复习专题02平面向量的数量积运算

期末复习专题02：平面向量的数量积运算解析版【知识框架】【考点讲解】考点一：平面向量的数量积考点二：投影向量考点三：平面向量的模的公式考点四：平面向量的夹角公式考点五：平面向量的垂直条件考点一：平面向量的数量积【知识点梳理】1.向量的夹角已知两个非零向量,，如图所示，则∠AOB=(0≤≤π)叫做向量与的夹角，也常用表示.注意：两个向量要同起点，夹角范围2.两个向量数量积的定义已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||.

规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0.【典例例题】例1.（2023·江苏省苏州市期中试题）在如图所示的半圆中，为直径，为圆心，点为半圆上一点且，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】因为，，所以，又，所以，又，所以.故选：C【变式训练】1.（2022秋·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）已知是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，则（）A．B．C．1D．2【答案】B【解析】因为是等边三角形，所以.所以是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，所以.所以.故选：B2.已知，，且向量与的夹角为120°，则______.【答案】-268【解析】.3.（2022秋·安徽黄山·高一统考期末）已知向量，，满足，，，，，则_________.【答案】6【解析】由，得，两边平方，得，因为，所以，得.4.（2022·广东省东莞市期末试题）已知平面四边形ABCD中，AD⊥BD，DA=23，AB=4，且△【答案】2

【解析】解：在Rt△ABD中，AD⊥BD，DA=23，AB=4，∴DB=2，且△BCD是正三角形，

∴AC⋅DB5．（2023·广东省梅州市期中试题）如图，在中，，，则＝（）A．9 B．18C．6 D．12【答案】B6.（2023·广州市第一中学期中）如图，在中，弦AB的长度为2，则的值为（）.A.与半径有关 B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【详解】设圆C的半径为r，，连接圆心与线段的中点，则，所以，∴.故选：C.考点二：投影向量【知识点梳理】1.投影向量的定义公式：向量在向量方向上的投影向量2.投影向量的计算公式：向量在向量方向上的投影向量【典例例题】例1.（2022·高一课时练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（）A．12B．8C．-8D．2【答案】A【解析】在方向上投影向量为，，.故选：A【变式训练】1.（2023·高一期中试题）已知|a|=3,|b|=5，设a,b的夹角为120°，则A．56a B．536a C【解题思路】列出投影向量公式，即可计算求解.【解答过程】b在a上的投影向量a故选：C.2.（2022春·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知平面向量a,b满足|a|=2,a⋅bA．12a B．12b C．【解题思路】根据投影向量的定义结合向量的夹角公式运算求解.【解答过程】b在a方向上的投影向量为(|故选：C.3.（2022·高一课时练习）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=120∘，AB=A．-32AB B．-12AB【解题思路】根据图形求出向量AB与CD的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.【解答过程】延长AB，DC交于点E，如图所示，∵∠ABC∴∠CBE∴∠CEF又∵CD∴向量CD在向量AB上的投影向量为CD⋅故选：B.4.（2022·浙江·高一校联考期中）已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设的中点为，则，所以，所以外心与中点重合，故为直角三角形.设，则，，，设为方向上的单位向量，则在上的投影向量为.故选：C.考点三：平面向量的模的公式【知识点梳理】平面向量的模公式：【典例例题】例1.（2023·江苏省镇江市期中试题）已知向量、的夹角为，，，则=（）A.4 B.5 C. D.【答案】B【解析】【详解】因为，所以.故选：B【变式训练】1．（2023年广东省梅州市期中试题）已知向量的夹角为，，，则（）A．1 B． C．2 D．【答案】A2.（2023年广东省佛山市期中试题）（多选）已知平面向量，，若，，，则（）A. B.向量与向量的夹角为C. D.向量与向量的夹角为【答案】AD【解析】【详解】解：对A，，，又，，即，解得：，故A正确；对B，D，，解得：，又，故向量与向量的夹角为，故B错误，D正确；对C，，故C错误.故选：AD.3.（2022秋·山东淄博·高一统考期末）已知，．若，则（）A．B．C．2D．4【答案】A【解析】因为，所以，所以，又.故选：A.4.（2022秋·山东·高一期中）在中，，若D为BC中点，则为_________．【答案】【解析】，所以，故，，两式相减得，所以，所以＝.5.（2023春·北京昌平·高一统考期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________.【答案】【解析】由图知：，则，又，则.6.（2023年江苏省苏州市期中试题）在如图所示的半圆中，为直径，为圆心，点为半圆上一点且，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】因为，，所以，又，所以，又，所以.故选：C考点四：平面向量的夹角公式【知识点梳理】平面向量的夹角公式：夹角范围：【典例例题】例1.（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知向量m，n满足m=n=2，且m⋅n=-22A．π6 B．π4 C．3π【解题思路】根据向量的点乘关系，求出cosθ，即可求出m，n夹角【解答过程】解：由题意，在向量m，n中，m=m⋅解得：cos∴θ故选：C.【变式训练】1.（2022春·云南）已知|a|=1,|b|=2,aA．0 B．21111 C．213【解答过程】解：|a|=1,|所以cosa故选：D.2.（2022·全国·模拟预测）已知向量a，b满足a=1，a+2b=7，aA．π2 B．3π4 C．π【解答过程】解：由题可得a+2ba-b①②两式联立得a⋅b=-∴cosa,b∴a,故选：D.3.（2022秋·山东聊城·高一期中）已知|a|=2,|b|=2,e是与向量b方向相同的单位向量，向量a在向量b上的投影向量为-A．45° B．60° C．120° D．135°【解答过程】由题意可知向量a在向量b上的投影向量为a⋅则a⋅b|而⟨a→,故选：D.4.（2022秋·高一西南大学附中期末）已知向量，满足，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为向量，满足，由，可得，即，即又由，可得，即，解得，即，又因为，因为，所以，即与的夹角为.故选：B.5.（2022秋·湖北·高一湖北省天门中学校）已知，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，所以，故选：A考点五：平面向量垂直条件【知识点梳理】向量的垂直条件：已知两个非零向量，则【典例例题】例1.（2023·广东省佛山市期中试题）已知向量满足，，且，则与的夹角的余弦值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由已知得得：故选A【变式训练】1.（2023·广东省佛山市荣山中学期中）（多选）已知平面向量，，与的夹角为，则（

