八年级数学下册期末压轴题及解析

PAGEPAGE211、以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），EB和FD的数量关系是_____________；（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系?请加以证明；（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化?如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．难度一般：证全等即可（第三问，图1中就能看出是45°。）解（1）EB=FD 。（2）EB=FD。 证：∵△AFB为等边三角形,∴AF=AB，∠FAB=60°∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE，∠EAD=60°,∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD 即∠FAD=∠BAE,∴△FAD≌△BAE,∴EB=FD（3）解：∵△ADE为等边三角形，∴∠AED=∠EDA=60°∵△FAD≌△BAE，∴∠AEB=∠ADF设∠AEB为x°，则∠ADF也为x°于是有∠BED为（60-x）°，∠EDF为（60+x）° ∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF=180°-（60-x）°-（60+x）°=60°2、已知：如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形．简单题证明：（1）如图1．图图1在△ABE和△FCE中，∠1=∠2，∠3=∠4，BE=CE，∴△ABE≌△FCE．（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB=FC．∵AB∥FC，∴四边形ABFC是平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC．∵AF=AD，∴AF=BC．∴四边形ABFC是矩形．3、已知：△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠B=90°，AB=BC=1．（1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来．图图4图3图图3图2图1（2）若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为，则=___________；余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图3），图2得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和记为，则=___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形的面积的和记为；按照同样的方法继续操作下去……，第次裁剪得到_________个新的正方形，它们的面积的和=______________．图2（题外题：把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。）本题相当于中考12题的简单题解：（1）如图2；1分（2），，，．6分4、已知：如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为4，它的顶点A在轴的正半轴上运动，顶点D在轴的正半轴上运动（点A，D都不与原点重合），顶点B，C都在第一象限，且对角线AC，BD相交于点P，连接OP．（1）当OA=OD时，点D的坐标为______________，∠POA=__________°；（2）当OA<OD时，求证：OP平分∠DOA；（3）设点P到y轴的距离为，则在点A，D运动的过程中，的取值范围是________________．（第二问：如果点P到OP“所平分的角”的两边的距离相等，即可。）（第二问的题外题：当OA＞OD时，求证：OP平分∠DOA；）解：（1）()，；图3证明：（2）过点P作PM⊥轴于点M，PN⊥轴于点N．（如图3）图3∵四边形ABCD是正方形，∴PD=PA，∠DPA=90°．∵PM⊥轴于点M，PN⊥轴于点N，∴∠PMO=∠PNO=∠PND=90°．∵∠NOM=90°，∴四边形NOMP中，∠NPM=90°．∴∠DPA=∠NPM．∵∠1=∠DPA－∠NPA，∠2=∠NPM－∠NPA，∴∠1=∠2．在△DPN和△APM中，∠PND=∠PMA，∠1=∠2，PD=PA，∴△DPN≌△APM．∴PN=PM．∴OP平分∠DOA．≤．-5、已知：如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4,0），（0,3）．将△OCA沿直线CA翻折，得到△DCA，且DA交CB于点E．（1）求证：EC=EA；（2）求点E的坐标；（3）连接DB，请直接写出四边形DCAB的周长和面积．（第二问，有坐标，用代数法勾股定理可得CE=AE的长）（第三问的证明：过D做DM⊥AC于M，过B做BN⊥CA于N，则由相似可得，DM=BN=梯形的高（能求出具体数），CM=AN（具体数）还看得DB=MN（具体数）这样即可求出周长，有可求出面积。）证明：（1）如图1．∵△OCA沿直线CA翻折得到△DCA，∴△OCA≌△DCA．∴∠1=∠2．∵四边形OABC是矩形，∴OA∥CB．∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴EC=EA．解：（2）设CE=AE=．∵点A，C的坐标分别为（4,0），（0,3），∴OA=4，OC=3．∵四边形OABC是矩形，∴CB=OA=4，AB=OC=3，∠B=90°．在Rt△EBA中，，∴．解得．∴点E的坐标为()．（3），．6、已知：△ABC的两条高BD，CE交于点F，点M，N分别是AF，BC的中点，连接ED，MN．（1）在图1中证明MN垂直平分ED；（2）若∠EBD=∠DCE=45°（如图2），判断以M，E，N，D为顶点的四边形的形状，并证明你的结论．图图2第一问，连接EM，EN，DM，DN，利用三角形斜边中线等于斜边一半得，ME=MD，NE=ND，所以点M、N都在线段ED的垂直平分线上。（有△ADF≌△BDC，得AF=BC，（还得∠MDA=∠NDB，证直角时用），进而得菱形，再证一直角得正方形，）（1）证明：连接EM，EN，DM，DN．（如图2）∵BD，CE是△ABC的高，∴BD⊥AC，CE⊥AB．∴∠BDA=∠BDC=∠CEB=∠CEA=90°．∵在Rt△AEF中，M是AF的中点，∴EM=AF．同理，DM=AF，EN=BC，DN=BC．∴EM=DM，EN=DN．∴点M，N在ED的垂直平分线上．∴MN垂直平分ED．图3（2）判断：四边形MEND图3证明：连接EM，EN，DM，DN．（如图3）∵∠EBD=∠DCE=45°，而∠BDA=∠CDF=90°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∠DFC=∠DCF=45°．∴AD=BD，DF=DC．在△ADF和△BDC中，AD=BD，∠ADF=∠BDC，（Rt∠）DF=DC，∴△ADF≌△BDC．∴AF=BC，∠1=∠2．∵由（1）知DM=AF=AM，DN=BC=BN，∴DM=DN，∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．∵由（1）知EM=DM，EN=DN，∴DM=DN=EM=EN．∴四边形MEND是菱形．∵∠3+∠MDF=∠ADF=90°，∴∠4+∠MDF=∠NDM=90°．∴四边形MEND是正方形．7、（6分）如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH。（1）求证：∠APB＝∠BPH；（2）求证：AP＋HC＝PH；（3）当AP＝1时，求PH的长。第一问，设∠EPB=∠EBP=m，则∠BPH=90°-m，∠PBC=90°-m，所以∠BPH=∠PBC，又因为∠APB=∠PBC，所以，∠APB=∠BPH。第二问的题外题：将此题与北京141之东城22和平谷24放在一起，旋转翻折共同学习；此题中用旋转把△ABP绕点B顺时针旋转90°不能到达目的，于是延BP翻折，翻折后的剩余部分△BQH与△BCH也可全等，即可到达目的，还有意外收获：证得∠PBH=45°。第三问，代数方法的勾股定理。（1）证明：∵PE＝BE，∴∠EPB＝∠EBP，又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP。即∠BPH＝∠PBC。又∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC。∴∠APB＝∠BPH。（2分）（2）证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q，由（1）知，∠APB＝∠BPH，又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，∴△ABP△QBP，∴AP＝QP，BA＝BQ。又∵AB＝BC，∴BC＝BQ。又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴△BCH△BQH，∴CH＝QH，∴AP＋HC＝PH。（4分）（3）由（2）知，AP＝PQ＝1，∴PD＝3。设QH＝HC＝，则DH＝。在Rt△PDH中，，即，解得，∴PH＝3.4（6分）8、（6分）如图，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，联结GD，判断△AGD的形状并证明。（也可问∠ADG的度数。）判断：△AGD是直角三角形。证明：如图联结BD，取BD的中点H，联结HF、HE， ∵F是AD的中点，，∴∠1＝∠3。同理，HE//CD，HE＝，∴∠2＝∠EFC。∵AB＝CD，∴HF＝HE，∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠EFC。∵∠EFC＝60°，∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，∴△AGF是等边三角形。 ∴AF＝FG∵AF＝FD，∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°，∴∠AGD＝90°，即△AGD是（特殊）直角三角形。 （GE=BG-BE，GH是直角三角形的斜边，这样证全等。）10、阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD是△ABC的中线，点M为BC边上任意一点（不与点D重合），过点M作一直线，使其等分△ABC的面积．他的做法是：如图1，连结AM，过点D作DN//AM交AC于点N，作直线MN，直线MN即为所求直线．D图1D图1MBANC请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）如图2，在四边形ABCD中，AE平分ABCD的面积，M为CD边上一点，过M作一直线MN，使其等分四边形ABCD的面积（要求：在图2中画出直线MN，并保留作图痕迹）；图3图2（2）如图3，求作过点A的直线AE，使其图3图2（第二问，把△ABC的面积接到DC的延长线上。）