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对由ansys开发的大型工程模型的降阶EvgeniiB.Rudnyi和JanG.KorvinkIMTEK政控技术研究所弗赖堡大学Georges-Kohler-Allee,103D-79110,德国弗赖堡

{rudnyi,korvink}@imtek.de

http://www.imtek.uni-freiburg.de/simulation/摘要工程师能够在ANSYS开发的有限元模型中运用现有的软件实现现代模型降阶技术。我们着于一个人如何独立的从在ANSYS和C++上实现的执行模型中提取所需的信息，而不用依靠特别的专业人士，我们将利用与结构力学和热力学有限元模型相关的实例来讨论计算成本。介绍大型线性动态系统模型降阶已经是相当成熟的领域［1］。许多论文(见参考文献⑵)指出，模型降价的优势已在各种科学和工程应用上被证实。我们目前的工作是集中讨论工程师如何将该技术与现有的商业有限元软件相结合，以达到如下目的：一加快对瞬变电压、谐波的分析；一自动生成系统级仿真的紧凑模型；一在设计阶段纳入有限元程序包。通常大规模动态系统模型降阶第一步如下Ex,=Ax+Bu(1.1)y=Cx其中A和E是系统矩阵，B是输入矩阵，C是输出矩阵。模型降阶的目的是产生一个低维式以逼近(1.1)， Erz=Arz.+BruY=Crz.(1.2)此式描述了输入向量u对输出向量y的依赖，因此，同一时间降阶后向量z的维数远小于原来x的状态向量维数。对由偏微分描述的用户模型方程进行空间离散化后，有限元程序包通常产生一个常微分方程系统。在这阶段，它有可能直接适用于模型降阶的方法［1］。然而，从商业包装过的系统矩阵里提取却不是这样，我们将介绍我们是怎么用ANSYS有限元分析做到的［3］。我们选择了市场矩阵形式来表示简化模型(1.2)［4］。我们假设在另一个包如Matlab或Mathematica上完成其仿真。降价模型在数学方面的运作是可行的，这可以参见http://www.imtek.unifreiburg.de/simulation/mathematica/IMSweb/非线性系统矩阵的维数高并且可降阶。因此，实施一个模型降阶的算法通常取决于特定的可降阶矩阵存储方案。我们讨论了一个C++接口，这使我们能够完全忽略模型降阶求解时的一些微不足道的开销。最后，我们分析了计算成本绩效和ANSYS的模型的性能测试结果。运用有限元分析软件ANSYS生成的模型比原模型更准确。更多的ANSYS商业有限元软件包含两个几乎独立的模块(见图1)［6］。第一个模块用于读取一阶动态系统或二阶系统二进制文件和装载有限元分析软件ANSYS，Mx"+Ex•+Kx=Bu.(2.3)y=Cx.其中M，E和K是三个系统矩阵。第二个模块适用于模型降阶算法式(1.1)或式(2.3)，也就是说，它找到一个低维的式V， X=VZ+ (2.4)

