山东省济南市孔村中学高三数学文上学期期末试题含解析

山东省济南市孔村中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数z=a2﹣2+（3a﹣4）i（a∈R）的实部与虚部相等，且z在复平面上对应的点在第三象限，则a=（）A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1参考答案：A【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意可知解得a=1或2，当a=2时，它在复平面上对应的点在第一象限，不符合题意，舍去，即a=1时符合题意．【解答】解：由题意可知：a2﹣2=3a﹣4，解得a=1或2，当a=2时，z=2+2i，它在复平面上对应的点在第一象限，不符合题意，舍去，∴a=1．故选：A．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.某研究机构在对线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：x4681012y12356由表中数据求的y关于x的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】BK：线性回归方程．【分析】求出样本点的中心，求出的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有（6，2），（8，3），共2个，求出概率即可．【解答】解：∵=8，=3.4，故3.4=0.65×8+，解得：a=﹣1.8，则=0.65x﹣1.8，故5个点中落在回归直线下方的有（6，2），（8，3），共2个，故所求概率是p=，故选：A．3.已知函数是定义在(0,+∞)上的单调函数,若对任意,都有,则的值是(

)A.5 B.6 C.7 D.8参考答案：B略4.参考答案：5.在△ABC中，cosA=，cosB=，最长的边长为，则最短的边长为（）A．2 B． C．1 D．参考答案：C【考点】余弦定理．【分析】根据已知利用同角三角函数间的基本关系求出sinB，sinA的值，进而求出tanB，tanA的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式表示出tanC，把tanA和tanB的值代入即可求出tanC的值，由tanC的值为负数及C的范围得到C为钝角即最大角即c=，利用特殊角的三角函数值求出C的度数及sinC的值，又tanA大于tanB，根据正切函数为增函数，得到B为最小角，b为最小边，根据正弦定理，由sinB，sinC及c的值即可求出b的值．【解答】解：∵在△ABC中，cosA=，cosB=，∴sinA=，sinB=，则tanB=，又tanA=，且C=π﹣（A+B），∴tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣=﹣1，∵C∈（0，π），∴C为钝角，则C＞A且C＞B，∴C=，且c为最大边，则c=，sinC=，又∵tanA＞tanB，∴A＞B，则B为最小角，b为最小边，根据正弦定理得：b===1．故选：C．6.在△ABC中，如果边a，b，c满足a≤（b+c），则∠A（）A．一定是锐角 B．一定是钝角 C．一定是直角 D．以上都有可能参考答案：A【考点】余弦定理．【分析】已知不等式两边平方，利用余弦定理表示出cosA，变形后利用基本不等式求出cosA的范围，利用余弦函数性质求出A的范围，即可做出判断．【解答】解：已知不等式两边平方得：a2≤，利用余弦定理得：cosA=≥=≥=，∵∠A为三角形的内角，∴0＜∠A＜60°，即∠A一定是锐角．故选A7.在平行四边形中，为一条对角线，

A．（2，4）

B．（3，5）

C．（—2，—4）

D．（—1，—1）参考答案：D8.已知复数z=（2+i）（a+2i3）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（4，+∞） C．（﹣1，4） D．（﹣4，﹣1）参考答案：C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、不等式的解法、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=（2+i）（a+2i3）=（2+i）（a﹣2i）=2a+2+（a﹣4）i，在复平面内对应的点（2a+2，a﹣4）在第四象限，则2a+2＞0，a﹣4＜0，解得﹣1＜a＜4．实数a的取值范围是（﹣1，4）．故选：C．9.函数定义域为R，且函数满足:对任意，，非零实数a，b满足，则下列关系式中正确的是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】因为，可得，又对任意，，可得在上单调递减，结合的奇偶性，可得上单调递增，分析选项，即可得答案。【详解】因为，整理得，即，又对任意，，即在上单调递减，又=所以为偶函数，即上单调递增，结合，可得，即，故选D【点睛】本题考查函数的单调性，奇偶性，考查推理计算，转化化归的思能力，属中档题。10.下列说法中正确的是（

）A.当时，函数是增函数，因为2>l，所以函数是增函数．这种推理是合情推理B.在平面中，对于三条不同的直线，将此结论放到空间中也是如此．这种推理是演绎推理C．若分类变量X与Y的随机变量的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.全集U=R，f(x)，g(x)均为二次函数，P={x|f(x)＜0，Q={x|g(x)≥0}，则不等式组