11、已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF＝DE．（1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；（2）如图2，对角线AC与BD交于点O．BD、AC分别与AE、BF交于点G，点H．①求证：OG＝OH；②连接OP，若AP＝4，OP＝，求AB的长．ABABCDOPEF图2GHABCDEFP图图1【第二问①，证△AOG≌△BHO，第二问②，（在OB上截取BQ=AP，则△APO≌△BQO，得OP=OQ，AP=BQ，也可得∠OPG=∠OQP，又∠EPB=90°，最终得△OPQ是等腰直角三角形，可得PQ=2，从而求得PB=6，在Rt△APB中由勾股定理得的值。2倍根号13.）】12、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=，BC=，DC=，且，点M是AB边的中点．（1）求证：CM⊥DM；（2）求点M到CD边的距离．（用含，的式子表示）（我认为答案的思路不是最好。本题还有这样的思路：过M做BC的平行线，交DC于Q，则可证MQ=DQ=CQ，MD平分∠ADC，MC平分∠BCD，及∠DMC=90°，；M到CD的距离也就是Rt△DMC斜边的高MN，MN的平方=DN乘以NC=AD乘以BC=ab，）证明：（1）延长DM，CB交于点E．（如图3）∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADM=∠BEM．图3∵点M是AB图3∴AM=BM．在△ADM与△BEM中，∠ADM=∠BEM，∠AMD=∠BME，AM=BM，∴△ADM≌△BEM．∴AD=BE=，DM=EM．∴CE=CB+BE=．∵CD=，∴CE=CD．∴CM⊥DM．图4解：（2）分别作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分别为点N，F．图4∵CE=CD，DM=EM，∴CM平分∠ECD．∵∠ABC=90°，即MB⊥BC，∴MN=MB．∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°．∵∠DFB=90°，∴四边形ABFD为矩形．∴BF=AD=，AB=DF．∴FC=BC－BF=．∵Rt△DFC中，∠DFC=90°，∴==．∴DF=．∴MN=MB=AB=DF=．即点M到CD边的距离为．13、已知：如图1，平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线＝－＋交折线O－A－B于点E．（1）在点D运动的过程中，若△ODE的面积为S，求S与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，C′B′分别交CB，OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA于点N，E．探究四边形DMEN各边之间的数量关系，并对你的结论加以证明；（3）问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为____________．图2图2图1本题难度对于初二学生相当于25题。【好好学习第一问的解题方法，第二问由两组平行可得平行四边形，∠OED=∠O1ED（对称性质），得菱形。第三问，E在OA上时，DE的长度不变，为2倍根号5，（延x轴平移△DME使D与C重合，设DM=EM=x，代数法用勾股定理可求得ME的值。】解：（1）∵矩形OABC中，点A，C的坐标分别为，，图6∴点B的坐标为．图6若直线经过点C，则；若直线经过点A，则；若直线经过点B，则．=1\*GB3①当点E在线段OA上时，即时，（如图6）∵点E在直线上，图7当时，，图7∴点E的坐标为．∴．=2\*GB3②当点E在线段BA上时，即时，（如图7）∵点D，E在直线上，当时，；当时，，∴点D的坐标为，点E的坐标为．∴．综上可得：图8（2）DM=ME=EN=ND图8证明：如图8．∵四边形OABC和四边形O′A′B′C′是矩形，∴CB∥OA，C′B′∥O′A′，即DN∥ME，DM∥NE．∴四边形DMEN是平行四边形，且∠NDE=∠DEM．∵矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，∴∠DEM=∠DEN．∴∠NDE=∠DEN．∴ND=NE．∴四边形DMEN是菱形．∴DM=ME=EN=ND．-（3）答：问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为2.5．14、探究问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=DF，则的值为_____．拓展问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．推广问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论（第三问，取BM和AM的中点，构造全等三角形，）122某区的模拟题与此高度相似，图9问题1的值为1．--图9问题2证明：如图9．∵CB=CA，∴∠CAB=∠CBA．∵∠MAC=∠MBC，∴∠CAB－∠MAC=∠CBA－∠MBC，即∠MAB=∠MBA．∴MA=MB．∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，∴∠AFM=∠BEM=90°．在△AFM与△BEM中，∠AFM=∠BEM，∠MAF=∠MBE，MA=MB，∴△AFM≌△BEM．∴AF=BE．∵点D是AB边的中点，∴BD=AD．在△BDE与△ADF中，BD=AD，∠DBE=∠DAF，BE=AF，∴△BDE≌△ADF．∴DE=DF．问题3解：DE=DF．证明：分别取AM，BM的中点G，H，连接DG，FG，DH，EH．（如图10）∵点D，G，H分别是AB，AM，BM的中点，∴DG∥BM，DH∥AM，且DG=BM，DH=AM．∴四边形DHMG是平行四边形．∴∠DHM=∠DGM，∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，图10∴∠AFM=∠BEM=90°．图10∴FG=AM=AG，EH=BM=BH．∴FG=DH，DG=EH，-∠GAF=∠GFA，∠HBE=∠HEB．∴∠FGM=2∠FAM，∠EHM=2∠EBM．∵∠FAM=∠EBM，∴∠FGM=∠EHM．∴∠DGM+∠FGM=∠DHM+∠EHM，即∠DGF=∠DHE．在△EHD与△DGF中，EH=DG，∠EHD=∠DGF，HD=GF，∴△EHD≌△DGF．∴DE=DF．16、如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F。（1）求证：DE－BF＝EF；（2）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）；（3）若AB=2a，点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并通过计算来验证你的结论。第一问，证全等即可得AE=BF，AF=DE。第三问，各三角形相似，两直角边的比是1:2，所以可得AE=BF=EF=2FG。解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°∴∠BAF=∠ADE ， ∴△ABF≌△DAE ∴BF=AE，AF=DE；∴DE-BF=AF-AE=EF （2）如图②，DE+BF=EF （3）EF=2FG过程：∵AB=2a，点G为BC边中点，∴BG=a由勾股定理可求又∵AB⊥BC，BF⊥AC，∴由等积法可求由勾股定理可求，,，∴EF=2FG 。 17、如图，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE<AB），连接EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为点N，MN交BD于点P，设正方形ABCD的边长为1。（1）证明：四边形MPBG是平行四边形；（2）设BE=x，四边形MNBG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）如果按题设作出的四边形MPBG是菱形，求BE的长。（图中的三角形多是等腰直角三角形，）证明：（1）∵ABCD、BEFG是正方形∴∠CBA=∠FEB=90°，∠ABD=∠BEG=45°，∴DB∥ME。∵MN⊥AB，CB⊥AB，∴MN∥CB。∴四边形MPBG是平行四边形； （2）∵正方形BEFG，∴BG=BE=x。∵∠CMG=∠BEG=45°，∴CG=CM=BN=1－x。∴y=（GB+MN）·BN=（1+x）（1－x）=－x， （0<x<1）；（3）由四边形BGMP是菱形，则有BG=MG，即x=（1－x）。解得x=2－，∴BE=2－。18、将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”．请完成下列问题：（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜△ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是．解：（1）………………2分（说明：只需画出折痕．）（2）（说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可．）（3）三角形的一边长与该边上的高相等19、考考你的推理与论证（本题6分）如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连结．（1）求证：是的中点；（2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．难度一般解（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE.∵E是AD的中点，∴AE=DE．∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．∴AF=DC.∵AF=BD，∴BD=CD.，∴D是BC的中点．（2）四边形AFBD是矩形，∵AB=AC，是的中点,∴AD⊥BC