以便让我们在误差范围内保证重现逼近原始状态向量的瞬态行为。Vr Vr Vr从原万程的子空间投影可以发现，例如（1.2），我们有Er=EV,Ar=AV,Br=B,Cr=CV，我们支持三种方法来看待二阶系统。当仿照瑞利阻尼阻尼矩阵E=aM+PK，我们可以保存为以a系数和6作为参数的简化模型［7］。在一般情况下，我们可以把二阶系统转换为一阶系统，或者用二阶阿诺尔迪算法［8］。ANSYS还可以读取、写入原系统矩阵的矩阵市场格式［4］。大量的模型降阶基准已由ANSYS分析制定［9］。任维子空间X=VZ+E•ANSYS算法三种求解方法任维子空间X=VZ+E•ANSYS算法三种求解方法L完妙件、 Mx"+Ex+Kx=Bu,线性动态系统』, /尸土、矩阵格式市场y j 图1ANSYS解决方案2.1与ANSYS的接口技术生成第一个模块是相当困难的，因为商业有限元程序包中的大多数用户并不是有能力去提取动力系统式（1.1）或式（2.3），因此，这不是一个简单的操作。ANSYS是一个巨大的包，其行为并不是完全一致的。例如，下面描述的信息是不适用流体动力学模块的FLOTRANoANSYS软件读取二进制EMATfile矩阵与元素，以组装全局系统矩阵，记录文件格式，为ANSYS提供了一个Fortran子程序库［10］。通过例子可以发现更多的ANSYS代码［6］。ANSYS有一个特殊的命令，称为部分解决带动完全求解，可以不通过真正的解决方案阶段，评价矩阵的元素。这让我们对一个给定的模型拥有有效的EMAT文件。然而，这需要克服以下问题：-EMAT文件中不包含有狄利克雷边界条件或等式约束的信息。他们应分别提取。-EMAT文件只有对元素矩阵有贡献的载荷向量。如果应用的负载是节点力或加速度，这个信息也应该被单独提取。-这矩阵要有必要的组装完整矩阵的元素。在解决方案阶段，ANSYS可以写一个完整的二进制文件与系统矩阵匹配。当我们开始用ANSYS5.7时，该文件不包含负载向量（输入矩阵）。而从那时起，已经有许多变化°ANSYS6.0保留所有的原始矩阵，载荷向量，文件中的Dirichlet和等式约束等完整的文件。ANSYS8.0允许我们只做出装配（相当于一个EMAT的部分解决方案）就书写完整的文件。现在也可以把信息从完整文件转化为Harwell文件信息。因此，自ANSYS8.0以来，它可以有效地使用完整的文件。然而，根据分析类型的完整文件可能包含原来的非刚度矩阵，而不是一个系统矩阵的线性组合。当前版本的ANSYS有更多的EMAT文件，是构造式（1.1）或式（2.3）的主要来源。我们已经开发的ANSYS宏包含Dirichlet和等式约束和节点力的附加信息。如果不使用完整的文件，这将是困难的，例如，在有加速负载的情况下提取载荷向量，ANSYS的EMAT文件不能充分表示负荷向量，当有多个输入时，如输入式（1.1）或式（2.3）时用户应该：-删除以前应用的负载，-申请一个新的负载，-生成矩阵。为了改进这一过程，第二个策略也被允许用户不删除以前的负载，在这种情况下，ANSYS会纠正在第一阶段结束的每一个新的负载向量（包含所有先前的载体）。2.2运行模型降阶算法在克雷洛夫空间的基础上，我们可以通过一个非常有效的计算［11,8］，获得具有优良逼近性质的低维子空间（2.4）。当前版本的ANSYS实现了更多的Arnoldi算法［11］，以支持多个输入，块大小等于输入数量。每一步迭代Krylov子空间，都需要我们计算矩阵向量积为一阶系统，例如，A-1Eh（2.5）其中h是向量，该系统矩阵高维并且可降阶，A-1是一个不明确的计算结果。唯一可行的解决方案是解决如下的线性方程组的一个 Ag=Eh （2.6）这主要是为降低系统计算成本，这以后，与正交化过程中相关的额外费用也将计算在内。这里有许多可降阶求解法以及许多可降阶矩阵的存储方案。我们的目标是让实现它们的方式不依赖于一个特定的求解模型降阶算法。此外，我们希望在运行时允许改变求解，就是允许运行时的多态性。因此，我们选择了虚函数有6阮设计模型图2有限元设计模型和系统仿真|凑型系统仿音模型机制，这项开销可以忽略不计，我们的例子都是紧凑型计算。,我们的做法就像PETs［12］和Trinilos［13］的做法，为了涵盖许多不同的场景，抽象的ANSYS接口被写在相对低级别的功能方面，在紧凑型克雷洛夫子空间，向量存储在连续的空间。