九江市2023年第一次高考模拟统一考试理科数学

九江市2023年第一次高考模拟统一考试

数学试题（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号，第口卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，

答案无效.

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.

第I卷（选择题60分）

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合M={xeN|x2-2x-3WO},N={x|0WxW4},则Mp|N=（A）

A.{04,2,3}B.{1,2,3}C.{x|0WxW3}D.{x|lWxW3}

解:•.•M={xeN|-lWxW3}={O,l,2,3},.-.M0^={0,1,2,3},故选A.

2.复数z满足（l—i）z=2+4i,则z的虚部为（A）

A.3B.-3C.1D.-1

2+4i_(2+4i)(l+i)GA,

——-=-l+3i,虚部为3,故选A.

1-i-(l-i)(l+i)

2x-y20

3.若实数满足约束条件＜x+2y20,则2=》一丫的最大值为（D）

卜x+y-5C0

A.-1B.0C.1D.3

解：由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.易知目标函数2=兀-、的

最大值在8（2,-1）处取得，2„^=3.故选口

4.巴塞尔问题是一个著名的级数问题，这个问题首先由皮耶特罗•门戈利在1644年提出，由莱昂哈德•欧

拉在1735年解决.欧拉通过推导得出：1+,+,+…+3+-=W•.某同学

49n26（开始）

为了验证欧拉的结论，设计了如右算法计算1+,+1+…的值来估算,sum=0

4910002

则判断框填入的是（D）

i

A.n>1000B.n^lOOOsum=sum+-

C.n<1000D.H<1000

否

解：由程序框图可知，最后一次进入判断框时，〃=999,执行最后一次循环

是

n-1000,sum=sum+—7=1+—+—d---1----?―»输出sum,/^出sun/

体,故选D.w=w+l

100024910002

（结束）

5.设等比数列｛4｝的公比为q,前〃项和为S“，则“g〉0”是“｛SJ为递增数列”的(B)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：若q<0,q>0,则｛S“｝为递减数列.若｛S,｝为递增数列，则q=S2—£>0,a2=S3-S2>0,

.•.q=&>0.所以“q>0”是“｛3｝为递增数列”的必要不充分条件.故选B.

6.已知△ABC是边长为2的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上.若球。的表面积为8兀，则。到平

面A8C的距离为(B)

V5V6V15

A.—B.—D.--

333

设△ABC的外心为O',从而。么=殛，所求距离

解：4兀A?=8兀，.•.球。的半径/?=啦

3

22

7.已知函数f(x)的定义域为R,若/(2x+l)为偶函数，且/(x)+/(4-x)=2,")=2,则£/(〃)=(A)

n=l

A.23B.22C.19D.18

解：由f(x)+0(4-x)=2,令x=2得。(2)=1.令尤=1,得/⑴+/(3)=2,v/(l)=2,"(3)=0.

因为/(2x+l)为偶函数，.•J(2x+l)=/(—2x+l),BP/(l+x)=/(l-x),.•.曲线/(%)关于直线x=l对称.

又•••/W+/(4-x)=2,A/W图像关于点(2,1)中心对称，・・・f㈤的周期T=4x(2-1)=4.

...”4)=/(0)=/⑵=1,川)+”2)+/(3)+/(4)=4,£/(〃)=5x4+/(I)+/(2)=23.故选A.

M=1

VV2

8.已知双曲线=1(。>0/>0),过点加(2,0)作£的一条渐近线/的垂线,垂足为/\过点用

ab~

作x轴的垂线交/于点2,若△MP。与△MP。的面积相等(。为坐标原点)，则£的离心率为(C)

A.—B.—C.V2D.V3

23

解：•.•△MPQ与△MP。的面积相等，二P为OQ的中点，故△OMQ为等腰直角三角形，

UL

ZMOQ=45°=1,a2=b2,^a2=c2-a2,e2=2,e=j2,故选C.

a

9.在正方体ABC。-中，点M为棱AB上的动点，则4M与平面A6GR所成角的取值范围为

(C)

B.

