级复变函数与积分变换工科卷参

课程编号 理工大学2006—2007学年第二学2005A卷(6)(i)i解：原式eiLn(i)

i(ln|i|i2ki)

e

Ln(ei解：原式ln|ei|iarg(ei2k

二(10) (1)求区域{z:|zi|1}在映射w2(zi)下的像并作出其映射过程的图形。w1z w而区域{z:|zi|1i为心、1为半径的圆盘，经平移w1zi后得到在w1平面的象为圆盘{w1|w1|12w平面的象为圆盘{w:|w|2yioxo1vo2uyioxo1vo2u(2)f(zx2y2xi(2xyy2在复平面上哪些点处可导，哪些解：设u(x,y)x2y2x,v(x,y) ，u2x

u2

f(zzxiyCauchy-Riemannuv,uv

即2x12x2 y12

2y2

故f(z)仅在直线y1上可导，从而在复平面上处处不解析 2三(10)f(z)ux,yivx,yD内解析，其中ux,y),vx,y为二元实函数，并且vx,y)u2x,y，试证：f(z)D内是一个常数。f(zDuv u

又vx,y)u2x,yx,yv2uu

v2u

故

u(4u21)uuvv

所以ux,yc1,vx,yc2c1c2为实常数)f(zD四(10)ux,y3xy2x3为调和函数，并求满足条件f(0c的解析函数f(zuiv证明：由于ux,y3xy2x32u

6

6

2u

6

2u 6在整个复平面上连续，并且满足Lace方2u2u

所以u(x,y)3xy2x3为整个复平面上的调和函数 u3x23y2v u6xyv

v(3x23y2)dyg(x)3x2yy3g(

xv6xyg'(x)

g'(x)

gx)cc为实常数 v(x,y)3x2yy3c

从 f(z)u(x,y)iv(x,y)(3xy2x3)i(3x2yy3c')z3ic

又f(0)c，所以c'ic，于是所求解析函数f(z)z3c [方法二]由Cauchy-Riemann方程和解析函数的求导可得，由u,v构成的解析函数f(z)的导数f'(z)uiv=ui =(3x23y2)i6=3z2于 f(z)z3z2dzic'z3ic0

其中cf(0)c，所以cicf(z)z3c (48)(1)C|z|dz，其中CI)从点0到1i的直线段；II)正向圆周|z|2解：I)当路径C为从点0到1iz(t)(1i)t,0t1 |z|dz1|(1i)t|(1i)dt2(1

II)当路径C为圆周|z|2z(t)2eit,0t

|z|dz|2eit|2ieitdt0

zcosz2dzzcosz2sinsin2zcosz2dz

0i0

sin2

0 z(z2i)4

z2i

(z2i)4

z2i

(z2i)4(zz(z2i)4dzz2i8

z2i

z(z2i)4dz

4 4z2iz(zz(z1)(z2C

，其中C为|z|r,1<r<2解

2i{Re

,0)Re

,

Cz2(z1)(zC

z2(z1)(z

z2(z1)(z

(z1)(z

]'

z

z2(z

|z1

2i{11} (ez

z1

dz2

|z

ez

ez

ez

z

2dz2i{Re 2,0)Re 2 zz zz

e e2i{(z1)2|z0

ezz

]'|z1

z5cos zdz2iRe

5

cos

,

1

2iRe ,(6 xcos

2

6

|02

x24x

dx

x24x

,2z24z

Re{2

(24i)ei(24i

}(cos22sin

ze1/z2ze1z2在圆周{z:|zi|2}z0)z1)z1 2!1,ze1/z2z(1

12!

则

Res(ze1/z2,0)

ze1/z2dz2iRes(ze1/z2,0)2

六(16)f(z)

(z1)(3z

z0Taylor23环域1环域0

z1LaurentzLaurentz11Laurent3

f(zz1z2z0Taylor3R|20|2从而它在点z0的Taylor级数展开式为(|z|2 f(z) z 3z11

132

2n0[(3)n1 (|z

f(z23

z1Laurentf(z) z 3z11

1

zn1(2

zn0( z 3( z

n

f(z在环域1

zLaurentf(z) z 3z z 1z

1

1(1)n1(2z

zn0