目前，我们可以从TAUCS［14］直接求解并获得UMFPACK库支持［15,16］，而ATLAS库已被用来生成优化的BLAS［17］。我们发现ANSYS有许多具有相当竞争力、多达500万自由度的矩阵因子可以直接用来求解，它们被存放在4GB空间内，这使我们能够重复使用分解，并取得良好的业绩。3模型降阶算法的成本通过实验我们观察到的许多ANSYS的降阶模型以30为秩就足以正确地描述原高维系统［5］。因此，为了简单起见，我们要限制这种情况下计算分析的成本。降阶到秩为30的方程组成的系统仿真时间是非常短的，我们可以忽略它。因此，在有几个不同的且必要的输入函数情况进行仿真（系统级仿真的情况下）时，减少模型的优势便出了问题。然而，在设计阶段，应减少模型生成的次数。用户可能会多次更改原始模型的几何形状或材料的性能，在这种情况下，降阶模型可能只使用一次。然而，即使在这种情况下的模拟模型还原时间也小于原来的系统时间。这两种不同的情况已经在图2中反映，下面我们考虑第二个案例。表1.在几秒钟内用4GB的内存计算秩为80的SunUltra维数节点由ANSYS7.0解决由ANSYS8.0解决TAUCS矩阵因子第一次降阶到秩304267208610.870.630.310.591144593782.7203602651131615121479171221563830423019012015294358872901309591120180957700475018015012016037580115039875590490410420如果我们有一个可直接求解、适用于维数为30的解法来减少系统维数就足够了。降阶模型的时间等于式（2.5）和变秩为30后式（2.6）的替代步骤所需的时间。表1列出的ANSYS的系统模型计算矩阵是对称正定。第一行对应的值为模拟值［18］，后三行对应的为券丝结构［7］。每个案件都指定了其尺寸和刚度矩阵非零元素的数目，以ANSYS解决方案的固定时间作为参考点。请注意，在ANSYS中模拟解决方案所需的时间是大于表1中真实特定的，因为它包括读/写文件以及其他一些操作。时间因子由TAUCS库的多波求解矩阵和第30向量生成［14］。后者主要是由式（2.6）解决方案通过回代得出的。由于产生的第一和第三十届载体的差异低于10-20%，我们可以说，正交成本相对较小。请注意，多波TAUCS求解速度甚至大约为ANSYS求解生成降阶模型总时间的两倍多。在同一时间，减少模型可以准确地再现瞬态和谐波所模拟出的任何一个合理的频率范围内的原始模型。谐波分析的仿真时间由一个复杂非线性系统所需的频率数量所决定。解决非线性系统的矩阵因不能被重新使用。为解决一个复杂的非线性系统花费两倍左右的时间比较昂贵。因此，我们要降阶模型仿真时间，谐响应频率应接近这个估计频率。例如，如果估计必要传递函数频率为10，降阶模型的速度大约比原有系统的仿真系统快10倍。而瞬时仿真情况更难以分析，因为这取决于一体化战略。原则上，上述模型还原时间可以说是相当于作为这个矩阵因子利用同样的策略所用时间的30倍。然而，在我们的经验中，为达到表1中的例子，一个准确的积分结果，或者需要至少600个同样间隔的时间步长或需要使用自适应的一体化计划，而再利用的因子频率是不可能的。在这两种情况下，降阶系统的仿真模型速度快十倍以上。这表明降阶模式也可以被看作是甚至可以在优化阶段采用的快速求解。4结论我们已经发现，在非线性动力学系统（1.1）、（2.3）的情况下，现代模型降阶技术可以显着加快有限元瞬态谐波模拟。对于非线性系统，在非线性多项式型的情况下的理论成果也有较大发展前途［19］。然而，在非线性的情况下，除了许多理论问题外，提取非线性系统（1.1）（2.3），对于商业的有限元分析工具本身就是一个挑战。鸣谢运用有限元分析软件ANSYS，对系统模型和bonded线路进行分析已经分别由T.Bechtold和J.Lienemann完成了。我们也愿意接受一个匿名的评论员提出的非常有益的意见和建议。意大利研究理事会、中国北车、意大利特伦托的PAT、欧盟省（赠款EUIST-1999-29047，Micropyros）提供了部分资金，还要对弗赖堡大学表示感谢。