）A.·=1 B.C. D.在上的投影向量的模为【答案】AC【解析】【详解】对于A：，故A正确；对于B：∵，∴与不垂直，故B错误；对于C：∵，∴，故C正确；对于D：在上的投影向量的模为，故D错误.故选：AC.2.（2022·高一练习）已知平面向量，的夹角为120°，且.若，则______.【答案】11【解析】因为平面向量，的夹角为，且，所以，因为，所以，所以，解得.3.（2022秋·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）若与都是非零向量，则“”是“”的（）A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】因为与都是非零向量，所以，故“”是“”的充要条件.故选：C.4.（2022·高一课时练习）设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】因为在方向上的投影向量为，所以，所以，因为与垂直，所以，即，解得.故选：B.【巩固练习】1.已知是边长为的等边三角形，则________．【答案】【解析】.在边长为2的等边三角形中，，，则______．【答案】【解析】因为，所以为的中点即，∵，∴，∴.2.已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则__.【答案】【解析】由题意得，所以.3.若平面向量与的夹角为120°，，，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【解析】直接化简，求出答案.【详解】化简，或（舍去）.故选：B.4.已知向量，满足，，，则（

）A．5 B．7 C． D．【答案】D【详解】解：因为，，，，所以.故选：D．5.设非零向量，满足，则A．⊥B．C．∥ D．【答案】A【详解】由平方得，即，则，故选A.【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.6.若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【详解】由题意可得，故，，，故，由于，故，故选：C7．已知平面向量，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，，∵，解得：，∴两向量夹角，∵，以为坐标原点,,垂直于所在直线为,轴建立平面直角坐标系,如图所示,则,设,由,知,解得,∴又E为的外心，∴，∴为等边三角形,∴，∴,∴.故选：B.8.已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量的模为________．【答案】【详解】在方向上的投影向量的模为．故答案为：9．在边