河南省南阳市第十中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

河南省南阳市第十中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数的值是

（）A．-1 B．1 C． D．参考答案：A略2.函数f（x）的图象关于y轴对称，且对任意x∈R都有f（x+3）=﹣f（x），若当x∈（，）时，f（x）=（）x，则fA．﹣ B． C．﹣4 D．4参考答案：A【考点】函数的值．【分析】推导出f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），当x∈（，）时，f（x）=（）x，从而f=f（﹣1）=﹣f（2），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）的图象关于y轴对称，且对任意x∈R都有f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），∵当x∈（，）时，f（x）=（）x，∴f=f（﹣1）=﹣f（2）=﹣（）2=﹣．故选：A．3.下列有关命题说法正确的是A.命题”B.“”是“”的必要不充分条件C.命题“”的否定是：“D.“”是“在上为增函数”的充要条件参考答案：4.函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略5.函数是（

）A.最小正周期为2π的奇函数

B.最小正周期为2π的偶函数

C.最小正周期为π的奇函数

D.最小正周期为π的偶函数

参考答案：D6.执行如图的程序框图，若输入的，，，则输出的p的值为（

）A．81

B．

C．

D．参考答案：C7.在复平面内，设复数，对应的点关于虚轴对称，（i是虚数单位），则A．5

B．－5

C．

D． 参考答案：B8.定义集合运算，若，则的子集有（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A9.已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的体积是．A．

B．C．

D．参考答案：B10.设全集U={x|x＞1}，集合A={x|x＞2}，则?UA=（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x≤2}参考答案：A【考点】补集及其运算．【分析】由全集U，以及A，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：全集U={x|x＞1}，集合A={x|x＞2}，?UA={x|1＜x≤2}，故答案为：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，分别为角的对边，如果，，，那么

.参考答案：考点：解斜三角形，由正弦定理，所以12.设函数的部分图象如图所示，其中为等腰直角三角形，，则的解析式为______________。参考答案：13.已知复数z满足：，则z=

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参考答案：；14.设||=1，||=2，且，的夹角为120°；则|2+|等于

．参考答案：2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积定义和数量积的性质即可得出．【解答】解：∵||=1，||=2，且，的夹角为120°，∴==﹣1．∴|2+|====2．故答案为：2．15.若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=3对称，则f（x）的最大值是．参考答案：36【考点】函数的最值及其几何意义；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】本题考查由图象对称确定待定系数的方法及通过导数求最值的方法．【解答】由函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=3对称可知，f（2）=f（4），f（1）=f（5）．即，解得：．则f（x）=（1﹣x2）（x2﹣12x+35）=﹣x4+12x3﹣34x2﹣12x+35，则令f′（x）=﹣4（x﹣3）（x2﹣6x﹣1）=0，解得：．而．故答案为：36．法二：f（x）=（1﹣x2）（x2﹣12x+35）=（1﹣x）（x﹣5）（1+x）（x﹣7）=（﹣x2+6x﹣5）（x2﹣6x﹣7）≤=36；（当且仅当﹣x2+6x﹣5=x2﹣6x﹣7，即x=时，等号成立．）故答案为：36．【点评】本题综合性较强，考查图象与函数性质的应用及导数的应用．16.已知，，，则的最小值为

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．参考答案：417.设袋中有大小相同的4个红球与2个白球．若从中有放回的依次取出一个球，记6次取球中取出红球的次数为，则＝

参考答案：35分析：知ξ服从二项分布，即ξ～B(6,)，三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分16分）设，其中为非零常数，数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，对于任意的正整数n，an＋Sn＝．（1）若k＝0，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．参考答案：【证】（1）若，则即为常数，不妨设（c为常数）．因为恒成立，所以，即．而且当时，，

①

，②①－②得．若an=0，则，…，a1=0，与已知矛盾，所以．故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．

【解】（2）(i)若k=0，由（1）知，不符题意，舍去．(ii)若k=1，设（b，c为常数），当时，，

③

，

④③－④得．要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有（常数），而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an=1，故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=1，此时．(iii)若k=2，设（，a，b，c是常数），当时，，

⑤

，⑥⑤－⑥得，要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有，且d=2a，考虑到a1=1，所以．故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为，此时（a为非零常数）．(iv)当时，若数列{an}能成等差数列，则的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．19.已知椭圆的左焦点为,离心率e=,M、N是椭圆上的的动点。（Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点，使得为定值？，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由。（Ⅲ）若在第一象限，且点关于原点对称，点在轴上的射影为，连接并延长交椭圆于点，证明：；参考答案：解：（Ⅰ）由题设可知：

故

故椭圆的标准方程为：（Ⅱ）设，由可得：由直线OM与ON的斜率之积为可得：，即由①②可得：

M、N是椭圆上，故

故，即

由椭圆定义可知存在两个定点，使得动点P到两定点距离和为定值；（Ⅲ）设由题设可知

由题设可知斜率存在且满足………….③

将③代入④可得：……⑤点在椭圆，故所以略20.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）已知直线l与x轴的交点为P，与曲线C的交点为A，B，若AB的中点为D，求|PD|的长．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程化为，由此能求出曲线C的直角坐标方．（2）P的坐标为，将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：，由此能求出|PD|的长．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为，∴，∴x2+y2=2，∴曲线C的直角坐标方程为．（2）P的坐标为，在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：，设点A，B，D对应的参数分别为t1，t2，t3，则，t1t2=3，，∴|PD|的长为．21.某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．分别记录其10天内的销售件数，得到如下频数表：甲厂家销售件数频数表销售件数3839404142天数24211乙厂家销售件数频数表销售件数3839404142天数12241（Ⅰ）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求一天销售量大于40而另一天销售量小于40的概率；（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：①记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．

参考答案：（Ⅱ）①设乙产品的日销售量为a，则当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；∴的所有可能取值为：152,156,160,166,172．……6分∴的分布列为152156160166172∴．………9分②依题意，甲厂家的日平均销售量为：，∴甲厂家的日平均返利额为：元，由①得乙厂家的日平均返利额为162元（>149元），∴推荐该商场选择乙厂家长期销售．………12分22.（本小题满分14分）已知，其中是自然常数，（1）讨论时,的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.参考答案：解析：（1），

……1分∴当时，，此时单调递减当时，，此时单调递增

…………3分

∴的极小值为

……4分（2）的极小值为1，即