参考A.C.Antoulas,D.C.Sorensen.一个大型动力系统的近似概述。应用数学和计算机科学，11(5):1093-1121页，2001。E.B.Rudnyi,J.G.Korvink.微机电基础设备瞬态仿真模型的自动复位系统(MEMS)-。新传感器，11:3-33,2002年。ANSYS，ANSYS公司。/R.F.Boisvert,R.Pozo,K.A.Remington。矩阵交换市场格式的初始设计。NIST临时报告,5935,1996年。/MatrixMarket/E.B.Rudnyi,J.G.Korvink。计算机辅助设计及系统仿真研究模型降阶对微机电系统(MEMS)的有效作用。第16届比利时数学网络和信息系统理论国际研讨会， ，7月5-9日,2004年。MinisymposiumTA8:大规模系统模型降阶。E.B.Rudnyi,J.G.Korvink利用大型通用有限元分析软件ANSYS(1.6版)对紧凑型模型的降阶。用户手册,2004。http://www.imtek.uni-freiburg.de/simulation/mor4ansys/E.B.Rudnyi,J.Lienemann,A.Greiner,J.G.Korvink运用有限元分析软件ANSYS对模型产生紧凑模型。在奈米科技会议和展览的技术论文集 ，奈米科技，2004年12月7-11日，2004,Bosten,麻萨诸塞州，美国。Z.J.Bai,K.Meerbergen,Y.F.Su。减少二阶动力学系统维度。阿诺尔迪结构保持二阶动力系统的降维方法。J.G.Korvink,E.B.Rudnyi。大型系统的降阶，在计算科学与工程的课堂讲稿。斯普林格出版社，柏林/德国海德堡市,2005 。http://www.imtek.uni-freiburg.de/simulation/benchmark/ANSYS有限元分析与接口指南。ANSYS运用出版社。2001年。R.W.FreundoKrylov-subspace降维方法在深亚微米特性模拟电路上的应用。计算与应用数学学报，123:395-421页，2000。S.Balay,V.Eijkhout,W.D.Gropp,L.C.McInnes,B.F.Smith对面向对象并行数值分析软件的有效管理。现代科学计算工具,Birkhauser出版社,163-202页,1997。http://www,/petsc/petsc-2/M.Heroux,R.Bartlett,V.Howle,R.Hoekstra,J.Hu,etal.Trili的概述。山迪亚国家实验室报告，SAND2003-2927页，2003。/trilinos/V.Rotkin,S.Toledo设计并施实一个新的核心稀疏可降阶的Cholesky方法。ACM交易数学软件，30194-196页，2004年。http://www.tau.ac.il/stoledo/taucs/T.A.Davis=832算法：UMFPACKV4.3非对称模式的多波算法。ACM交易数学软件,30196-199页，2004。/research/sparse/umfpack/T.A.Davis。非对称格局多波算法预先计算的方法策略。ACM交易数学软件,30165-195页,2004。R.C.Whaley,A.Petitet,J.Dongarra优化软件的开发和阿特拉斯项目的自动化经验。并行计算，27(1-2)3-35页，2001年。/J.Lienemann,E.B.Rudnyi,J.G.Korvink。MST微机电系统(MEMS)模型降阶的要求与基准。线性代数及其应用，2004年。J.R.Phillips。基于投影的方法对非线性瞬变系统模型的降阶。集成电路计算机辅助设计与IEEE交易系统，22171-187页，2003年。J.Dongarra,K.Madsen,和J.Wa'sniewski（主编）：PARA2004,LNCS3732,349-356，页2006.海德堡2006年柏林©斯普林格出版社附，英文原文ModelOrderReductionforLargeScaleEngineeringModelsDevelopedinANSYSEvgeniiB.RudnyiandJanGKorvink

