二维随机变量函数的分布课件

华中科技大学文华学院概率论与数理统计2010年3月～5月数学教研室梁幼Home）wululym@163.coMobil）§4两个随机变量的函数的分布第三章二维随机变量及其概率分布退出知识点、考点举要一．基本概念二．常用重要函数分布的求法一维离散变量二维随机变量的函数一维连续变量常用重要函数的分布和的分布最大与最小值分布求和的分布的概率密度最大等于边缘分布函数之积求分布列仍用归并法卷积公式求最值的分布函数最小等于边缘分布函数关于1的补数之积的补数退出范例选析思考与练习两个随机变量之和的分布§4两个随机变量的函数的分布两个随机变量最大与最小取值的分布退出退出返回在离散量的分布列中,对X,Y所有能使函数Z取同一值的全部取值概率进行归并(例如,固定一个变量的取值,然后寻找另一变量与其之和为同一值的取值概率),所得之和即是函数Z在同一可取之值上的取值概率.1.离散变量之和的分布列可用归并法求之Z=X＋Y一、和的分布试求的分布列．退出返回例1

设随机变量(X,Y)

的联合分布列如下在联合分布列中对使Z解Z所有可能的取值显然为0，1，2,···,8.

Y

X012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05可取同一值的X与Y的取值概率进行归并,即得Y的分布律如下00.020.240.190.130.0601P5432Z6780.190.120.05一、和的分布退出2.连续变量之和的概率密度可用卷积公式求之利用分布函数转化法可以证明:将联合概率密度中的任一变量改写成和变量与另一变量的差,然后关于另一变量在(－∞,＋∞)上积分,即得和的概率密度:返回或Z=X＋Y一、和的分布退出证∵Z的分布函数∴Z的概率密度返回例2-1

设随机变量(X，Y)的联合概率密度为

f(x，y).证明

Z=X＋Y的概率密度或XY0x+y=z一、和的分布退出证∴Z的概率密度返回例2-1

设随机变量(X，Y)的联合概率密度为

f(x，y).证明

Z=X＋Y的概率密度或XY0x+y=z类似地,∵一、和的分布退出例2-2

两标准正态量X与Y相互独立,求其和的概率密度.解返回于是,依卷积公式即得且相互独立,∴联合概率密度即一、和的分布3.若干重要独立量的和的分布可加性换言之,如果相互独立的随机变量Xi~N(μi,σi2

),i=1,2,…,k

那么,其任意的线性组合量Z=b1X1+b2X2+…+bk

Xk也是正态量，且有退出返回Z=X＋Y一、和的分布⑴有限个相互独立的正态量的线性组合仍然是正态量.3.若干重要独立量的和的分布可加性换言之,如果相互独立的随机变量Xi~B(ni,p),i=1,2,…,k

那么,其和变量Z=X1+X2+…+Xk也是二项分布量，且有退出返回Z=X＋Y一、和的分布是二项分布量.因此,服从B(n

,p)的二项分布量是n个相互独立的0-1量之和.⑵有限个相互独立的同类二项分布量之和仍然3.若干重要独立量的和的分布可加性退出返回Z=X＋Y一、和的分布⑶有限个相互独立的泊松量之和仍然是泊松量.换言之,如果相互独立的随机变量Xi~P(λi),i=1,2,…,k

那么,其和变量Z=X1+X2+…+Xk也是泊松量，且有退出例2-4

两[0,1]上的均匀量X与Y相互独立,试求和变量的概率密度.解返回于是,依卷积公式,即得且相互独立,∴概率密度1ZXOz=x+1z=x1x=z一、和的分布例2-4

两[0,1]上的均匀量X与Y相互独立,试求和变量的概率密度.解且相互独立,∴概率密度于是,依卷积公式,即得1ZXOz=x+11x=zx=1-z退出返回一、和的分布退出二、最大与最小值分布返回M=max

(X，Y)与

N=min(X，Y)

如果随机变量X和Y相互独立，分布函数依次为FX

(x)和FY

(y)，则最大值M=max

(X，Y)与最小值N=min(X，Y)的分布函数必依次为即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布函数是边缘分布函数（关于1）的补数之积的补数．1.最值分布的分布函数退出二、最大与最小值分布返回M=max

(X，Y)与

N=min(X，Y)即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布函数是边缘分布函数（关于1）的补数之积的补数．1.最值分布的分布函数【最值分布函数计算式的证明】退出二、最大与最小值分布返回M=max

(X，Y)与

N=min(X，Y)1.最值分布的分布函数【最值分布函数计算式的证明】即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布函数是边缘分布函数（关于1）的补数之积的补数．退出二、最大与最小值分布返回M=max