呜申63叫T叫申

解：设4904。=。，连接。M,•.•4O_L平面45Go1,，/4加。即为4M与平面所成

角氏设AA=2,tan6=^=正，•.•夜40M4右，：.tan。e［正，1］,;.6e［二,乌］,故选C.

'0M0M364

10.已知浣,3为单位向量，则向量记+25与［夹角的最大值为（A）

+cosa+2

解：设<九〃>=a,贝!Jcos<m+2〃,几>二

卜〃+2/?||/?|j5+4cosa

产一59

,----------―一~^~+213J3

令1=，5+4cosa,ZG[1,3],cos<n?+271,n>—------------——(tH—)N—,

t4t2

当且仅当f=6时取等号，向量记+2工与［夹角的最大值为四.故选A.

6

11.为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为

主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生20人，女生30人，根据统计分析，男生组成绩和女生组

成绩的方差分别为•记该班成绩的方差为一，则下列判断正确的是（D）

A.$2=SJ+$2-B.$22SJ+$2-C-y2=2.y,-+3vD.S2》2S「+3s2-

2255

解:记男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为京亍，则

1__120_］9一2

S：=与［（芭_］）2+*2-左）2+…+（X2O-X）」=茄卫了:一32，,

二0,一2白0,—2—1——QV3V

工x；=20s；+20x,£寸=30s；+30y,xf--(20x+30y)=----------,

/=i/=i505

2192、[22s；+3s；2-23-22X+3K

•••s=—(>x；+>/)-/=--------+—x+—y-(----------y2

50£白5555

2s:+3s；6——2、2sl+3s：.,

=--------+—(x-y)22」------工，故选D.

5255

12.若对VxG,—)不等式(ax-4)Inx<2Ina-oxIn2恒成立,则实数〃的取值范围是（C）

A.(0,4e]B.(4A6+OO)C.[4Ve,+oo)D.(4e,+oo)

解：由已知得：a>0,(ax-4)lnx<21n6z-axln2o6/xln(2x)<2(lntz+21nx)，

arln(2x)、,八ln(2x)ln(ar2)

=-----------<ln(or)=—―.

22xax-

令/1(%)=—,则f(2x)<f(axj2,求导得/'(幻=匕少，.•./(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上

XX

单调递减，且当0<x<l时/(x)<0；当X>1时，/(x)>0.

・.,xw2XE(+，1),/(2x)v(),由/Q才/a)2及=的图象可知，2X<Q/

恒成立，即。〉一成立，而一€(4,4五)，.•.”246，故选C.

XX

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若$4=8,S7=35,则%=」—.

4q+6d=8

解得《

解:依题意得<a5=at+4d=7.

7al+21d-35d=2

14.2022年11月8日，江西省第十六届运动会在九江市体育中心公园主体育场开幕，这是九江市举办的规

模最大、规格最高的综合性体育赛事.赛事期间，有3000多名志愿者参加了活动.现将4名志愿者分配到

跳高、跳远2个项目参加志愿服务活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者,

4

则“恰好有一个项目分配了3名志愿者”的概率为二.

7

仙C\A:84

解：p=七二-=—=一

24-2147-

7T

15.已知函数/(x)=2cos3x+°)(。>0)的最小正周期为兀，/(x)的图像关于点(五,0)对称,

5兀

/(0)>().若/(x)在［0,m］上存在最大值2,则实数机的最小值是」.

6

2jr7t7T7T

解：*:T=——=兀，69=2,:.—+(p=kjt+—,keZ,即夕=&兀+—,&wZ,又/(0)=2cos°>0,

CD623

7TITTVTVTT

:.(p=2k}n-\--.kGZ,/.f(x)=2cos(2x+y),%£[0,加]时,2x+—G[—,+—],画图可知：

2m+->2it,解得加N逆，即机min=亚.

366

16.已知点4,8分别是抛物线。：了2=_48和圆E：Y+y2-2x+4y+4=0上的动点，点A到直线

/:x=2的距离为d,则|AB|+d的最小值为2&.

