湖南省岳阳市市第十三中学2021年高三数学理测试题含解析

湖南省岳阳市市第十三中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知、是三次函数的两个极值点，且，则的取值范围是A． B． C．

D．【解析】因为函数有两个极值，则有两个不同的根，即，又，又，所以有，即。的几何意义是指动点到定点两点斜率的取值范围，做出可行域如图，，由图象可知当直线经过AB时，斜率最小，此时斜率为，直线经过AD时，斜率最大，此时斜率为，所以，选B.参考答案：因为函数有两个极值，则有两个不同的根，即，又，又，所以有，即。的几何意义是指动点到定点两点斜率的取值范围，做出可行域如图，，由图象可知当直线经过AB时，斜率最小，此时斜率为，直线经过AD时，斜率最大，此时斜率为，所以，选B.【答案】B2.

定义在R上的函数满足：成立，且在`上单调递增，设，则a、b、c的大小关系是A．a＞b＞

c

B．a＞c＞b

C．b＞c＞aD．c＞b＞a参考答案：D3.方程的曲线即为函数的图像，对于函数，有如下结论：①在R上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是R；④若函数和的图像关于原点对称，则函数的图像就是方程确定的曲线。其中所有正确的命题序号是(

)A.①②

B.②③C.①③④

D.①②③参考答案：D4.已知函数，，则下列结论中正确的是（

）A．函数的最小正周期为2

B．函数的最大值为1C．将函数的图象向左平移单位后得的图象

D．将函数的图象向右平移单位后得的图象参考答案：D略5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为则（

）．A．1

B.2

C.—1

D.参考答案：答案:B6.

若A.

B.

C.

D.参考答案：D7.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是

A．若则

B．若，，则C．若，，则

D．若，，则参考答案：B略8.函数的零点的个数为（

）A．0 B．1

C．2

D．3参考答案：B9.已知集合，，若,则实数的所有可能取值的集合为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D10.已知函数的图像与函数的图像关于点A（0，1）对称，若，且在区间上为减函数，则实数a的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.

参考答案：2300略12.已知F为抛物线的焦点，E为其准线与x轴的交点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，M为线段AB的中点，且，则

．参考答案：613.如果的定义域为R，，若，，则等于（A）1

（B）lg3-lg2

（C）-1 （D）lg2-lg3参考答案：A因为，所以，选A.114.已知正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则的范围为_________。参考答案：15.在平面直角坐标系xOy中，曲线上任意一点P到直线的距离的最小值为__________．参考答案：，所以，得，由图象对称性，取点，所以.

16.若不等式的解集中的整数有且仅有0，1，2，则的取值范围是

.参考答案：17.椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则的大小为

，的面积为

.

参考答案： 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共13分）已知函数是常数．（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；（Ⅲ）讨论函数零点的个数．参考答案：（Ⅰ）

…1分，，所以切线的方程为，即．

…3分（Ⅱ）令则↗最大值↘…6分，所以且，，，

即函数的图像在直线的下方．

…8分（Ⅲ）令，

.

令，，

则在上单调递增，在上单调递减，当时，的最大值为.

所以若，则无零点；若有零点，则．………………10分若，，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点.若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）.若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.综上所述，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点.

…13分19.如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．解答： 解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∴AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB同理可证：CF=GF∴BF=FG点评：本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．20.（本题满分12分）设椭圆C1：（）的一个顶点与抛物线C2：

的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点F2的直线

与椭圆C交于M，N两点．（I）求椭圆C的方程；（II）是否存在直线，使得，若存在，求出直线

的方程；若不存在，说明理由；（III）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN//AB，求证：

为定值．参考答案：解（1）椭圆的标准方程为

（2）直线的方程为或

（3）定值21.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．参考答案：【考点】HS：余弦定理的应用；HP：正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，…即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB≠0，所以sinA+cosA=0，即，…又因为A∈（0，π），所以．…（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc?cosA，则…即，解得或，…又，所以．…22.(本小题满分12分)

在中，边、、分别是角、、的对边，且满足.（1）求；（2）若，，求边，的值.

参考答案：解：（1）由正弦定理和，得

，

…2分

化简，得

即，

…4分故.

所以.