考查了棱锥的三视图和结构特征，属于基础题． 6.已知各个顶点都在同一球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（

）A.12π B.16π C.20π D.24π参考答案：A【分析】先求出外接球的半径，再求球的表面积得解.【详解】由题得正方体的对角线长为，所以.故选：A【点睛】本题主要考查多面体的外接球问题和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.偶函数在上单调递增，则与的大小关系是

（

）

A.

B．

C．

D．

参考答案：D8.满足且，则终边在（

）。A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限参考答案：B略9.若，，且，则与的夹角是Ａ．30°

Ｂ．45° Ｃ．60° Ｄ．75°参考答案：B10.已知全集U＝R，集合M＝{x|x2<1}，N＝{x|x2－x<0}，则集合M，N的关系用韦恩(Venn)图可以表示为()参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等比数列中，，，则____________。参考答案：512略12.等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为．参考答案：

13.已知物体作直线运动，其速度v与时间t的图象如图，则有

①物体先加速运动，后匀速运动，再减速运动；

②当t=0时，物体的初速度为0；

③物体加速度分别是3，0，–1.5；

④当t∈（3，5）时，行驶路程是t的增函数.以上正确的结论的序号是

.（要求写出所有正确的序号）

参考答案：①②③④14.已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=．参考答案：【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，确定最小值时的x值，然后确定ω的表达式，进而推出ω的值．【解答】解：如图所示，∵f（x）=sin，且f（）=f（），又f（x）在区间内只有最小值、无最大值，∴f（x）在处取得最小值．∴ω+=2kπ﹣（k∈Z）．∴ω=8k﹣（k∈Z）．∵ω＞0，∴当k=1时，ω=8﹣=；当k=2时，ω=16﹣=，此时在区间内已存在最大值．故ω=．故答案为：15.已知等比数列的首项为公比为则点所在的定直线方程为_____________________参考答案：略16.设△ABC的内角为A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且，，.则的值为______.参考答案：【分析】由正弦定理和题设条件，求得，又由余弦定理，解得，进而求得和的值，再利用三角恒等变换的公式，即可求解.【详解】由题意，根据正弦定理，则又由，所以，又由余弦定理可得，解答，所以，所以，又由，，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，以及三角恒等变换的化简求值，其中解答中合理应用正弦定理和余弦定理，求得的值，再准确利用三角恒等变换的公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.17.奇函数当时，,则当时，＝______________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.无穷数列{an}满足：为正整数，且对任意正整数n，为前n项a1、a2、…、an中等于an的项的个数.（1）若，求a2和a4的值；（2）已知命题P:存在正整数m，使得，判断命题P的真假并说明理由；（3）若对任意正整数n，都有恒成立，求的值.参考答案：（1），；（2）真命题，证明见解析；（3）.【分析】（1）根据题意直接写出、、的值，可得出结果；（2）分和两种情况讨论，找出使得等式成立的正整数，可得知命题为真命题；（3）先证明出“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件，由此可得出，然后利用定义得出，由此可得出的值.【详解】（1）根据题意知，对任意正整数，为前项、、、中等于的项的个数，因此，，，；（2）真命题，证明如下：①当时，则，，，此时，当时，；②当时，设，则，，，此时，当时，.综上所述，命题为真命题；（3）先证明：“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件.假设存在，使得“存在，当时，恒有成立”.则数列的前项为，，，，，，后面的项顺次为，，，，故对任意的，，对任意的，取，其中表示不超过的最大整数，则，令，则，此时，有，这与矛盾，故若存在，当时，恒有成立，必有；从而得证.另外：当时，数列为，故，则.【点睛】本题考查数列知识的应用，涉及到命题真假的判断，同时也考查了数列新定义问题，解题时要充分从题中数列的定义出发，充分利用分类讨论思想，综合性强，属于难题.19.（12分）某科技公司生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一台产品需要增加投入100元．已知年总收益R（元）与年产量x（台）的关系式是R（x）=（1）把该科技公司的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该科技公司所获得的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润=总收益﹣总成本）参考答案：考点： 分段函数的应用．专题： 应用题；函数的性质及应用．分析： （1）由于年产量是x台，则总成本为元，从而分段写出函数解析式即可；（2）当0≤x≤500时，利用配方法y=﹣（x﹣400）2+60000求最值，当x＞500时，利用单调性可得y=105000﹣100x＜105000﹣100×500=55000．从而解得．解答： （1）由于年产量是x台，则总成本为元．当0≤x≤500时，y=500x﹣x2﹣，即y=﹣x2+400x﹣20000；当x＞500时，y=125000﹣，即y=105000﹣100x．所以；（2）当0≤x≤500时，y=﹣（x﹣400）2+60000，所以当x=400时，ymax=60000；当x＞500时，y=105000﹣100x是减函数，即y=105000﹣100x＜105000﹣100×500=55000．综上，当x=400时，ymax=60000．即当年产量为400台时，该科技公司所获得的年利润最大，最大年利润为60000元．点评： 本题考查了分段函数在实际问题中的应用，属于中档题．20.已知函数，则方程的解集为__________.参考答案：{－1,1}【分析】分别考虑时的解，求出解时注意判断是否满足定义域的要求.【详解】当时，，所以或（舍）；当时，，所以或（舍）；所以解集为：.故答案为：.【点睛】本题考查函数与方程的简单应用，难度较易.已知是分段函数，求解方程的解时，可以根据的定义域分段考虑，求出每一段符合要求的解，最后写出解集.21.函数f（x）=log（2x﹣x2）的单调递减区间为(

)A．（0，2） B．（﹣∞，1] C．[1，2） D．（0，1]参考答案：D【考点】对数函数的图像与性质．【专题】分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】①当x∈（0，1）时，u（x）单调递增，f（x）=u（x）单调递减；②当x∈（1，2）时，u（x）单调递减，f（x）=u（x）单调递增．【解答】解：记u（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，u（x）的图象为抛物线，对称轴为x=1，且开口向下，令u（x）＞0解得x∈（0，2），①当x∈（0，1）时，u（x）单调递增，f（x）=u（x）单调递减，即原函数的单调递减区间为（0，1）；②当x∈（1，2）时，u（x）单调递减，f（x）=u（x）单调递增，即原函数的单调递增区间为（1，2）．故选D（x=1可取）．【点评】本题主要考查了对数型复合函数的性质，涉及函数的定义域和单调性及单调区间，属于中档题．22.（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A=AB=6，D为AC中点．（Ⅰ）求三棱锥C1﹣BCD的体积；（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）求证：直线AB1∥平面BC1D．参考答案：考点： 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题： 综合题．分析： （Ⅰ）先根据△ABC为正三角形，D为AC中点，得到BD⊥AC，求出△BCD的面积；再根据C1C⊥底面ABC即可求出三棱锥C1﹣BCD的体积；（Ⅱ）先根据A1A⊥底面ABC，得到A1A⊥BD，再结合BD⊥AC即可得到BD⊥平面ACC1A1．即可证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）连接B1C交BC1于O，连接OD，根据D为AC中点，O为B1C中点可得OD∥AB1，即可证：直线AB1∥平面BC1D．解答： （本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵△ABC为正三角形，D为AC中点，∴BD⊥AC，由AB=6可知，，∴．又∵A1A⊥底面ABC，且A1A=AB=6，∴C1C⊥底面ABC，且C1C=6，∴．

…（4分）（Ⅱ）∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥BD．又BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC1A1．又BD?平面BC