解：圆E的标准方程为(x-I)2+(y+2>=1,二E(l,-2),抛物线C的焦点为F(-l,0),准线方程为x=\,

：.\AF\=d-l,：.\AB\+d=\AB\+\AF\+l>\AE\-\+\AF\+l=\AE\+\AF\>\EF\=2yf2,即加国

的最小值为2血.

三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

△ABC中，内角A,5,C所对的边分别是a,O,c,已知b=2,2sinA=J5acosB.

(1)求角B的值；

(2)求AC边上高的最大值.

°

解：(1)由2sinA=,得＞一===.....1分

sinAv3cosB

由正弦定理，一=一丝，得上=——.....3分

sinAsinBsinBV3cosB

又。=2,/.sinB=V3cosB.....4分

即tanB=5/3.....5分

71

•/BG(0,71),：.B=—.....6分

⑵解法一：设AC边上高为人，

由余弦定理方=a2+c2-2accosB，得4=〃2+c?-2accos—.....7分

3

即/+—QC=4.....8分

22

•/n+c>2ac92ac-ac<4,即。cW4,当且仅当a=c时,等号成立.....10分

.0.S&ABC=耳acsinB—1-ac£(0,A/3].....11分

又，，力€(0，百]，4c边上高的最大值为6......12分

解法二：设AC边上高为"，

由正弦定理得，a=—^―sinA=±@sinA,c=—sinC=R^sinC.....7分

sinB3sin33

1.>/3V345/32.人•厂4、Q..八

d=—^csinB=——ac=——(---)sinAsinC=----sinAsinC.....8分

△A4ApBrC24433

因为A+3+C=兀，/.sinA=sin(B+C),

S^ABC--s*n(+C)sinC=sinCcosC+sin2C)

4百/百.l-cos2C、2>/3.小「兀、，百，c八

=------(—sin2C+------------)=-----sin(2C——)+——............10分

,/C€(0,—),2C—G(—,—))sin(2C—)G(—,1],S^.......11分

366662ABC

又S4ABC=；bh=h,;.he(0,61，AC边上高的最大值为6..........12分

18.(本小题满分12分)

如图，直角梯形ABCD中，AD//BC,ZBAD=90°,AB=AD=6,8c=2狡，将△ABO沿8。

翻折至△ABO的位置，使得AB_LAC,F为8C的中点.

(1)求证：平面A'BO，平面BCO；

⑵H为线段AC上一点，若二面角。一。尸一”的余弦值为口，求线段AH的长.

3

/.A5JL平面ACD..........1分

又CD$平面AC。，.•.CDLA'B..........2分

由直角梯形ABC。，ADHBC,ZBAD=90°,AB=AD=g,BC=26,得CDLBD..........3分

又4608。=8,48,8。£平面48。，；.。。，平面46。.....4分

又CD£平面BCD,平面A'BD1平面BCD..........5分

⑵取8。的中点E,连接AE,EF,

•：A'B-A'D,：.A'E±BD,又平面A'BO_L平面BCD,A'E_L平面BCD,

为5。的中点，尸为8C的中点，.•.EF//。。，又CDLBD,

EF_LBD..........6分

故以所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标

系，则E(0,0,0),4(0,0,1),D(-1,0,0),尸(0,1,0),C(-1,2,0),

设丽=4祝,则”(一424,1—2)...........7分

设平面〃。厂的一个法向量为〃?=(x,y,z),

vZ)F=(1,1,0),DH=(l-2,2/l,l-/l),

'---------

m-DF=0x+y=032-1-34-1

,，令尤=1,得y=—l,z•，即〃2=(1,—1,三」)

m-DH=0(l-2)x+2Ay+(l-/l)z=01-21-2

9分

平面CDF的一个法向量为n=(0,0,1).........10分

,32-1,

—-•I_______I!—

.[cos(而＞=1"吗=,T=虫,解得2=，或2=0(舍)11分

川,同32

即”为AC的中点，故线段A'H的长为g|A'C\=—..........12分

19.(本小题满分12分)

