弱简并玻色气体和费米气体课件

第八章玻色统计和费米统计§8.1热力学量的统计表达式

§8.2

弱简并玻色气体和费米气体§8.3

光子气体§8.4

玻色----爱因斯坦凝聚§8.5

金属中的自由电子气体§

8.1热力学量的统计表达式

回忆一下玻色系统和费米系统中粒子的最概然分布.

下面推导一下玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式.玻色分布费米分布b=1b=-1一

首先考虑玻色系统把,

和y看作由实验确定的参量.1引入

巨配分函数取对数为对取偏导为系统的平均总粒子数比较,得2系统的平均总粒子数分布总要满足的另一个条件是内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值.3系统的内能4外界对系统的广义作用力重要特例证明

证明

5系统的熵统计表达式由开系方程1/T是dS的积分因子配分函数＝

（，

，

y）的全微分为根据前面求出的已知量，可求得

(拉氏乘法原理，加上一个为０的项)根据偏导公式：d(uv)=vdu+udv上式指出是的积分因子。

令积分得系统的熵统计表达式玻耳兹曼关系

熵与微观状态数的关系６以T，V，为自然变量的特性函数是巨热力学化学势巨热力势J与巨配分函数的关系：（二）费米系统巨配分函数其对数为平均总粒子数内

能广义作用力重要特例熵熵与微观状态数的关系玻耳兹曼关系巨热力势§

8.2弱简并玻色气体和费米气体一分类一般气体满足经典极限条件e1，可用玻耳兹曼分布处理（１）满足经典极限条件的气体称为非简并性气体（２）需要用玻色分布或费米分布讨论的气体称为简并性气体其中又分为完全简并气体和弱简并气体．

１分子的能量二弱简并气体（不考虑分子内部结构，只有平动自由度）２在体积V内，在到+d的能量范围内，分子可能的微观状态数

其中：g由粒子可能具有自旋而引入的简并度．３系统的总分子数代入

４系统的内能代入下面要确定式子中的拉氏乘子．

系统的内能系统的总分子数引入变量x=

，dx=d

，

且=1/kT，将上述两式改写为

两式被积函数的分母表示为代入保留展开的第一项相当于将费米分布近似为玻耳兹曼分布．现在保留两项，相当于弱简并的情形。

系统的内能系统的总分子数过程

过程

两式相除玻耳兹曼分布的内能微观粒子全同性原理引起的粒子统计关联所导致的附加内能在弱简并情形下附加内能的数值是小的。费米气体的附加内能为正而玻色气体的附加内能为负指粒子的统计关联使费米粒子间出现等效的排斥作用，玻色粒子间则出现等效的吸引作用。

在第二章我们根据热力学理论论证过－－平衡辐射的内能密度和内能密度的频率分布只与温度有关，并证明了内能密度与绝对温度的四次方成正比。在第七章（四节）中又根据经典统计的能量均分定理讨论过这一问题，所得内能的频率分布在低频范围与实验符合，在高频范围与实验不符合。更为严重的是，根据能量均分定理有限温度下平衡辐射的内能和定容热容量是发散的，与实际不符。

本节根据量子统计理论，从粒子观点研究平衡辐射问题。§

8.3光子气体根据量子统计理论，从粒子观点研究平衡辐射问题。根据粒子观点，可以把空窖的辐射场看作光子气体。一模型：二光子的能量动量关系：具有一定的波矢k和圆频率的单色平面波与具有一系的光子相应，动量p与波矢k，能量与圆频率之间遵从德布罗意关系光子是三统计分布：玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。光子气体的统计分布由于窖壁不断发射和吸收光子，光子气体中光子数是不守恒的。在导出玻色分布时只存在E是常数的条件而不存在N是常数的条件，因而只应引进一个拉氏乘子

。令＝０,平衡状态下光子气体的化学势为零。

体积为V的空窖内,在p到p+dp的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为复习

光子的自旋量子数为1。

自旋在动量方向的投影可取±ћ

两个可能值，相当于左，右圆偏振。光子自旋有两个投影.