的解集可用P、Q表示

。参考答案：12.已知函数，则

．参考答案：∵，且，∴．13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中最大的面积为

．参考答案：由题意知，该三棱锥的直观图如图中的所示，则，，，，故其四个面中最大的面积为.14.方程的曲线即为函数的图像，对于函数，有如下结论：①在R上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是R；④若函数和的图像关于原点对称，则函数的图像就是方程确定的曲线.其中所有正确的命题序号是

.参考答案：【知识点】函数的图像与性质

B9D根据题意画出方程的曲线即为函数的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形

从图形中可以看出，关于函数的有下列说法：

①在R上单调递减；正确．

②由于即，从而图形上看，函数的图象与直线没有交点，故函数不存在零点；正确．③函数的值域是R；正确．③函数的值域是R；正确.

④根据曲线关于原点对称的曲线方程的公式，可得若函数和的图象关于原点对称，则用分别代替，可得就是表达式，可得，则的图象对应的方程是，说明④错误

其中正确的个数是3．【思路点拨】根据题意画出方程的曲线即为函数的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数的结论的正确性．15.（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x6的系数为．参考答案：﹣20考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，再利用多项式的乘法进一步求得展开式中x6的系数．解答：解：（1+2x）3的展开式的通项公式为Tr+1=?（2x）r，（1+2x）3（1﹣x）4展开式的通项公式为Tk+1=?（﹣x）k．故（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x6的系数为?22?+?23?（﹣）=12﹣32=﹣20，故答案为﹣20．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．16.以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间例如，当时，.现有如下命题：

①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“”；

②函数的充要条件是有最大值和最小值；

③若函数的定义域相同，且，则；

④若函数有最大值，则.

其中的真命题有

（写出所有命题的序号）参考答案：17.在边长为的等边中，为边上一动点，则的取值范围是．参考答案：因为D在BC上，所以设，则。所以，因为，所以，即的取值范围数。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点()在函数的图像上，其中为正整数．（Ⅰ）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；（Ⅱ）设(1)中“平方递推数列”的前项之积为，即

，求数列的通项及关于的表达式；（Ⅲ）记，求数列的前项和．参考答案：解：（I）因为

所以数列是“平方递推数列”．

--------2分

由以上结论，

所以数列为首项是公比为2的等比数列．

--------4分

（II），

．

--------6分

，

．

--------9分

（III），

．

--------13分略19.在中，角、、的对边分别为、、，.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．参考答案：（Ⅰ）由，得.

.......................................3分∴

∵，

∴.

..........................................6分（Ⅱ）由正弦定理,得.

.........................................9分∵,

,∴.

∴.

............................................11分∴.

...........................................12分20.(本小题满分10分)选修:不等式选讲已知函数f(x)=|x-2|+a,g(x)=|x+4|,其中a∈R.(Ⅰ)解不等式f(x)＜g(x)+a；(Ⅱ)任意x∈R,f(x)+g(x)＞a2恒成立,求a的取值范围.参考答案：(Ⅰ)不等式即,………2分两边平方得,解得,所以原不等式的解集为.………5分(Ⅱ)不等式可化为,………7分又,所以,解得,所以a的取值范围为(-2,3).………10分21.（本小题满分14分）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）当时，，．

………………2分由，得曲线在原点处的切线方程是．……3分

（Ⅱ）．

………………4分①当时，．所以在单调递增，在单调递减．

……5分当，．②当时，令，得，，与的情况如下：↘↗↘

故的单调减区间是，；单调增区间是．………7分③当时，与的情况如下：↗↘↗

所以的单调增区间是，；单调减区间是…9分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，时不合题意．

……10分

当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．设为的零点，易知，且．从而时，；时，．若在上存在最小值，必有，解得．所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．12分

当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．若在上存在最大值，必有，解得，或．所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．

综上，的取值范围是．

………………14分22.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；向量法；空间角．【分析】（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，则EG∥A1B1，从而GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，从平面GEF∥平面ABB1A1，由此能证明EF∥平面ABB1A1．（Ⅱ）连结AC1，推导出AC1⊥AA1，从而AC1⊥平面ABB1A1，再求出AC1⊥AB，AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，