陕西省咸阳市永红中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

陕西省咸阳市永红中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：A,选A.2.在下列各数中，最大的数是（

）A．

B．C、

D．参考答案：B3.已知函数及其导数，若存在，使得=，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是①，②，③，④，⑤

A.①③⑤

B.③④

C.②③④

D.②⑤参考答案：A①中的函数，。要使，则，解得，可见函数有巧值点；对于②中的函数，要使，则，由对，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于③中的函数，要使，则，由函数与的图象它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点；对于④中的函数，要使，则，即，显然无解，原函数没有巧值点；对于⑤中的函数，要使，则，即，设函数，且，，显然函数在上有零点，原函数有巧值点。4.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为A．

B．

C．2

D．1参考答案：A5.直线a、b是空间一组异面直线，长度确定的线段AB在直线a上滑动，长度确定的线段CD在直线b上滑动，△ACD的面积记为S，四面体ABCD的体积记为V，则（）A．S为常数，V不确定 B．S不确定，V为常数C．S、V均为常数 D．S、V均不确定参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据条件作出对应的图形，利用异面直线的性质以及四面体的体积进行判断即可．【解答】解：CD长度固定，但A到CD的距离是变化的，∴S不确定；取四面体的边AC、AD、BC、BD的中点，得到一个中间截面，可知该截面面积是个定值，a、b到该截面的距离也是定值，∴V是常数，故选：B6.已知函数，若当时，有解，则m的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】求得函数的导数，得到函数的单调性，以及的取值，再由导数的几何意义，即可求解。【详解】由题意，函数，则导数，所以函数在上递减，在上递增，当时，，又由，，，当时，有解，即函数和的图象有交点，如图所示，又因为在点的切线的斜率为，所以．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及方程的有解问题，着重考查了转化与化归思想、数形结合思想和推理、运算能力，对于方程的有解问题，通常转化为两个函数图象的交点个数，结合图象求解．7.若a＞b＞0，则下列不等式不成立的是

(

) A. B. C.lna＞lnb D.参考答案：A由不等式的性质知，所以不成立的不等式为A，答案选A.8.ABC中内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若，则A=

A．

B．

C．

D．参考答案：D9.如图，已知三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=2．则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（）A．，1， B．，1，1 C．2，1， D．2，1，1参考答案：B【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据题意，结合三视图的特征，得出x是等边△PAB边AB上的高，y是边AB的一半，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，分别求出它们的大小即可．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=2；∴x是等边△PAB边AB上的高，x=2sin60°=，y是边AB的一半，y=AB=1，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，z=AB=1；∴x，y，z分别是，1，1．故选：B．10.下面是关于复数的四个命题：①；②；③的共轭复数为；④的虚部为．其中正确的命题……………（） A．②③ B．①② C．②④ D．③④参考答案：C，所以。的共轭复数为，的虚部为，，所以②④ 正确，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.几何证明选讲选做题)如图，⊙O的直径=6cm，是延长线上的一点，过点作⊙O的切线，切点为，连接，若30°，PC=

。参考答案：略12.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=||+||为两点之间的“折线距离”，在这个定义下给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于2的点的轨迹是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个圆；③到M（-1,0），N（1,0）两点的“折线距离”之和为4的轨迹是面积为6的六边形；④到M（-1,0），N（1,0）两点的“折线距离”差的绝对值为3的点的轨迹是两条平行直线.其中正确的命题是_____________.（写出所有正确命题的序号）参考答案：①③13.由空间向量，构成的向量集合，则向量的模的最小值为

.参考答案：14.已知，当取最小值时，实数的值是

▲

．参考答案：试题分析：，当且仅当，即时取等号考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15.过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点P，若且，则双曲线的离心率为________参考答案：略16.已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣的取值范围是