飞行棋是一种竞技游戏，玩家用棋子在图纸上按线路行棋，通过掷骰子决定行棋步数.为增加游戏乐趣，

往往在线路格子中设置一些“前进”“后退”等奖惩环节，当骰子点数大于或等于到达终点的格数时，玩

家顺利通关.已知甲、乙两名玩家的棋子已经接近终点，其位置如图所示：

■>

、-

-刖LX.进14*后退

乙甲一以、卢八、、

1步3步

(1)求甲还需抛掷2次骰子才顺利通关的概率；

(2)若甲、乙两名玩家每人最多再投掷3次，且第3次无论是否通关，该玩家游戏结束.设甲、乙两玩家

再投掷骰子的次数为X,Y,分别求出X,Y的分布列和数学期望.

解：(1)甲第1次抛掷未到达终点，其点数应小于4..........1分

若第1次掷出的点数为1,根据游戏规则，棋子前进1步后可再前进1步，到达距离终点差2步的格子,

第2次掷出的点数大于1,即可顺利通关，其概率为6=!乂2=堤.....2分

若第1次掷出的点数为2,棋子到达距离终点差2步的格子，第2次掷出的点数大于1,即可顺利通关，

其概率为2=4*^=旻.......3分

6636

若第1次掷出的点数为3,根据游戏规则，棋子到达距离终点差1步的格子后需后退3步，又回到了原位,

第2次掷出的点数大于3,可顺利通关，其概率为6=!、4=上.....4分

故甲抛掷2次骰子顺利通关的概率为P=6+2+片=磊+9+上………5分

(2)依题意得尸(X=1)=W3=1《，P(X=2)=弓13，P(X=3)=1—1[-123=弓5……7分

623623636

D/V1、21D/V/-)\111515114D/VQ\।142n八

p(y=i)=d=W，p(r=2)=-x-+-x-+-x-+-x-=-1P(Y=3)=I----=-•……1。分

X123Y123

135142

pP

23636399

I1355914217

E（X）=1X=+2X^+3X3=WE（y）=lx1+2x|+3x|=^..........12分

2363636

20.（本小题满分12分）

22

X2y

如图，已知椭圆G：f+T=1(。＞人＞())的左右焦点分别为丹，尸2,点A为a上的一个动点(非左右

ab,「

顶点)，连接并延长交G于点8,且△AB"的周长为8,^AF]F2

面积的最大值为2.

(I)求桶圆G的标准方程;

(2)若椭圆的长轴端点为£,鸟，且G与G的离心率相等，P为AB与

G异于片的交点，直线尸弱交G于M，N两点，证明：IA3I+IMNI为定值.

解：⑴•.・△A3鸟的周长为8,由柳圆的定义得4。=8,即a=21分

又用面积的最大值为2,：.--2c-b=2,即be=2...........2分

2

a2=b2+c2,b2+c24,b2+=4,解得。=a..........3分

22

椭圆a的标准方程为三+工=1...........4分

142

2

2

⑵由⑴可知6（—也,0）,/=；（V2,0）,.-.C2：y+y=l..........5分

设尸(玉),%),A(X|,y),B(x2,y2),•点P在曲线上，，龙；+2y：=2...........6分

依题意，可设直线AB,MN的斜率分别为配网，

则AB,MN的方程分别为y=6(x+&)，y=kga),

乂一如一片)

1八

于是占•后2=---'0'/—>0•••999••,7

2

-X0+A/2

y=K（x+扬

联立方程组＜工22,消去y整理，得（2婷+1）/+4瓜5+4将-4=0,

—+^-=1

142

4岳：4"-4

，芯+%=—^77,凡.尤2=^7?8分

AB|=师4XR=户卜好了-4•舒=9分

4々2+4

同理可得：|MN|二T-10分

2月+1

,1―

24(------)~+42

71n4公+42k184+2

・・・&=------，・•.MN=­々—=-----------------=—4—11分

2k,2公+1,1、242号+1

।/z(------------)十11

2k：

，22

,■,IA8|+|MN|=4Tk—+4+江81-一+2=6为定值.....12分

2#+124+1

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=mef"+Inx(机〉0).