IMTEK,InstituteofMicrosystemTechnology

FreiburgUniversityGeorges-K"ohler-Allee,103

D-79110,Freiburg,Germany

{rudnyi,korvink}@imtek.de

http://www.imtek.uni-freiburg.de/simulation/Abstract.Wepresentthesoftwaremor4ansysthatallowsengineerstoemploymodernmodelreductiontechniquestofiniteelementmodelsdevelopedinANSYS.WefocusonhowoneextractstherequiredinformationfromANSYSandperformsmodelreductioninaC++implementationthatisnotdependentonaparticularsparsesolver.Wediscussthecomputationalcostwithexamplesrelatedtostructuralmechanicsandthermalfiniteelementmodels.[.IntroductionThemodelorderreductionoflinearlarge-scaledynamicsystemsisalreadyquiteanestablishedarea[1].Inmanypapers(seereferencesin[2]),advantagesofmodelreductionhavebeendemonstratedforavarietyofscientificandengineeringapplications.Inthepresentwork,wefocusonhowengineerscancombinethistechniquewithexistingcommercialfiniteelementsoftwareinorderto-Speedupatransientorharmonicanalysis,-Generateautomaticallycompactmodelsforsystem-levelsimulation,-Incorporatefiniteelementpackagesduringthedesignphase.Modelreductionisconventionallyappliedtoalarge-scaledynamicsystemofthefirstorderasfollowsEx'=Ax+Bu(1.1)y=CxwhereAandEaresystemmatrices,Bistheinputmatrix,Cistheoutputmatrix.Theaimofmodelreductionistogeneratealow-dimensionalapproximationto(1.1)inasimilarformErz=Arz.+Bru(1.2)Y=Crz.thatdescribeswellthedependenceoftheoutputvectoryontheinputvectoruandsothat,atthesametime,thedimensionofthereducedstatevectorzismuchlessthanthedimensionoftheoriginalstatevectorxAfterdiscretizationinspaceofthepartialdifferentialequationsdescribingausermodel,afiniteelementpackagegenerallyproducesasystemofordinarydifferentialequations.Atthisstage,itispossibletodirectlyapplymodernmodelreductionmethods[1].However,theextractionofthesystemmatricesfromacommercialpackagehappensnottobestraightforwardandhereweshareourexperienceonhowitcanbedonewithANSYS[3].WehavechosentheMatrixMarketformat[4]torepresentthereducedmodel(1.2).Wesupposethatitssimulationwillbedoneinanotherpackage,suchasMatlaborMathematica.FunctionstoworkwiththereducedmodelinMathematicaareavailableattheIMTEKMathematicaSupplementathttp://www.imtek.unifreiburg.de/simulation/mathematica/IMSweb/Thesystemmatricesarehigh-dimensionalandsparse.Asaresult,theimplementationofamodelreductionalgorithm

usuallydependsonaparticularsparsesolverandastorageschemeforsparsematrices.WediscussaC++interfacethatallowsustoisolatethemodelreductionandsparsesolverscompletelyfornegligibleoverhead.Finally,weanalysethecomputationcostandgivetheperformanceresultsforafewANSYSmodels.ThecomparisonoftheaccuracyofreducedmodelsinrespecttotheoriginalANSYSmodelsisgivenelsewhere[5].2mor4ansysThedevelopedsoftware[6]comprisestwoalmostindependentmodules(seeFig.1).ThefirstreadsabinaryANSYSfileandassemblesadynamicsystemintheformofEq(1.1)forfirstordersystemsorMx"+Ex'+Kx=Bu.(2.3)y=Cx.forsecondordersystems,whereM,E.andK.arethethreesystemmatrices.ThesecondmoduleappliesthemodelreductionalgorithmtoEq(1.1)or(2.3),thatis,itfindsalow-dimensionalbasisVsothattheapproximationx=Vz.+S(2.4)allowsustoreproducethetransientbehaviouroftheoriginalstatevectorwithintheerrormarginS.Afterthat,theoriginalequationsareprojectedtothesubspacefound,forexampleforEq(1.2)wehaveEr=VtEV,Ar=VTAV,Br=VtB,Cr=CV.Wesupportthreemethodstotreatsecond-ordersystems.WhenthedampingmatrixismodeledasRayleighdampingE=aM+pK,themethodfromRef[7]allowsustopreservethecoefficientsa.andp.asparametersinthereducedmodel.Inthegeneralcase,onecanchoosebetweenthetransformationtoafirst-ordersystem,andsecondorderArnoldialgorithm(SOAR)[8].Thesoftwarecanalsoread,aswellaswrite,thematricesfortheoriginalsystemintheMatrixMarketformat[4].AnumberofmodelreductionbenchmarkshasbeenobtainedfromANSYSbymeansofmor4ansys[9].Low-dimensional

subspace

;=Vg+84MORAlgoritlimSolvers:TAUCS,UMFPACKlATLASANSYSModel:

EMAT,FULL

ifilesLow-dimensional

subspace

;=Vg+84MORAlgoritlimSolvers:TAUCS,UMFPACKlATLAS M土+Ex+Kx=BuLinearDynamicy=Cx System,ODEsMatrixMarketformatFig.1.mor4ansysblock-scheme2.1InterfacingwithANSYSThedevelopmentofthefirstmodulehappentoberatherdifficultbecausemostusersofacommercialfiniteelementpackagedonotneedthecapabilitytoextractthedynamicssystemintheformofEq(1.1)or(2.3)and,asaresult,thisisnotatrivialoperation.ANSYSisahugepackageanditsbehaviorisnotcompletelyconsistent.Forexample,theinformationdescribedbelowisnotapplicableforthefluiddynamicsmoduleFLOTRAN.OursoftwarereadsthebinaryEMATfilewithelementmatricesinordertoassembleglobalsystemmatrices.ThefileformatisdocumentedandANSYSsuppliesalibraryofFortransubroutinestoworkwithit[10].Anexampleofhowonecanusethemcanbefoundinthemor4ansyscode[6].ANSYShasaspecialcommand,calledapartialsolvePSOLVE,withwhichonecanevaluateelementmatricesforagivenstatevectorwithoutgoingthroughtherealsolutionstage.ThisallowsustogenerateanEMATfileefficientlyforagivenmodel.However,itwasnecessarytoovercomethefollowingproblems:-TheEMATfiledoesnotcontaintheinformationabouteitherDirichletboundaryconditionsorequationconstraints.Theyshouldbeextractedseparately.-TheEMATfilehasacontributiontotheloadvectorfromelementmatricesonly.Ifnodalforcesoraccelerationsareusedtoapplytheload,thisinformationshouldalsobeextractedindividually.-Itisnecessarytoassembletheglobalmatricesfromtheelementmatrices.Duringthesolutionphase,ANSYScanwriteabinaryFULLfilewiththeassembledsystemmatrices.WhenwestartedthedevelopmentwithANSYS5.7,thisfiledidnotcontaintheloadvector(inputmatrix).Sincethentherehavebeenmanychanges.SinceANSYS6.0theFULLfilemaintainsalltheoriginalmatrices,theloadvector,theDirichletandequationconstraintsinthefile.ANSYS8.0allowsustomaketheassemblyonlyandwritetheFULLfilewithoutarealsolutionphase(equivalenttoapartialsolutionwithEMAT).OnecannowalsodumptheinformationfromtheFULLfileintheHarwellBoeingmatrixformat.Hence,sinceANSYS8.0,itispossibletousetheFULLfileefficiently.However,dependingontheanalysistypetheFULLfilemaycontainnottheoriginalstiffnessmatrix,butrather,alinearcombinationofsystemmatricesinstead.Inthecurrentversionofmor4ansys,theEMATfileisemployedasthemainsourcetobuildEq(1.1)or(2.3).AdditionalinformationontheDirichletandequationconstraintsandnodalforcesiswrittenintheformoftextfilesbymeansofANSYSmacroswehavedeveloped.TheFULLfilecanbeusedtoextracttheloadvectorwhenotherwisethisisdifficult,forexample,asinthecasewhentheaccelerationloadisused.ANSYScannotwriteseveralloadvectorsintotheFULLandEMATfiles.Whenmultiple-inputistobepreservedinEq(1.1)or(2.3),ausershouldforeachinput:-Deletethepreviouslyappliedload,-Applyanewload,-Generatematrices.Inordertoeasethisprocess,thesecondstrategyisalsoallowedwhenauserdoesnothavetodeletethepreviousload.Inthiscase,eachnewloadvectorcontainsallthepreviousvectorsandmor4ansyscorrectsthemattheendofthefirstphase.2.2RunningtheModelReductionAlgorithmTheKrylovsubspacesallowustoobtainalow-dimensionalsubspacebasisfor(2.4)withexcellentapproximatingpropertiesbymeansofaveryefficientcomputation[11,8].Thecurrentversionofmor4ansysimplementstheblockArnoldialgorithm[11]inordertosupportmultipleinputs,theblocksizebeingequaltothenumberofinputs.EachstepofaniterativeKrylovsubspacealgorithmrequiresustocomputeamatrixvectorproduct,forexample,forthefirst-ordersystemA1Eh(2.5)whereh.issomevector.Thesystemmatricesarehigh-dimensionalandsparseandonedoesnotcomputeAr1explicitly.TheonlyfeasiblesolutionistosolvealinearsystemofequationsforeachstepasfollowsAg=Eh(2.6)Thisconstitutesthemaincomputationalcostuptotheorderofthereducedsystem30.Lateron,theadditionalcostassociatedwiththeorthogonolizationprocesscanbealsoadded.Therearemanysparsesolversaswellasmanystorageschemesforsparsematrices.Ourgoalwastoimplementamodelreductionalgorithminawaythatdoesnotdependonaparticularsolver.Inaddition,wewantedtochangesolversatrun-time,thatis,toallowforrun-timepolymorphism.Asaresult,wehavechosenthevirtualfunction