．参考答案：

【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数的图象，求出x≥0时f（x）的最大值，判断零点的范围，然后推出结果．【解答】解：函数f（x）=，图象如图，函数g（x）=f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，即方程f（x）=t有三个不同的实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞0时，f（x）=，因为x+≥2（x＞0），所以f（x），当且仅当x=1时取得最大值．当y=时，x1=﹣2；x2=x3=1，此时﹣=，由=t（0），可得=0，∴x2+x3=，x2x3=1∴+=＞2，∴﹣=t+∵0，∴﹣的取值范围是．故答案为．【点评】本题考查函数的零点个数的判断与应用，基本不等式的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用．17.（2016秋?天津期中）D为△ABC的BC边上一点，，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若，其中λ＞0，μ＞0，则=

．参考答案：3【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，列出方程组求出λ与μ的表达式，即可求出+的值．【解答】解：如图所示，∵=+，=+=λ，∴=（1﹣λ）；又E，D，F三点共线，∴存在实数k，使=k=k（﹣）=kμ﹣kλ；又=﹣2，∴==﹣；∴（1﹣λ）=（kμ﹣kλ）﹣（﹣），即（1﹣λ）=（kμ﹣）+（﹣kλ），∴，解得μ=，λ=；∴+=3（1﹣k）+3k=3．故答案为：3．故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的加法、减法运算，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，是综合性题目．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）

已知定点C（-1，0）及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．???（1）若线段AB中点的横坐标是-，求直线AB的方程；???（2）在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1）,将y=k（x+1）代入x2+3y2=5,消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k2-5=0．

…………2分设A（x1,y1）,B（x2,y2）,①②

则

…………4分由线段AB中点的横坐标是-，得=-=-,解得k=±，适合①．

……………6分所以直线AB的方程为x-y+1=0,或x+y+1=0．………………7分（2）假设在x轴上存在点M（m，0），使为常数．（ⅰ）当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知x1+x2=-,x1x2=．③所以=（x1-m）（x2-m）+y1y2=（x1-m）（x2-m）+k2（x1+1）（x2+1）=（k2+1）x1x2+（k2-m）（x1+x2）+k2+m2．

…………9分将③代入，整理得=+m2=+m2=m2+2m--．

………………11分注意到是与k无关的常数，从而有6m+14=0，m=-，此时=．

………………12分（ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为、，当m=-时，亦有=．综上，在x轴上存在定点M，使为常数．…………14分19.（13分）在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有，且个，其余的球为红球．(Ⅰ)若，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；(Ⅱ)从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出的分布列，并求的数学期望．参考答案：解析：（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件A，则．所以，．答：三次取球中恰有2个红球的概率为．

………………4分（Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则整理得：，解得n=3（舍）或n=4．所以，红球的个数为3个．

………8分（Ⅲ）的取值为2，3，4，5，6，且所以的分布列为23456P所以，

………13分20.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和圆O分别交于点D和E.（1）求证：；（2）求AD·AE的值．参考答案：（1）见解析；（2）90.试题解析：（1）∵PA为圆O的切线，∴∠PAB＝∠ACP，又∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA，∴

5分（2）∵PA为圆O的切线，PBC是过点O的割线，∴PA2＝PB·PC，又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15，由（1）知，＝，∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225，∴AC＝6，AB＝3连接CE，则∠ABC＝∠E，又∠CAE＝∠EAB，∴△ACE∽△ADB，

∴所以AD·AE＝AB·AC＝3×6＝90

10分21.(本小题满分14分)已知函数．ks5u(Ⅰ）求函数的单调递增区间；ks5u(Ⅱ）当时，在曲线上是否存在两点，使得曲线在两点处的切线均与直线交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由；(Ⅲ）若在区间存在最大值，试构造一个函数，使得同时满足以下三个条件：①定义域，且；②当时，；③在中使取得最大值时的值，从小到大组成等差数列．（只要写出函数即可）参考答案：解：（Ⅰ）依题可得，当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，由，解得或，单调递增区间为和．

……………4分（Ⅱ）设切线与直线的公共点为，当时，，则，因此以点为切点的切线方程为．因为点在切线上，所以，即．同理可得方程.

……………6分设，则原问题等价于函数至少有两个不同的零点.因为，当或时，，单调递增，当时，，单调递减．因此，在处取极大值，在处取极小值．若要满足至少有两个不同的零点，则需满足解得．故存在，且交点纵坐标的取值范围为．

………10分(Ⅲ）由(Ⅰ）知，，即．

………