，即∠ADB=90°∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD是矩形．20、拓广与探索（本题7分）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，中线BE、CD相交于点O，点F、G分别是OB、OC的中点.（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；（2）如果把Rt△ABC变为任意△ABC，如图（2），通过你的观察，第（1）问的结论是否仍然成立？（不用证明）；（3）在图（2）中，试想：如果拖动，通过你的观察和探究，在什么条件下？四边形DFGE是矩形，并给出证明；（4）在第（3）问中，试想：如果拖动，是否存在四边形DFGE是正方形或菱形？如果存在，画出相应的图形（不用证明）．（图1）（图2）（第三问，AB=AC时。第四问，AB=AC，且底边上的高是BC的3/2倍时是正方形。保持这种高与边的比，但是，AB≠AC时是菱形。）21、如图，点A（0，4），点B(3,0)，点P为线段AB上的一个动点，作轴于点M，作轴于点N，连接MN，当点P运动到什么位置时，MN的值最小？最小值是多少？求出此时PN的长.（MN=OP，所以OP⊥AB时，MN也就是OP最小，OP=12/5.）初三相似形22、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4，，于点E，F是CD的中点，连接EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）点G是BC边上的一个动点，当点G在什么位置时，四边形DEGF是矩形？并求出这个矩形的周长；（3）在BC边上能否找到另外一点，使四边形DEF的周长与（2）中矩形DEGF的周长相等？请简述你的理由.（第二问，点G为BC中点时，也是AE的延长线与BC的交点。第三问，能找到。以EF为一边在EF的下方做△G1EF≌△GFE，G1在BC上，但是不与G重合，）23、(9分)在梯形中，∥，，且，，。对角线和相交于点，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点上，使三角板绕点旋转。（1）如图9-1，当三角板旋转到点落在边上时，线段与的位置关系是，数量关系是；（2）继续旋转三角板，旋转角为，请你在图9-2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由；＃【】（3）如图9-3，当三角板的一边与梯形对角线重合时，与相交于点P，若，求的长。图9-1图9-2图9-3（第三问，证明两次相似，推导比例关系。）多看看解：（1）垂直，相等；……………2分 （2）画图如图（答案不唯一） （1）中结论仍成立。证明如下：过A作于M，则四边形ABCM为矩形。∴AM=BC=2，MC=AB=1。∵，∴。∴DC=BC。， ，。又，，线段和相等并且互相垂直。（3）∥，∽，，。同理可求得。，。。。由（2）知，。又，∽。。。初三相似形24、(9分)将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，。动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动。当其中一点到达终点时，另一点也停止运动。设点P的运动时间为（秒）。（1）用含的代数式表示；（2）当时，如图10-1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；（3）连结，将沿翻折，得到，如图10-2。问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由。解：（1），。 （2）当时，过点作，交于，如图1，……………3分 则，，，。 （3）①能与平行。若，如图2，则，即，，而，。 ②不能与垂直。若，延长交于，如图3，则。。。……7分又，，，。而，∴t不存在。25、锐角△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，DE⊥AB于E，延长ED交BC的延长线于点F.当∠A=40°时，求∠F的度数；设∠F为x度,∠FDC为y度,试确定y与x之间的函数关系式.第二问，∠B+x=90°，x+y=∠B，所以y=90°-2x。解（1）∵AB=AC，∴..∵∠A=40°，∴.∵DE⊥AB，∴.∴（2）∵，∴∴在△BEF中，∵，∴...∴∴.26、如图1，正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．（1）试猜想AE与GC有怎样的数量关系；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，求证：AE⊥GC．（友情提示：旋转后的几何图形与原图形全等）延长相交可证得垂直，解：（1）猜想：AE=GC（2）答：AE=CG成立.证明：∵四边形ABCD与DEFG都是正方形，∴AD=DC，DE=DG，ADC==EDG=90.∴1+3=2+3=90.∴1=2.，∴△ADE△CDG.，∴AE=CG.（3）延长AE，GC相交于H，由（2）可知5=4.又∵56=90，47=180DCE=90，∴6=7.又∵6AEB=90，∴AEB=CEH..∴CEH7=90.∴EHC=90.，∴AEGC.…27、如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，AB＝12，BC＝21，AD=16。动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。（1）当为何值时，四边形的面积是梯形的面积的一半；（2）四边形能为平行四边形吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由．（3）四边形能为等腰梯形吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由．（第一问，t=37/6，第二问，t=5，第三问，不能，∠QPC大于90°，不能等于∠DCP，；本题扩展：如果延DA、CB方向移动，则可以出现等腰梯形。）28、（12分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点．