辽宁省铁岭市四合中学高三数学理期末试题含解析

辽宁省铁岭市四合中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集，集合和的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有

（A）3个

（B）2个

（C）1个

（D）0个

参考答案：B2.命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是(

)A．和不为偶数的两个整数都为偶数B．和为偶数的两个整数都不为偶数C．和不为偶数的两个整数不都为偶数D．和为偶数的两个整数不都为偶数参考答案：D【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用命题的否定写出结果即可．【解答】解：命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是：和为偶数的两个整数不都为偶数．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，注意命题的否定形式以及否定词语的应用．3.已知等比数列满足＞0，＝1,2，…，且，则当≥1时，＝

（

）A．n(2n－1)

B．(n＋1)2

C．n2

D．(n－1)2参考答案：A4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A． B．1 C． D．2参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，侧面PAB⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC=，作PD⊥AB，垂足为D，PD=1．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，侧面PAB⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC=，作PD⊥AB，交AB于D，PD=1．∴giant几何体的体积V==．故选：C．【点评】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.i为虚数单位，复平面内表示复数的点在(

)A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：C6.定义域为的函数图象的两个端点为，向量，是图象上任意一点，其中.若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小的正实数称为该函数的线性近似阀值．

下列定义在上函数中，线性近似阀值最小的是

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：7.一动圆与圆外切，而与圆内切，那么动圆的圆心的轨迹是（

）A．双曲线的一支

B．椭圆C．抛物线

D．圆参考答案：A略8.（x2﹣3x+2）5的展开式中，含x项的系数为（）A．﹣240 B．﹣120 C．0 D．120参考答案：A【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】根据（x2﹣3x+2）5=（x﹣1）5?（x﹣2）5，利用二项式定理展开，可得含x项的系数．【解答】解：由于（x2﹣3x+2）5=（x﹣1）5?（x﹣2）5=[?x5﹣?x4+?x3﹣?x2+?x﹣1]?[?x5﹣2?x4+4?x3﹣8?x2+16?x﹣32]，故展开式中，含x项的系数为﹣32?﹣16?=﹣240，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．9.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是A. B.C. D.参考答案：10.已知函数，记是的导函数，将满足的所有正数x从小到大排成数列{xn}，，则数列的通项公式是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的取值范围为

参考答案：12.已知函数.(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)求函数的最小正周期及单调递减区间.参考答案：16．（本小题满分13分）解:(I)；……4分(II),得

故的定义域为.

因为

,…7分所以的最小正周期为.

…………………8分因为函数的单调递减区间为,ks5u

由,

得,

所以的单调递减区间为

．…………1略13.已知数列中，数列的前项和为，当整数时，都成立，则数列的前n项和为

参考答案：略14.若则

参考答案：15.用数字组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___________个（用数字作答）参考答案：32416.设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．参考答案：3【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化简z=x﹣2y为y=x﹣，从而可得﹣是直线y=x﹣的截距，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，化简z=x﹣2y为y=x﹣，﹣是直线y=x﹣的截距，故过点（3，0）时截距有最小值，此时z=x﹣2y有最大值3，故答案为：3．17.设函数,观察:

根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：x1?x2＞1．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）考虑f（x）与x轴有切点，设为（m，0），求出导数，可得f′（m）=0，f（m）=0，解得a，m，考虑由于f（x）的图象开口向上，由f′（1）=3﹣a＜0，解得a的范围即可；（2）由零点的定义，得到两个方程，同除以x，两式相减，整理化简，结合分析法，构造法，不妨设0＜x1＜1，x2＞1，即可得证．【解答】（1）解：函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2．考虑f（x）与x轴有切点，设为（m，0），f′（x）=lnx+1+2x﹣a，则lnm+1+2m﹣a=0，又mlnm+m2﹣am+2=0，消去a，可得m2+m﹣2=0，解得m=1（﹣2舍去），则a=3，由于f（x）的图象开口向上，由f′（1）=3﹣a＜0，解得a＞3，可得f（x）在（0，+∞）不单调，有两个不同的零点x1，x2．故a的范围是（3，+∞）；（2）证明：由题意可得x1lnx1+x12﹣ax1+2=0，x2lnx2+x22﹣ax2+2=0，即为lnx1+x1﹣a+=0，lnx2+x2﹣a+=0，两式相减可得，lnx1﹣lnx2+x1﹣x2+=0，即有1+=，要证x1?x2＞1，即证＜2，即有1+＜2，即＜1，即有＜0，（*）令g（x）=lnx﹣x，g′（x）=﹣1，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增．则g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值﹣1，即有lnx﹣x＜0，不妨设0＜x1＜1，x2＞1，则x1﹣x2＜0，lnx1﹣x1﹣（lnx2﹣x2）＞0，故（*）成立，即有x1?x2＞1．19.为了解大学生观看某电视节目是否与性别有关，一所大学心理学教师从该校学生中随机抽取了50人进行问卷调查，得到了如下的列联表，若该教师采用分层抽样的方法从50份问卷调查中继续抽查了10份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有6人

喜欢看该节目不喜欢看该节目合计女生

5

男生10

合计

50（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5％的把握认为喜欢看该节目节目与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜欢看该节目的10位男生中，、、、、还喜欢看新闻，、、还喜欢看动画片，、还喜欢看韩剧，现再从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出1名进行其他方面的调查，求和不全被选中的概率．下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中）参考答案：（1）由分层抽样知识知，喜欢看该节目的同学有,故不喜欢看该节目的同学有50－30=20人,（2分）于是可将列联表补充如右图：（4分）（2）＞7.879（7分）∴有99.5%的把握认为喜爱该节目与性别有关．（8分）（3）（理）从10位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各1名,其一切可能的结果组成的基本事件共有个,（10分）用表示“不全被选中”这一事件,则其对立事件表示“全被选中”这一事件,由于由，，，，,5个基本事件组成,所以,（12分）由对立事件的概率公式得．（13分）从10位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,基本事件的总数为30，（10分）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，由于由，，，，，5个基本事件组成，所以，（12分）由对立事件的概率公式得．（13分）20.已知分别为角的对边，它的外接圆的半径为为常数），并且满足等式成立.（1）求；（2）求的面积的最大值.参考答案：（1）由，所以，由正弦定理得，代入，由余弦定理，所以.（2）由（1）知，,所以,当且仅当时，.21.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（1）求角A：（2）已知求b+c的值.参考答案：略22.已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的图象在它与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）的图象在它与x轴的交点N处的切线为l2，且l1与l2平行．（1）求a的值；（2）已知t∈R，求函数y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率，令其相等解方程即可得a值；（2）令u=xlnx，再研究二次函数u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，再利用导数工具研究所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，下面对m进行分类讨论：①当m∈（0，1）时，②当m≤0时，③当m≥1时，结合不等式的性质即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣a，y=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=由题意可得kl1=kl2，即a=1；（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，令u=xlnx，在x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e，u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，①当u=≤0，即t≥时，y最小=t2﹣t，②当u=≥e，即t≤时，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t，③当0＜＜e，即＜t＜时，y最小=y|u==﹣；（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=≥0，所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，①当m∈（0，1）时，有，α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），∴由f（x）的单