高中数学-3.2.2函数模型的应用实例教学设计学情分析教材分析课后反思

3.2.2函数模型的应用实例课前预习【温馨寄语】面对不可能，除了茫然，还有努力突破【学习目标】1．掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数等函数的图像和性质，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用。2．会通过对给出数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性。3．了解函数拟合的基本思想。会通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，学会建立拟合函数模型解决实际问题。4．体会数学的应用价值，提高探究学习新知识的兴趣，培养勇于探索的科学态度和分析、解决问题的能力。【学习重难点】能够建立确定性函数模型或拟合函数模型解决实际问题【自主学习】1．常见的函数模型函数模型函数解析式（1）正比例函数模型（2）反比例函数模型（3）一次函数模型（4）二次函数模型（5）指数函数模型（6）对数函数模型（7）幂函数模型（8）分段函数模型2．思考：利用给定函数模型或建立确定函数模型解决实际问题的一般方法步骤是什么？3.思考：求解近似函数模型的一般方法步骤是什么？4．阅读教材103页例4，结合教材110页，探究以下问题英国物理学家和数学家牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型。如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间后物体的温度将满足，其中为正的常数。请设计一个方案，对牛顿的冷却模型进行验证。设计意图：让学生体会到数学来源于生活，激发学生的学习兴趣，并做好利用所学知识解决实际问题的准备，为后续探究做好铺垫课堂探究一、利用给定的函数模型解决实际问题例1、若有一同学在探究上述牛顿冷却模型中，做了如下实验：取一个普通的玻璃杯装满开水，测得其初始温度，环境温度，每隔2分钟测量其温度，记录处理数据后得到如下表格时间/min246810温度/9284797267的值0.05480.05730.05360.05610.0551如果我们取上述的平均值（精确到0.01）作为的值，试探究（1）假设室温，一杯的开水降到需要多少时间？（2）假设冰箱冷冻室温度为，应该在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？参考数据：，。设计意图：1、复习利用确定函数模型解决应用问题的基本方法和步骤2、引发认知冲突，引导学生对问题进行反思，意识到实际问题往往数据多且没有确定的函数模型，从而引出后续的探究活动总结思考：我们可以采用什么方法检验所得模型与实际数据是否相符？你对由模型得出的结果与实际存在的情况有何看法？二、建立拟合函数模型解决实际问题例2、某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的每月投资金额与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额/万元123456所获纯利润/万元1.11.61.921.891.6投资B种商品金额/万元123456所获纯利润/万元0.20.40.610.811.21该经营者准备第七个月投入10万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元合算。请你制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润。设计意图：1、经历利用函数拟合解决实际问题的过程，了解解决实际问题的基本步骤，提高提取数据，分析数据的能力2、通过选择不同的函数模型解决问题并对结果的合理性进行评价，学生感受到应用问题的现实意义，在对不同方案进行比较、评价的过程中，意识到解决实际问题应注意根据问题背景选择较合理的方案总结提升：试归纳建立近似函数模型解决实际问题的基本过程设计意图：1、反思问题探究过程，归纳解决问题的一般方法，提高数学实践能力2、体会到函数应用的现实意义，尝试从背景的现实性、方法的合理性、结果的有效性方面对应用问题进行反思教师说明，现实问题往往受到很多因素的影响。三、建立确定性函数模型解决问题例3、一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象。点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练.思考探索：1、将图中的阴影部分隐去，得到的图象有什么意义？2、图中每一个矩形的面积的意义是什么？3、能否作出汽车行驶路程关于时间变化的图像？四、课堂总结，提升认识师生共同回顾本节课的学习过程，归纳数学建模的过程与方法，了解了数学建模的两种方式1、建立函数解决实际问题的步骤；2、建立函数模型的两种途径：（1）匹配确定模型（2）函数拟合3.、数学应用问题的现实意义背景的现实性、方法的合理性、结果的有效性设计意图：回顾本节课内容，总结解决问题的一般方法，体会到数学来源于生活，应用于生活，加深了对数学应用问题的理解，培养反思的意识．作业：1、阅读教材，了解数学建模的第三种途径——创造新的函数模型．2、请你利用本节课所学的知识和方法，整理和补充相关信息，建立适当的模型解决你提出的问题，并写出一篇小论文．设计意图：作业1给学有余力的同学以拓展的空间，完善学生的知识结构．通过开放式作业2，学生评估自身的学习效果，同时通过解决自己提出的问题，再次经历学数学、用数学的过程，提高数学实践能力课后巩固1、在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x2、某家庭进行理财投资，根据市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图1所示，投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2所示（收益与投资额单位：万元）（1）分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益？其最大收益是多少万元？班级__________姓名__________评分__________日期_________高一学生通过数学必修１前两章的学习，已经理解了函数的概念，掌握了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的图象和性质，对函数知识有了初步的应用能力。初步掌握了图形计算器的使用方法，能根据给定数据进行指定函数模型的拟合。通过第三章的学习，学生了解了不同类型的函数的增长差异，这为本节课的学习奠定了知识基础。但是学生的思维尚处于由直观感知到抽象分析的过渡阶段，数形结合和应用数学的意识不强。同时，运用数学知识解决实际问题，需要有一定的阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换等数学能力，而高一的学生数学能力较弱，往往不能深刻理解题意，不善于将实际问题抽象为一个数学问题来解决，缺乏利用数学模型对实际问题进行分析和评价的经验。