（1）在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形？请直接写出结论；（2）判断并证明四边形MENF是何种特殊的四边形？（3）当等腰梯形ABCD的高h与底边BC满足怎样的数量关系时？四边形MENF是正方形（直接写出结论，不需要证明）．ADADCBEGF39、E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G.求证：.简单题：连接CE，则CE=FG，再证全等即可。证明：连接CE∵四边形ABCD为正方形∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∠C＝90°∵EF⊥BC，EG⊥CD，∴四边形GEFC为矩形∴GF＝EC在△ABE和△CBE中∴△ABE≌△CBE，∴AE＝CE∴AE＝CF30、在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F.（1）若AE=5，求EF；（2）求证：CD=2BE+DE.（第一问，∠EBD+∠ABC+∠BCE=90°，又∠ABC=45°，所以，∠EBD+∠BCE=45°，又∠ACF+∠BCE=45°，所以，∠EBD=∠ACF，可得△EBA≌△FCA，得AE=AF，EF=根号2AE，；第二问，过A做AH⊥CE于H，，则△EBD≌△HAD，BE=AH,又已证BE=CF，可证AH=FH，则结论得证。）解：（1）∵BE⊥CD,∠BAC=90°∴∠ABE+∠BDE=90°∠ACF+∠CDA=90°∵∠BDE=∠CDA∴∠ABE=∠ACF∵AF⊥AE∴∠BAE+∠BAF=90°∵∠CAF+∠BAF=90°∴∠BAE=∠CAF∵AB=AC∴△ABE≌△ACF∴AE=AF=5∴EF=(2)作AH⊥CD于H∵AE=AF∠EAF=90°∴AH=HE=HF∵∠AHD=∠BED=90∠BDE=∠ADHBD=AD∴△BDE≌△ADH∴DE=DHBE=AH∵△ABE≌△ACF∴CF=BE=AH=HF∴CH=2BE∵CD=DH+CH∴CD=DE+2BE31、矩形ABCD中，AB=DC=6，AD=BC=，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在射线AB上运动，设点P运动的时间是t秒，以AP为边作等边△APQ（使△APQ和矩形ABCD在射线AB的同侧）.(1)当t为何值时，Q点在线段DC上？当t为何值时，C点在线段PQ上？(2)设AB的中点为N，PQ与线段BD相交于点M，是否存在△BMN为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.(3)设△APQ与矩形ABCD重叠部分的面积为s，求s与t的函数关系式.（备用图1）第一问：①，Q在DC上时，等边△QAP的高是，；②，C点在线段PQ上时，P在AB的延长线上，△CBP是含60°角的Rt△，可求得BP，t=AB+BP。第二问：分四种情况讨论，有一定难度。解：（1）①当Q点在线段DC上时∵AD=,∠ADQ=90°,∠DAQ=30°∴DQ=x,则AQ=2x∴∴x=2∴AP=4∴t=4∴当t=4秒时，Q点在线段DC上.②当C点在线段PQ上时，点P在AB的延长线上，由题意得BP=2∴AP=6+2=8∴t=8∴当t=8秒时，点C在线段PQ上.（2）△BMN为等腰三角形，有以下三种情况：①当MN=BN时，∵∠NMB=∠NBM=30°∴∠ANM=60°∴此时，Q点在BD上，P点与N重合∴AP=AN=3∴t=3②当BM=BN时，作MI⊥AB于I∵BM=BN=3∴BI=MI=IP=BP=MP=∴AP=6-∴t=6-③当BM=NM时，BP=MP=NP∴BP=1AP=5∴t=5综上所述，当t=3或6-或5时，△BMN为等腰三角形（3）①当0≤t≤4时，s=②当4＜t≤6时，s=③当6＜t≤8时，即④当t≥8时，1、如图①，已知正方形ABCD的边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连接PQ、DQ、CQ、BQ，设AP=x.（1）BQ＋DQ的最小值是_______，此时x的值是_______；（2）如图②，若PQ的延长线交CD边于点E，并且∠CQD=90°.①求证：点E是CD的中点；②求x的值.（3）若点P是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDQ为等腰三角形时x的值.解：（1）；－1；（2）①证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠BCD=90°∵Q点为A点关于BP的对称点∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°∴QB=BC，∠BQE=∠BCE∴∠BQC=∠BCQ∴∠EQC=∠EQB－∠CQB=∠ECB－∠QCB=∠ECQ∴EQ=EC在Rt△ABC中∵∠QDE=90°－∠QCE，∠DQE=90°－∠EQC∴∠QDE=∠DQE∴EQ＋ED∴CE=EQ=ED即E是CD的中点

②（3）或或2、如图1，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交x轴于点A(8，0)，交y轴正半轴于点B.(1)求点B的坐标；(2)如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，AB=BC，P为线段AB上一点，过点P作y轴的平行线交直线AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式；(3)在(2)的