山西省长治市洪井中学2022年高二数学理测试题含解析

山西省长治市洪井中学2022年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}的前n项和为Sn，，，,则Sn=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D2.已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是()A．

B．－1C．2

D．1参考答案：A3.函数f（x）=+lg的定义域为（）A．（2，3） B．（2，4] C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]参考答案：C【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则，即，＞0等价为①即，即x＞3，②，即，此时2＜x＜3，即2＜x＜3或x＞3，∵﹣4≤x≤4，∴解得3＜x≤4且2＜x＜3，即函数的定义域为（2，3）∪（3，4]，故选：C4.若直线y=k（x+4）与曲线x=有交点，则k的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）参考答案：A考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；数形结合；直线与圆．分析：求得直线恒过定点（﹣4，0），曲线x=即为右半圆x2+y2=4，作出直线和曲线，通过图象观察，即可得到直线和半圆有交点时，k的范围．解答：解：直线y=k（x+4）恒过定点（﹣4，0），曲线x=即为右半圆x2+y2=4，当直线过点（0，﹣2）可得﹣2=4k，解得k=﹣，当直线过点（0，2）可得2=4k，解得k=．由图象可得当﹣≤k≤时，直线和曲线有交点．故选A．点评：本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．5.已知函数，下面结论错误的是(

)A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）是偶函数C．函数f（x）的图象关于直线对称D．函数f（x）在区间上是增函数参考答案：C【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】函数=﹣cos2x分别求出的周期、奇偶性、单调区间、对称中心，可得A、B、D都正确，C错误．【解答】解：对于函数=﹣cos2x，它的周期等于，故A正确．由于f（﹣x）=﹣cos（﹣2x）=﹣cos2x=f（x），故函数f（x）是偶函数，故B正确．令，则=0，故f（x）的一个对称中心，故C错误．由于0≤x≤，则0≤2x≤π，由于函数y=cost在上单调递减故y=﹣cost在上单调递增，故D正确．故选C．【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，复合三角函数的周期性、单调性的应用，属于中档题．6.若sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，则cos(α－β)等于()A．

B.

C．

D.参考答案：B略7.在等差数列{an}中，，则（

）A.45 B.75 C.180 D.360参考答案：C【分析】由，利用等差数列的性质求出，再利用等差数列的性质可得结果.【详解】由，得到，则．故选C.【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，属于基础题.解与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质：若，则.8.曲线在点(1,)处切线的倾斜角为（

）A

B

C

D

参考答案：B略9.两直线3x+y﹣3=0与3x+my+=0平行，则它们之间的距离是（）A．4 B． C． D．参考答案：D【考点】两条平行直线间的距离．【分析】根据两条直线平行的条件，解出m=1，利用两条平行直线间的距离公式加以计算，可得答案．【解答】解：∵直线3x+y﹣3=0与3x+my+=0平行，∴m=1．因此，直线3x+y﹣3=0与3x+y+=0之间的距离为d==，故选：D．【点评】本题已知两条直线互相平行，求参数m的值并求两条直线的距离．着重考查了直线的位置关系、平行线之间的距离公式等知识，属于基础题．10.下列命题中，真命题是（）(A)(B)(C)(D)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中，设点为圆上的任意一点，点,则线段长度的最小值是___________.参考答案：略12.直线:

绕着它与x轴的交点逆时针旋转所得直线的方程为

．参考答案：13.已知二项式的展开式中的常数项为－160，则a=__________．参考答案：2【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值．【详解】二项式的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项，，故答案为：．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.已知点P（x,y）是椭圆上一动点，则的范围为

．参考答案：15.某大学对名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，

得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于分为合格，则合格人数

人．参考答案：425略16.已知函数（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.参考答案：略17.若，点在双曲线上，则点到该双曲线左焦点的距离为______.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(13分)已知命题p:(x+1)(x-5)≤0，命题q:（1）若p是q的必要条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“”为真命题，“”为假命题，求实数x的取值范围。参考答案：(1)A=,B=①B=Ф,1-m>1+m,m<0②BФ,m1-m且1+m