体积为V的空窖内,p到p+dp的动量范围内，光子的量子态数(光子自旋有两个投影)

体积为V的空窖内，在到+d的圆频率范围内，光子的量子态数每个量子态上的平均光子数四辐射场的内能普朗克公式上式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。讨论：１低频２高频维恩公式瑞利－金斯公式

1896年得到的公式，表明U随的增加而迅速趋近于0．温度为T时的平衡辐射中，高频光子几乎不存在．此时窖壁发射高频光子的概率是极小的．空窖辐射内能将普朗克公式积分，得到引入变量x=ћ／kT

(kT/ћ)dx=d

表明：平衡辐射的内能密度与绝对温度的四次方成正比．斯特藩－玻耳兹曼公式空窖辐射内能说明在热力学中，只可由实验测定．在统计学中，可直接求出．根据普朗克公式的变式空窖辐射内能密度随的分布有一个极大值m

．m可以由决定出来.非线性方程这个方程可以由图解法或数值法解出:其解为可见,空窖辐射场的内能密度取极大值ћm/kT值是一定的．上式可化为

m

与温度T成正比．这个结论称为维恩位移定律．五光子气体的热力学函数玻色粒子系统1巨配分函数取对数为令＝０(光子自旋有两个投影)

体积为V的空窖内，在到+d的圆频率范围内，光子的量子态数引入变量x=ћ／kT

(kT/ћ)dx=d

０２

光子气体的内

能３外界对系统的广义作用力特例：光子气体的压强比较得４光子气体的熵令＝０光子气体的熵随T→0而趋于0．符合热力学第三定律的要求．５光子气体的辐射通量密度§

8.4玻色----爱因斯坦凝聚本节讨论简并理想玻色气体在动量空间的凝聚问题。

考虑由Ｎ个全同，近独立的玻色子组成的系统，温度为Ｔ，体积为Ｖ．设粒子自旋为零，根据玻色分布，处在能级l

的粒子数为从上式可看出，这要求对所有能级l

均有

以0表粒子的最低能级，这个要求也可以表达为

显然，处在任一个能级的粒子都不能取负值。

说明：理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。如果取最低能级为能量的零点即0

＝０，则上式可以表为化学势由公式

确定为温度T及粒子数密度n=N/V的函数。注意l

和l都与温度无关。在粒子数密度n给定的情形下，温度越低由上式确定的值必然越高。如果将上式的求和用积分代替，可将之表达为其中用了态密度的公式．适用于热力学极限或能级间距远小于kT的情况．化学势既随温度的降低而升高，当温度降到某一临界温度TＣ时，将趋于－０。临界温度TＣ由下式定出这时趋于１。利用积分因此对给定的粒子数密度n，临界温度TＣ为温度低于时会出现什么现象呢？温度越低时，化学式越高，但在任何温度下必是负的．化学势既随温度的降低而升高，T<TＣ时，仍趋于－０。改写为第一项：n0(T)是温度为T时处在能级＝０的粒子数密度，第二项：处在激发能级＞０的粒子数密度n＞０

，将积分代替求和时所产生的误差不可以忽略时，计算第二项：利用积分处在激发能级＞０的粒子数密度温度为T时处在能级＝0的粒子数密度

在TC以下，n0与n具有相同的量级，

n0随温度的变化如图所示．表明：在T<TＣ时宏观量级的粒子在能级＝0凝聚．1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.2n0/nT/TC0在绝对零度下，粒子尽可能占据能量最低的状态．对于玻色粒子，一个个体量子态所能容纳的粒子数目不受限制．绝对零度下，玻色粒子将全部处在＝0的最低能级．在T<TＣ时宏观量级的粒子在能级＝0凝聚．这一现象称为玻色－爱因斯坦凝聚，简称玻色凝聚．

TＣ称为凝聚温度．凝聚在0的粒子集合称为玻色凝聚体．凝聚体不但能量为零；动量也为零，对压强没有贡献．由于凝聚体的的微观状态完全确定，熵也为零．在T<TＣ时，理想玻色气体的内能是处在能级＞0的粒子能量的统计平均值利用积分定容热容量为表明：在T<TＣ时，理想玻色气体的定容热容量与T3/2成正比．

T=TＣ时，理想玻色气体的定容热容量达到最大值1.925Nk.

高温时，理想玻色气体的定容热容量应趋于经典值3/2Nk.