FEM

DevicemodtjlFig.2.Useomechanism,asFEM

DevicemodtjlFig.2.Useomechanism,asitsoverheadisne,CcrnpaclmodelSystem-levelsystem-levelSimuiationfmodelreductionduringdesignandgligibleinourcasewhentheoperations羸themselvesarecomputationallyintensive.OurapproachissimilartothatinthePETs[12]andTrinilos[13]libraries.Theabstractinterfaceiswrittenintermsofrelativelylow-levelfunctions,asthegoalwastocovermanydifferentscenarios.Thevectorsarerepresentedbycontinuousmemory,astheyaredenseinthecaseoftheKrylovsubspaces.Atpresent,thedirectsolversfromtheTAUCS[14]andUMFPACK[15,16]librariesaresupported.TheATLASlibrary[17]hasbeenusedtogeneratetheoptimizedBLAS.WehavefoundthatformanyANSYSmodelsupto500000degreesoffreedomthemoderndirectsolversarequitecompetitiveasthematrixfactorfitswithin4GbofRAM.Thisallowsustoreusethefactorizationandachievegoodperformance.3ComputationalCostofModelReductionWehaveexperimentallyobservedthatformanyANSYSmodelsareducedmodeloforder30isenoughtoaccuratelyrepresenttheoriginalhigh-dimensionalsystem[5].Hence,forsimplicitywelimittheanalysisofthecomputationalcosttothiscase.Thesimulationtimeofthereducedsystemcomprising30equationsisverysmallandwecanneglectit.Therefore,forthecasewhenseveralsimulationswithdifferentinputfunctionsarenecessary(thesystem-levelsimulationcase),theadvantageofmodelreductionisoutofthequestion.Yet,duringthedesignphase,areducedmodelshouldbegeneratedeachtimewhenauserchangesthegeometryormaterialpropertiesoftheoriginalmodel.Inthiscase,areducedmodelmightbeusedjustonce.Nevertheless,themodelreductiontimecanbesmallerthanthesimulationtimeoftheoriginalsystemeveninthiscase.ThesetwodifferentsituationsareshowninFig.2.Belowweconsiderthesecondcase.Table1.ComputationaltimesonSunUltra-80with4GbofRAMinsecondsdimensionnnzStationarySolutioninANSYS7.0StationarysolutioninANSYS8.0FactoringinTAUCSgenerationofthefirst30vectors4267208610.870.630.310.591144593782.7203602651131615121479171221563830423019012015294358872901309591120180957700475018015012016037580115039875590490410420Letusassumethatadirectsolverisapplicableandthedimensionof30forthereducedsystemissufficient.ThenthemodelreductiontimeisequaltothetimeoffactoringAinEq(2.5)andthetimerequiredfor30backsubstitutionstepsinEq(2.6).Table1presentscomputationaltimesforsevenANSYSmodelswherethesystemmatricesaresymmetricandpositivedefinite.Thefirstfourrowscorrespondtothermalsimulations[18]andthelastthreetostructuralmechanicsofabondwire[7].Eachcaseisspecifiedbyitsdimensionandthenumberofnonzeroelementsinthestiffnessmatrix.ThetimeofastationarysolutioninANSYSisgivenasareferencepoint.NotethattherealsimulationtimeinANSYSrequiredforthestationarysolutionislargerthaninTable1asitincludesreading/writingfilesaswellassomeotheroperations.AfterthatislistedthetimetofactoramatrixbymeansofamultifrontalsolverfromtheTAUCSlibrary[14]andthetimetogeneratethefirst30vectors.ThelatterisdominatedbythesolutionofEq(2.6)bymeansofbacksubstitution.Asthedifferencetogeneratethefirstandthirtiethvectorswaslessthan10-20%,wecansaythattheorthogonalizationcostwasrelativelysmall.NotethattheTAUCSmultifrontalsolverisevenfasterthantheANSYSsolver.Thetotaltimetogenerateareducedmodelisabouttwicemorethanthatforthestationarysolution.Atthesametime,thereducedmodelcanaccuratelyreproduceanytransientandharmonicsimulationoftheoriginalmodelswithinareasonablefrequencyrange.Thesimulationtimeofaharmonicanalysisistheproductofsolutiontimeforacomplexlinearsystembythenumberoffrequenciesneeded.Thematrixfactorcannotbere-usedasthelinearsystemtosolvedependsonfrequency.Thesolutiontimeforacomplexlinearsystemisabouttwicemoreexpensive.Hencemodelreductionallowsustosavesimulationtimebyafactorclosetothenumberoffrequenciesatwhichtheharmonicresponseisrequired.Forexample,ifitisnecessarytoestimatethetransferfunctionattenfrequencies,thenthemodelreductionplusthesimulationofthereducedsystemisroughlytentimesfasterthanthesimulationoftheoriginalsystem.Forthetransientsimulation,thesituationismoredifficulttoanalyseasthisdependsontheintegrationstrategy.Inprinciple,itispossibletosaythatthemodelreductiontimeaboveisequivalentto30equallyspacedtimestepsasinthiscasethesamestrategywiththere-useofthematrixfactorcanbeapplied.However,inourexperience,inordertoachieveaccurateintegrationresultsfortheexamplesinTable1,oneeitherneedsatleast600equally-spacedtimestepsoroneneedstouseadaptiveintegrationschemeswherethefactorre-useisnotpossible.Inbothcases,modelreductionplussimulationofthereducedsystemwasmorethantentimesfaster.Thisshowsthatmodelreductioncanalsobeviewedasafastsolverandcanbeemployedevenduringtheoptimizationphase.4ConclusionsWehaveshownthatinthecaseofthelineardynamicssystems(1.1)and(2.3)modernmodelreductiontechniquescanspeedupfiniteelementtransientandharmonicsimulationsignificantly.Fornonlinearsystems,therearepromisingtheoreticalresultsinthecaseofpolynomialtypenonlinearity[19].Yet,inthenonlinearcaseinadditiontomanytheoreticalproblems,ithappensthatextractinganonlinearsystem(1.1)or(2.3)fromacommercialfiniteelementtoolisachallengebyitself.AcknowledgmentANSYSmodelsofthemicrothrusterandthebondedwirehavebeenmadebyT.BechtoldandJ.Lienemannrespectively.Wewouldalsoliketoacknowledgeananonymousreviewerfortheveryhelpfulcommentsandsuggestionstoimprovethepaper.PartialfundingbytheDFGprojectMST-Compact(KO-1883/6),theItalianresearchcouncilCNRtogetherwiththeItalianprovinceofTrentoPAT,theEuropeanUnion(grantEUIST-1999-29047,Micropyros)andanoperatinggrantoftheUniversityofFreiburgisgratefullyacknowledged.ReferencesA.C.Antoulas,D.C.Sorensen.ApproximationofLarge-ScaleDynamicalSystems:Anoverview.AppliedMathematics&ComputerScience,11(5):1093-1121,2001.E.B.Rudnyi,J.G.Korvink.AutomaticModelReductionforTransientSimulationofMEMS-basedDevices.SensorsUpdate,11:3-33,2002.ANSYS,ANSYSInc./R.F.Boisvert,R.Pozo,K.A.Remington.TheMatrixMarketExchangeFormats:InitialDesign.NISTInterimReport5935,1996./MatrixMarket/E.B.Rudnyi,J.G.Korvink.ModelOrderReductionofMEMSforEfficientComputerAidedDesignandSystemSimulation.InSixteenthInternationalSymposiumonMathematicalTheoryofNetworksandSystems,Belgium,July5-9,2004.MinisymposiumTA8:Issuesinmodelreductionoflarge-scalesystems.E.B.Rudnyi,J.G.Korvink.mor4ansys(version1.6):CompactBehavioralModelsfromANSYSbyMeansofModelOrderReduction.UserManual,2004.http://www.imtek.uni-freiburg.de/simulation/mor4ansys/E.B.Rudnyi,J.Lienemann,A.Greiner,andJ.GKorvink.mor4ansys:GeneratingCompactModelsDirectlyfromANSYSModels.InTechnicalProceedingsofthe2004NanotechnologyConferenceandTradeShow,Nanotech2004,March7-11,2004,Bosten,Massachusetts,USA