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梯形蝴蝶定理如上图，在梯形中，存在以下关系：1.相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a2/b22.S1:S2:S3:S4=a2:b2:ab:ab3.S3=S4S1xS2=S3xS4(由S1/S3=S4/S2推导出)AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)【例】E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F,已知三角形AFD的面积是6,三角形DEF的面积是4,求四边形BCEF的面积为多少？【解】如图，由梯形蝴蝶定理可得厶BEF面积等于6,而厶ABF的面积为6x6一4=9因为△BCD面积等于厶ABD，所以△BCE面积为9+6-6-4=5因此所求四边形面积为5+6=11。右上角为A,左下角为BS1和S2的的三角形是相似的(AAA)~~~所以面积比=边长比的平方即a2：b2设梯形高为h,S3+S2=1/2bh=S4+S2。。。。所以S3=S4设S3+S1的三角形的AB上的高为hl,可知S3:S1=0B:0A因为S1和S2的的三角形是相似，S3:S1=0B:0A=b：a所以S1：S2：S3：S4=aA2:bA2:ab：ab射影定理公式：如图，RtAABC中，zABC=90。，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下:(1)(BD)A2=AD・DC,(2)(AB)A2=AD・AC， (3)(BC)A2=CD・CA。等积式(4)ABxBC=ACxBD(可用“面积法”来证明)直角三角形射影定理的证明射影定理简图(几何画板)：(主要是从三角形的相似比推算来的)证法一在厶BAD与厶BCD中，•:zABD+zCBD=90°，且zCBD+zC=90°，zABD=zC，又:zBDA=zBDC=90°.•.△BADs^CBD・•・AD/BD=BD/CD即BD"2=AD・C。其余同理可得可证注：由上述射影定理还可以证明勾股定理有射影定理如下：AB'2=AD・AC,BC'2=CD・CA两式相加得：AB"2+BC"2=AD •C+CD•C=(AD+CD)・AC=AC'2.即AB"2+BC"2=AC"2 (勾股定理结论)。证法二已知:三角形中角A=90度，AD是高.用勾股证射影•/AD"2=AB"2-BD"2=AC"2-CD"2 ,・•・2AD'2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BDx CD.故AD"2=BDxCD.运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BDx CD=BDx(BD+CD)=BDxBC,AC=CD+AD

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