因此，在教学中要引导学生进行数据分析，建立适当的模型并对模型进行简单的分析。利用这一节课让学生初步掌握了建立拟合函数模型的方法、步骤，体会到了数学建模的意义和数学的应用价值。在教学过程突出了“以学生为主体”的教学理念，引导学生自主学习、探究性学习，有利于培养学生的数学能力，提高学生的数学素养。在函数建模中借助信息技术对教学的辅助作用，实现了课程的整合，也让学生的思维活动在技术的支持下得以自由发展，激发学生的学习兴趣。解决问题时，学生通过联系实际，不断反思和改进数学模型（即选择不同的函数进行拟合），最终得到符合实际规律的结果，这种反思贯穿于数学建模的全过程，这使得学生在数学学习中逐渐形成发展数学应用意识的价值观念、行为方式，并用所学的知识去发现并解决生活实际问题；课堂教学中，通过将“传统的数学应用问题”与“数学建模活动”的对比，加强了数学建模核心素养的培养，此举有利于学生养成用数学的眼光观察现实世界的习惯，有利于学生发展用数学的思维分析实际问题的能力，有利于学生形成用数学的语言表达实际问题的能力。【教学内容分析】“加强数学应用，形成和发展学生的数学应用意识”是高中数学课程标准数学教育教学的基本理念之一。为了践行该教学理念，新课标实验教材（人教A版数学必修1）在安排学生系统学习了指数函数、对数函数、幂函数这些基本初等函数之后，特别将《函数的应用》独立成一章的内容，通过一些实例让学生感受函数的广泛应用，体会数学学习的价值所在。《函数模型及其应用》是这一章的核心内容，是数学与生活相互衔接的枢纽。而“函数模型的应用实例”是上一节内容“几类不同增长的函数模型”的自然延续，让学生对数学知识的理解由抽象晦涩的式子走向直观鲜活的应用。本部分内容设置了四个例题，分别是行程问题、增长率问题、销售问题和体重问题，这几个例题在知识能力要求上又步步递进，越来越贴近生活实际：利用给定的函数模型解决问题（例4）；建立确定性的函数模型解决问题（例3、例5）；建立拟合函数模型解决实际问题（例6）。本部分内容课标要求两个课时完成，而本节课选取的是第二课时。通过教材中例题6的学习，要求学生能够对现实情境中采集的数据借助计算机或图形计算器进行观察分析，选择适当的函数模型来解决实际问题．该例题既能体现函数的作用，也让学生经历了把数学知识应用于生活实际的建模过程，既强化了学生应用数学的意识，也提高了学生应用数学的能力，增强了学生的数学素养。同时，该节课的内容为以后学生学习必修3的《线性相关关系》和选修部分的《回归分析》做了很好的铺垫。【教学目标设置】根据课程标准的要求并结合本节课的内容和高一学生已具备的知识、能力和心理特点，确定本节课的教学目标为：（1）能根据图表数据进行简单分析，能选择适当的函数模型解决实际问题；（2）通过将实际问题转化为数学问题的过程，掌握数学建模的基本步骤（3）通过解决实际问题的过程，认识到生活处处皆数学，并感受到数学知识对实际问题的指导作用，体会数学的应用价值【教学策略分析】根据本节课的内容和学生的情况，确定本节课的重点和难点教学重点：（1）分析表格数据，建立适当的函数模型；（2）利用函数模型解决实际问题；教学难点：（1）根据表格数据如何选择适当的函数模型（2）对不同的模型的优劣进行简单分析教学准备：教材中的例题6旨在结合生活中的实际问题，体现数学的应用价值，因此数据多且复杂。如果不借助于计算机和图形计算器，难以发现数据背后所隐藏的规律，也难以完成本题的计算。如果按教材那样选择两组数据求出函数解析式的方式处理，将无法得到让学生信服和满意的函数模型，也限制了学生的思维发展。而图形计算器可以很好的解决上述问题，给学生的自主探索提供可能，能大大激发学生的学习兴趣和求知的欲望。因此上课之前要求学生会使用图形计算器进行简单的数据分析、计算和拟合。【教学流程框图】感受数学与实际生活的关系情境设置引出课题感受数学与实际生活的关系情境设置引出课题分别从数与形两个角度分析采集的数据分析数据分别从数与形两个角度分析采集的数据分析数据直观认识利用图形计算器建立合适的函数模型操作实验利用图形计算器建立合适的函数模型操作实验建立模型利用数学模型解决实际问题利用模型利用数学模型解决实际问题利用模型指导预测不同的数学模型优劣对比分析对比不同的数学模型优劣对比分析对比完善认知提升用数学的意识和能力学以致用提升用数学的意识和能力学以致用形成能力培养学生数学建模的思想反思过程培养学生数学建模的思想反思过程总结规律1．某新产品电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()．A．y＝100xB．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100log2x＋1002．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()．A．一次函数 B．二次函数C．指数型函数 D．对数型函数3．某种动物的繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，已知该动物第一年繁殖100只，则第15年会繁殖________只．4．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分钟)之间满足函数关系式y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？5．如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是下列图象中的()．6．已知每隔5年液晶电视的价格就降低eq\f(1,3)，现在价格为2700元的液晶电视，经过15年的价格为()．A．800 B．760 C．750 D．8107．有一批材料可围成200m长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成并排三个相邻且全等的矩形场地，所围成的矩形总面积的最大值是________．8．某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少eq\f(8,5)t万件．(1)将税金收入表示为征收附加税率的函数．(2)若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？1．解决实际问题的解题过程：(1)对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；(2)建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学中，我们建立的函数模型一般都是基本初等函数；(3)求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点，正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解．这些步骤用框图表示：2．在把实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两个变量之间的联系．3．利用数学模型反映原来问题中量与量之间的内在联系．在抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制．由于所建模型带有主观性，所以必须检