(X，Y)与

N=min(X，Y)即最大值的分布列是联合分布列中两变量取不超过同一可取k值的所有概率的总和．2.离散变量的最值分布列可由联合分布列直接归并【依据】退出二、最大与最小值分布返回M=max

(X，Y)与

N=min(X，Y)即最小值的分布列是联合分布列中两变量取不小于同一可取k值的所有概率的总和．2.离散变量的最值分布列可由联合分布列直接归并【依据】退出返回例2-1

设随机变量（X，Y)的分布律为Y

X012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05试求

max

(X，Y)与min

(X，Y)的分布律.M取其中任一M=max

(X，Y)的取值范围显然为0～5,解值i的概率(即分布律)为M012345p00.040.160.280.240.28二、最大与最小值分布退出返回例2-1

设随机变量（X，Y)的分布律为Y

X012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05试求

max

(X，Y)与min

(X，Y)的分布律.N取其中任一N=min(X，Y)的取值范围为0～3,同理,值i的概率(即分布律)为N0123p0.300.250.170.28二、最大与最小值分布退出二、最大与最小值分布返回M=max

(X，Y)与

N=min(X，Y)

如果随机变量X和Y相互独立，分布函数依次为FX

(x)和FY

(y)，则最大值M=max

(X，Y)与最小值N=min(X，Y)的分布函数必依次为即最大值的分布函数是边缘分布函数之积，最小值的分布函数是边缘分布函数（关于1）的补数之积的补数．3.连续变量的最值概率直接由分布函数计算退出返回例2-2

设随机变量Xi(i=1,2,…,5)是相互独立的服从同一分布的连续随机变量，概率密度为求M=

max

(X1，X2，X3，X4，X5)

的分布函数以及概率P{M

>4}.各Xi的分布函数都为从而，

M=max

(X1，X2，X3，X4，X5)

的分布函数为解二、最大与最小值分布退出返回例2-3

某型电子管寿命(小时)服从正态分布求任取4只,无一只的寿命小于180小时的概率.且各Xi(i=1,2,3,4)相互独立.解以Xi(i=1,2,3,4)分别记4只电子管的寿命，则显然令N

=min

{X1,X2,X3,X4}，则应求的概率二、最大与最小值分布相互独立时,k个随机变量最大值的分布函数等于各变量分布函数的乘积，多维随机变量最小值的分布函数等于各变量分布函数(关于1)的补数之积的补数,即退出返回4.多维独立随机变量最值分布的一般性结论二、最大与最小值分布若k个随机变量同分布(包括同参数),则有其中,FX

(x)表各随机变量共同的分布函数.求的概率密度.三、范例选析退出*例3-1

设X与Y相互独立,概率密度分别为解依卷积公式返回1ZXO1z=xx=1退出返回例3-2

随机变量（X，Y)的联合分布律如右表所示:12311/61/91/621/181/91/1831/61/91/18试求概率P{X=2|Y=2}以及

max

(X，Y)的分布律.解两边缘分布列如联合分布列加边后算出的数字所示.8/184/186/187/186/185/18条件概率

M

=max(X,Y)的分布律1231/6三、范例选析退出*例3-3

设随机变量试求随机变量解各Xi

的分布函数返回相概率密度皆为互独立,服从同一分布,的概率密度.三、范例选析课外书面练习退出返回《概率统计练习册》P19：1.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(二维离散与连续随机变量基础知识)

P20:2.(求二维离散变量的联合分布律)3.(求联合概率密度的未知参数与计算概率)

参考答案退出返回(6),,(3),,(4),,(2)

,

以及1(1),(5)参考答案退出返回*23(1)(2)(3)(4)课外书面练习《概率统计练习册》P21,P22P21:4.(二维均匀与正态量与边缘概率密度基础知识)

5.(求联合概率密度的未知参数与边缘概率密度)P22：6.(求二维随机变量的取值概率与边缘概率密度)7.(求二维均匀量的联合概率密度及其函数值)

(3),.参考答案退出返回(2)(2)均匀分布,面积,1,

4(1)二维正态分布

,5(1)参考答案退出返回(2)67(1)课外书面练习《概率统计练习册》*P23,P24

P23：8.(条件分布、一般随机变量与正态量相互独立的常识)

P24：9.(求联合分布律，判断离散量的相互独立性)

10.(求未知分布参数与两个边缘概率密度，

判断连续量的相互独立性)

(3),,,.参考答案退出返回(4)(2)8(1),(6)相互独立(7)(5)相互独立∴X与Y相互独立.参考答案