(1)求证：曲线/(x)在x=l处的切线斜率恒大于0；

(2)讨论/(x)极值点的个数.

2tn

1_trtrp_桃2

解：(1)f\x)=-nrc^+-=--学(x>0),.•・广⑴=......1分

xxee

令夕(阳)=e"'-加2(“2〉0),则夕'(加)=e"—2机，(p"{m)-e1"-2,

易知(p"{tn)在(0,+oo)上单调递增，且*"(ln2)=eln2-2=0.........2分

.,.当xe(0/n2)时，(p\in)<0,单调递减，当尤e(In2,+8)时，(p\)n)>0,(加)单调递增,

(p'(m)>"(In2)=eg—2In2=2(1—In2)>0,(p[m)在(0,+oo)上单调递增.....3分

.•.夕(加)>e(0)=1>0,.•./()>(),即曲线/(x)在x=l处的切线斜率恒大于0.........4分

⑵令g(x)=entv-m2x(x>0),则g'(x)=m(Q,nx-/«),

显然g'(x)在(0,+oo)上单调递增，由g'(x)=0,得了=皿.....5分

m

，当xe(0,@时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当无w(孙竺,+8)时，g'(x)〉0,g(x)单调递增，

mm

Inm

•••g(x)min=g(-----)=皿1_]nm)..........6分

m

①当0<mWe时，g(x)min>0,.-.^(x)>0)/'(x)N0,.•J(x)在(0,+oo)上单调递增，/(x)无极值

点.....7分

②当相>e时，g(X)min<。，

IniTiIn

•.•g(O)=l〉O,g(四”)<0,所以存在唯一的玉e(0,巴丝)，使得g(X1)=0,即/G)=0

mm

.....8分

当xe(0,再)时，g(x)>g(须)=0,即/'(x)>0,/(x)单调递增；

Inyn

当x£(x，上竺)时，g(x)<ga)=o,即ra)<o,/(不)单调递减.

m

.•・不是/(x)的极大值点.....9分

x2,nw

又8⑴=e"‘一机之，由(1)知g⑴>o,且当1>1时，e>x>x,,/m>e,Inm>1,e>\nmf

rm、i1nmi

即机>In机，/.---<1,

m

Invyi

所以存在唯一的马£(巴丝』)，使得g(X2)=0,即r(/)=0.....10分

m

Intyi

当巧)时,g(X)<g(X2)=0,即f'(x)<0,/(x)单调递减；

m

当xe(无2，+°°)时，g(x)>g(>2)=0，即/'(x)〉0，/(x)单调递曾，

马是/(x)的极小值点.....11分

综上所述，当0<〃?4e时，/(尤)无极值点；当机〉e时，/(x)有一个极大值点和一个极小值点.

12分

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

2

X=---

1_1_f-7

在直角坐标系xQy中，已知曲线C的参数方程为，1；；"为参数)，以。为极点，x轴的正半轴为极

y--7

i+厂

轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为0sin(e-a)=cosa(«为直线I的倾斜角).

(1)求直线/的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

(2)设P((),l),直线/与曲线C相交于AB两点，求」”匚的最大值.

\PA\-\PB\

解：(1)由x?sin(6-a)=cosa,得/7(sin0cosa-cos61sina)=cosa.....1分

由x=/7cos。，y-psin^,得直线/的直角坐标方程为xsina-ycosa+cosa=02分

2

'="2

l+t(/为参数)，两式相除得z=?(xw0)

由，3分

2tx

y=~2

l+r

2

X=-------,整理得曲线C的普通方程为(X-1)2+丁=1(xw0)......4分

1+(，)2

X

x=tcosa

(2)解法一：直线/经过点P(O,1)，：./的参数方程为4(f为参数)，

y=1+