理想玻色气体的定容热容量随温度的变化如图所示．２.0２.0ＣＶ/NkT/TC１.0１.0３／２

在T=TＣ时的尖峰处，理想玻色气体的定容热容量连续．但理想玻色气体的定容热容量对T的偏导数存在突变．爱因斯坦的理论语言以后，如何在实验中实现并观察到玻色－爱因斯坦凝聚现象，成为人们关注的问题．

4He是玻色子，大气压下4He的沸点是4.2K．液4He在T=2.17K发生一个相变，称为相变．温度高于T时，液4He是正常液体．称为HeI．温度低于T时，液4He具有超流动性．称为HeII．2213446810T/KCV/?(J•g-1•K-1)在T附近4He的热容量随温度的变化曲线将4He的数据m=6.65×10-27kg，Vm=27.6×10-6m3•mol-1代入到临界温度的表达式算得TC=3.13K，与T相接近．发现的超流性质后，伦敦在1938年提出4He的相变可能是一种玻色凝聚．超流与凝聚在＝０的玻色凝聚体有关．当然液4He不是理想玻色系统，其原子之间存在很强的相互作用，使对4He中玻色凝聚的理论分析及其与实验的比较变得复杂化．弱作用玻色气体凝聚的研究受到重视后，人们将式子改写为理想玻色气体出现凝聚的临界条件满足上式时，原子的热波长与平均间距具有相同的量级．量子统计关联起着决定性的作用．出现凝聚体条件可以通过减低温度和增加气体粒子数密度的方法实现玻色凝聚．§8.5金属中的自由电子气体一引入一个简化模型：

原子结合成金属后,价电子脱离原子在整个金属中运动,失去价电子后的原子变为离子.

离子在空间中排列的周期性,离子在金属中产生一个周期性势场.

电子在周期场中运动,电子间又存在库仑相互作用,描述电子的运动是一个十分复杂的问题.

在晶格之中,晶格对电子没有吸引力,即E=0.势场中的电势为0.在引力场中运动的电子之间,斥力为0.

这样的价电子可以看作处在一个恒定的势阱中的自由电子.形成自由电子气体.自由电子模型容易解释金属的导电性和导热性.二

统计理论1电子自旋为1/2.是费米子.自旋在其动量方向投影2遵从量子统计的费米分布3温度为T时,处在能量为的一个量子态上的平均粒子数:4考虑到电子自旋在其动量的方向的投影有两个可能值，在体积V内，在到＋d的能量范围内，电子的量子态数为

5在体积V内，在到＋d的能量范围内，平均电子数为6在给定电子数N，温度T和体积V时，则化学势

由下式确定可知,是温度T和电子密度N/V的函数.以

(0)表示0K时电子气体的化学势。三

讨论（一）1T=0K时电子的分布T=0K时

(0)时

(0)时根据温度为T时,处在能量为的一个量子态上的平均粒子数:

(0)时

(0)时2表示为图形为01f

(0)３意义：在T=0K时，在

(0)的每一量子态上平均电子数为1，在

(0)的每一量子态上平均电子数为零。此分布可以这样理解：在0K时电子将尽可能占据能量最低的状态，但泡利不相容原理限制每一量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从

=0的状态起依次填充至(0)止。４

(0)是0K时电子的最大能量，由下式确定：

０１积分５

P(0)是0K时电子的最大动量相当于ћk

称为费米动量给定温度T和电子密度N/V.就可求出(0)．例如：铜的N/V＝8.5×1028m-3,得(0)=1.1×10-18J６

0K时，电子气体的内能也就是总内能各个能级７

0K时，电子气体的平均能量8定义费米温度例如：铜的TF＝7.8×104k.

９一般情况下，金属中自由电子气体的化学势与(0)的数值很接近．化学势也常称为费米能量或费米能级．以F表示．一般情形下，>>kT．金属中自由电子气体是高度简并的．（二）1T＞0K时电子的分布根据温度为T时,处在能量为的一个量子态上的平均粒子数:

时

时2表示为图形为

＝时

01f

1／２每一量子态上平均电子数大于1/2每一量子态上平均电子数等于1/2每一量子态上平均电子数小于1/2函数按指数规律随变化，实际上只在附近数量级为kT的范围内，电子的分布与T=0K时的分布有差异．

01f

1／２在0K时，电子占据了从0到(0)的每一个量子态．温度升高时，电子有可能跃迁到能量较高的未被占据的状态去．但处在低能态的电子要跃迁到能量较高的未被占据的状态去，必须吸取很大的能量，而这种可能性是很小的．绝大多数状态的占据情况实际上并不改变．只在附近数量级为kT的能量范围内占据情况发生改变．只有在附近，数量级为kT的能量范围内的电子对热容