河南省三门峡市第二中学2022年高三数学理联考试卷含解析

河南省三门峡市第二中学2022年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线的准线与双曲线相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程是，点F是抛物线的焦点，且△FAB是等边三角形，则该双曲线的标准方程是A. B. C. D.参考答案：D2.已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】几何概型．【分析】以菱形ABCD的各个顶点为圆心、半径为1作圆如图所示，可得当该点位于图中阴影部分区域时，它到四个顶点的距离均不小于1．因此算出菱形ABCD的面积和阴影部分区域的面积，利用几何概型计算公式加以计算，即可得到所求的概率．【解答】解：分别以菱形ABCD的各个顶点为圆心，作半径为1的圆，如图所示．在菱形ABCD内任取一点P，则点P位于四个圆的外部或在圆上时，满足点P到四个顶点的距离均不小于1，即图中的阴影部分区域∵S菱形ABCD=AB?BCsin30°=4×4×=8，∴S阴影=S菱形ABCD﹣S空白=8﹣π×12=8﹣π．因此，该点到四个顶点的距离均不小于1的概率P===1﹣．故选：D3.已知向量为单位向量，且，则的值为（

）A.1

B.2

C.

3

D.参考答案：Ａ4.已知函数，则的值为（

）A.；B.；C.；D.；参考答案：D5.已知不等式的解集为，则实数的取值范围（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略6.已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B试题分析：∵等差数列单调递增，∴，∵，即，即，∴.考点：等差数列的通项公式.7.已知定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有；②对于任意的③函数的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是

A．

B．

C．

D．参考答案：A由知函数的周期是4，由②知，函数在上单调递增，函数的图象关于y轴对称，即函数函数的图象关于对称，即函数在上单调递减。所以，，，由可知，选A.8.已知点A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C：x2+（y﹣4）2=a2在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离为a，若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（）A．2 B．2 C． D．参考答案：C【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】转化思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得a，求得C到直线OA的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值．【解答】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，4），半径为a，|AC|+|AF|=2a，由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a，可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，由C（0，4），F（，0），可得A（，2），代入抛物线的方程可得，4=2p?，解得p=2，即有a=+=，A（，2），可得C到直线OA：y=2x的距离为d==，可得直线OA被圆C所截得的弦长为2=．故选：C．【点评】本题考查圆的弦长的求法，注意运用抛物线的定义和三点共线和最小，同时考查弦长公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．9.设满足约束条件，若目标函数（）的最大值为12，则直线与圆的公共点个数为（

）A．0

B．1

C．2

D．无法确定参考答案：B10.集合，，则A．

B．

C．

D．参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈时，，若x∈时，f（x）≥t2﹣2t﹣4恒成立，则实数t的取值范围是．参考答案：﹣1≤t≤3考点： 函数恒成立问题．专题： 综合题；函数的性质及应用．分析： 先确定当x∈时，f（x）的最小值为﹣，利用函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），可得x∈时，f（x）的最小值为﹣1，从而可得﹣1≥t2﹣2t﹣4，即可得出结论．解答： 解：当x∈当x∈时，f（x）=（x﹣2）x∈∴当x∈时，f（x）的最小值为﹣，又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈时，f（x）的最小值为﹣，当x∈时，f（x）的最小值为﹣1，∵x∈时，f（x）≥t2﹣2t﹣4恒成立，∴﹣1≥t2﹣2t﹣4∴（t+1）（t﹣3）≤0，解得：﹣1≤t≤3，故答案为：﹣1≤t≤3．点评： 本题考查的知识点是函数恒成立问题，考查函数的最值，是函数、不等式的综合应用，确定﹣1≥t2﹣2t﹣4是解题的关键．12.设函数，则不等式的解集为__

___.参考答案：(2,3)13.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a6+a7=18，则S12=

.（考点：数列的性质）参考答案：10814.已知函数的图象在点处的切线斜率为1，则________________.参考答案：略15.已知函数f(x)=x3－2x+ex－，其中e是自然数对数的底数，若f(a－1)+f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是

.参考答案：[－1，]因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为.

16.两条渐近线所成的锐角为，且经过点的双曲线的标准方程为 .参考答案：或17.已知满足约束条件,则目标函数的最大值是_______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数.（1）当时,求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：(1)[－4,2](2)(－∞,－12]∪[8,+∞)【分析】（1）把代入，利用分类讨论法去掉绝对值求解；（2）先求的最小值，然后利用这个最小值不小于2可得实数的取值范围．【详解】解：（1）当时，不等式化为当时，不等式为，即，有；当时，不等式为，即，有；当时，不等式为，即，有；综上所述，当时，求不等式的解集为.（2），即.当时，不恒成立；当时，，有，即.当时，有，即.综上所述，的取值范围为.【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，绝对值不等式的解法一般是利用分类讨论来解决.19.已知抛物线：的焦点为.过点做直线交抛物线于、两点．(1)若点，过做垂直于的准线于，求的长度；（2）求证：以为直径的圆与的准线相切；(3)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点、，与轨迹相交于点，求的最小值．参考答案：（1）=5（2）利用圆心到准线的距离等于圆的半径.,当且仅当即时，取最小值16．20.（12分）已知函数

且恒成立。（Ⅰ）求x为何值时,在[3,7]上取得最大值;（Ⅱ）设F（x）=aln（x-1）－,若是单调递增函数,求a的取值范围。参考答案：（1）ln5（Ⅱ）[1，+∞）．【知识点】导数的应用B12（1）f（4）是f（x）的最小值对f（x）求导，有f'（x）=（），

∴x=4时，f'（x）=0，∴=0，∴t=3；f'（x）==

∴在x∈（3，4）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调减，在x∈（4，7）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调增∴求f（x）在[3，7]的最大值只要去比f（3）和f（7）的大小就可以了

∵f（3）=ln5，f（7）=

∴f（3）＞f（7），∴x=3时，f（x）在[3，7]上取得最大值，为ln5；

（2）F′（x）=-f′（x）=≥0在（2，+∞）上恒成立

∴≥0在（2，+∞）上恒成立

∴（a-1）x2+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．

下面分情况讨论（a-1）x2+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立时，a的解的情况．

当a-1＜0时，显然不可能有（a-1）x2+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．

当a-1=0时（a-1）x2+5x-4（a+1）=5x-8＞0在（2，+∞）上恒成立．

当a-1＞0时，又有两种情况：①52+16（a-1）（a+1）≤0；

②-≤2且（a-1）×22+5×2-4（a+1）≥0

由①得16a2+9≤0，无解；由②得a≥-，a-1＞0，∴a＞1

综上所述各种情况，当a≥1时（a-1）x2+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．

∴所求的a的取值范围为[1，+∞）．【思路点拨】（1）令导函数等于0求出x的值，判断函数的单调性，进而可求出最大值．

（2）对函数f（x）进行求导，然后令导函数大于等于0在R上恒成立即可求出a的范围21.(本题满分14分)若定义在上的函数同时满足下列三个条件：①对任意实数均有成立；②；③当时，都有成立。（1）求，的值；（2