综上，（2）“”为真命题，“”为假命题

则p与q一真一假P真q假，Ф。P假q真，所以19.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,

AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．

参考答案：方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．C由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．(1)证明：向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，故BE·DC＝0，所以BE⊥DC.(2)向量BC＝(1，2，0)，CP＝(－2，－2，2)，AC＝(2，2，0)，AB＝(1，0，0)．由点F在棱PC上，设，0≤λ≤1.方法二：(1)证明：如图所示，取PD中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM＝DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD.因为AM?平面PAD，所以CD⊥AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.(2)如图所示，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD，所以FH⊥底面ABCD，从而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD内，可得CH＝3HA，从而CF＝3FP.在平面PDC内，作FG∥DC交PD于点G，于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A，B，F，G四点共面．由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG，所以∠PAG为二面角F-AB-P的平面角．20.已知函数，，.（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）若函数在[1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围．参考答案：（Ⅰ）极大值，无极小值；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）先求导数，再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定极值，（Ⅱ）根据题意得对恒成立，再利用变量分离法转化为对应函数最值，最后根据函数最值得结果.【详解】（Ⅰ）根据题意可知的定义域为，，故当时，，故单调递增；当时，，故单调递减，所以当时，取得极大值，无极小值．（Ⅱ）由得，若函数在上单调递减，此问题可转化为对恒成立；，只需，当时，，则，，故，即的取值范围为．【点睛】本题考查利用导数研究函数极值以及利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.21.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．（1）证明：CE⊥AB；（2）若二面角P﹣CD﹣A为60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值；（3）若AB=kPA，求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间角．【分析】（1）取AB中点F，连结EF、FC，则EF∥PA，CF∥AD，从而EF⊥AB，AB⊥CF，由此能证明CE⊥AB．（2）推导出PA⊥CD，CD⊥PD，则∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，由此能求出直线CE与平面PAB所成角的正切值．（3）过P作PG∥CD，推导出∠APD为所求锐二面角的平面角，由此能求出平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取AB中点F，连结EF、FC，则EF∥PA，CF∥AD，∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∵AB?平面ABCD，∴EF⊥AB，∵AB⊥AD，∴AB⊥CF，∵EF?平面EFC，CF?平面EFC，∴AB⊥平面EFC，∵CE?平面EFC，∴CE⊥AB．解：（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，∴∠PDA=60°，∴PA=，∵AB=AD=2CD，∴PA==，由（1）知，∠CEF为CE于平面PAB所成角，∵tan∠CEF====，∴直线CE与平面PAB所成角的正切值为．（3）过P作PG∥CD，由PA⊥平面PAD，得PA⊥AB，PA⊥PG，由BA⊥平面PAD，得CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，PG⊥PD，∴∠APD为所求锐二面角的平面角，cos=．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，考查二面角的平面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22.已知函数f（x）=﹣x2+mx﹣3（m∈R），g（x）=xlnx（Ⅰ）若f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+3=0平行，求m的值；（Ⅱ）求函数g（x）在[a，a+2]（a＞0）上的最小值；（Ⅲ）?x∈（0，+∞）都有f（x）≤2g（x）恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于m的方程，求出m的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的最小值即可；（Ⅲ）问题转化为m≤x+2lnx+，x∈（0，+∞），设h（x）=x+2lnx+，x∈（0，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣2x+m，因为f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+3=0平行，所以f′（1）=﹣2+m=3，得m=5；（Ⅱ）g′（x）=1+lnx，令g′（x）=0，得x=，x（0，）（，+∞）g′（x）﹣0+g（x）单调递减极小值单调递增因为a＞0，a+2﹣a=2，当0＜a＜时，g（x）在[a，]单调递减，在[，a+2]上单调递增，所以函数g（x）