课件08一元二次方程的根与系数的关系九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第1章一元二次方程1.3一元二次方程的根与系数的关系目录1

学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6随堂检测1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点）学习目标1.一元二次方程的一般形式是什么？2、一元二次方程的求根公式？()一元二次方程的一般形式是：知识回顾新课导入3.一元二次方程的根的情况怎样确定？当

时，

；当

时，

；当

时，

；没有实数根有两个相等的实数根有两个不相等的实数根知识回顾填写表1表1探索1新课讲解填写表2表2探索2这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。归纳你能证明该定理吗？+==-●===证明1：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则证明2：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则原方程可表示为展开得练一练1

利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2–6x–15=0；解：这里a=1,b=–6,c=–15.

Δ

=b2-4ac=(–6)2–4×1×(–15)=96>0.

∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，

x2，那么x1+x2=–(–6)=6，

x1x2=–15.例（2）3x2+7x-9=0；x1+x2=−

，

x1x2=解：这里a=3,b=7,c=-9.Δ=b2

−4ac=72–4×3×(−9)=157>0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么（3）5x–1=4x2.解：方程可化为4x2–5x+1=0，这里a=4，

b=–5，c=1.

Δ

=b2

−4ac=(–5)2–4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=，

x1x2=.

在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可.归纳根据一元二次方程的根与系数的关系，求

下列方程两个根x1，x2的和与积：

(1)x2－6x－15＝0(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.

解：(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.

(3)方程化为4x2－5x＋1＝0，

练一练设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则有Δ≥0且x1x2＞0Δ≥0且x1x2＜0x1+x2＞0x1+x2＜0x1+x2＞0x1+x2＜0两根同为正数两根同为负数两根异号且正根的绝对值大两根异号且负根的绝对值大结论知识点2一元二次方程根与系数关系的应用2

已知一元二次方程x2－6x＋q＝0有一个根为2，

求方程的另一个根和q的值．导引：利用两根之和与积求解例解：设这个方程的另一个根为m，则∵m＋2＝6，2m＝q.∴

m＝4，q＝8.当q＝8时，Δ=(-6)2-4×8=4＞0，

∴另一个根为4，q的值为8.

已知方程5x2+kx−6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2

.所以x1·x2=2x2=即x2=由于x1+x2=2+=得k=−7.答：方程的另一个根是，k=−7.练一练课堂小结若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则x1+x2=-p,x1x2=q.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系数学语言文字语言一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.使用条件1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为0；2.方程有实数根，即Δ≥0.重要结论1.若一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，则x1+x2=-p，x1x2=q.2.以实数x1，x2为两根的二次项系数为1的一元二次方程是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0.1．若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为(

)A．－2 B．2C．4 D．－3AB

B当堂小练4.已知方程3x2−19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x=1代入方程中

3−19

+m=0.

解得m=16，设另一个根为x1，则：

1×

x1=∴x1=5.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4；

(1)求k的值；(2)求(x