浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值

1浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值99数学本四班莫少勇指导教师孙丽英摘要本文从菲波那契数列出发，通过探究其数学内涵和它在实际生活中的应用，提高学生对数学的欣赏能力，初步建立数学建模的思想，从而提高用数学知识分析实际问题的能力。关键词Fibonacci数列黄金数优选法数学美不仅有形式的和谐美，而且有内容的严谨美；不仅有语言的简明、精巧美，而且有公式、定理的结构整体美；不仅有逻辑、抽象美，而且有创造应用美。古希腊的毕达哥拉斯学派，首先从数的比例中求出美的形式，发现了黄金数。神奇的菲波纳契数列正是黄金数之后的一大发现，它又被誉为“黄金数列〞。Fibonacci数列的由来昏Fi哄bo葱na闭cc脆i数重列的场提出日，当盒时是姨和兔吼子的要繁殖蚊问题奶有关裂的，态它是恒一个雷很重值要的宰数学垄模型慰。这病个问葵题是醉：有瓣小兔弄一对哲，假设霉第二跪个月秒它们切成年照，第牙三个奇月生淡下小季兔一黑对，锤以后撇每月配生产哪一对头小兔竖，而斗所生戴小兔班亦在佛第二肯个月蹈成年寺，第剖三个蝇月生偶产另慰一对康小兔抛，以帆后亦瞧每月狮生产浅小兔移一对庭，假童定每艺产一妨对小指兔必杀为一迫雌一至雄，直且均悔无死狮亡，觉试问爸一年规后共眼有小蒜兔几疑对？纺对于评n=偿1，脚2，奥……泪，令莫F向n士表示插第n钓个月铜开始某时兔酸子的网总对漂数，辜B怪n始、A村n踏分别扎是未役成年门和成灾年的算兔子死〔简而称小焰兔和删大兔屯〕的起对数尺,那么联F止n县=帆A腥n谢+B演n屯根据忆题设门，有月份n月份n123456……An112358……Bn111235……Fn11235813……坝显然喉，F藏1郊=1庄，F翠2铜=1薯，而评且从蚕第三让个月猫开始姥，每被月的免兔子伯总数纤恰好奋等于坡它前皮面两仪个月技的兔永子总始数之狭和，乓于是奖按此谎规律榴我们笔得到妈一个奸带有煎初值辱的递得推关膨系式驾：隶假设我烦们规足定F鼓0惊=1独，那么听上式天可变绝为超这就厨是F蔬ib第on湖ac压ci刃数列扎的通河常定荡义，温也就旧是数白列1总，1壤，2劲，3括，5奶，8辩，1捆3，币21慧，3拖4，桨55他，8行9，内……订，这晚串数合列的蛮特点唱是：接其中阶任一买个数盆都是债前两鱼数之慈和。翠这个惩兔子贷问题天是意踪大利需数学束家梁士拿多游〔L坏eo拿ma宫rd贸o〕规在他逆所著冰的?测算盘授全集佩?中茎提出誉的，午而梁捷拿多绳又名侦菲波跨纳契铅〔F写ib娱on独ac纱ci趟〕，棉所以赵这个轧数列级称作碧菲波线纳契跳数列乒，其摇中每迷一项件称作印Fi牌bo起na鸦cc秀i数蚀。册它的抽通项助是F膀n隐=预[(减)慈n+论1棒-施(射)执n+怕1斗]，孙由法破国数烤学家油比内瓜〔B言in凉et喜〕求仓出的勒。献二．近Fi齿bo遭na掘cc龄i数陵列的娘内涵冠〔1巷〕F铸ib颈on关ac光ci斑数列扬的通堪项的轨证明银我们爬可以铲通过景求解捏常系奋数线需性齐调次递扛推关史系或秀者利仍用生峰成函汪数法址来实丛现。屡证法陶一：镇浑该晕劫∵网菲波既纳契休数列良是一箱个2即阶的梁线性煤齐次亿递推代关系贺，它烦的递唐推方吗程是冲x丽2沿-x尤-1孩=0裂，袋特征信根是掀∴呀通解植是F俗n足=C蛇1档(案)流n促+C舌2咽(故)璃n嫌代入惕初值丛来确索定C圣1峡、C债2箱，得趴方程劈组共解这效个方园程组堂得鞠递开C逮1瞒=式,湿沉倘亲C泳2往=郊∴绳原递舍推关融系的藏解是钉茶捐F匙n筝=协[(贫)断n+洋1索-域(抵)亩n+方1膛]浑证法己二：寨设F售n子的生泰成函泽数为种F错(x彩)灵，那么级有额府载闭呜F(陆x)堂=F誉0遣+F擦1释x+救F赌2岸x许2竟+脉……辫+F银n称x臣n俭+熟……才x(粒F(畏x)食-F麻0涂)=书移示犁F兰1亭x我2呈+F载2益x黎3努+铲…资F盼n-哀1水x号n提+某……俩x烦2昼F(佛x)镰=飘胶强F域0炮x载2委+F恒1堪x低3唱+配……洋把以她上式州子的烦两边席由上学而下色作差竟得差F(寨x)制(1拌-x尾-x喜2丽)+与x=狠F巷0可+F维1尝x+恳(F捐2圈-F露1言-F居0宣)x草2裹+(键F饶3初-F贼2佣-F笨1现)x茎3摆+丝……扯=1两+x将+0询+0芦+允……倘∴斧F(蚁x)涨=艺=桥=熟+饺由轧赚学解源得A环=瞎，B收=舒∴炉F(分x)搅=猜-原∴穴取x拼=1叹,k钳=n保，那么绿F绩n才=纸[(鱼)油n+谱1同-懂(妖)牲n+虾1纷]探〔2偿〕在斥Fi钟bo粱na怜cc出i数例列中标，前苗后两亿项的酬比值挡是以撇黄金闹数0枯.6序18锅为极酱限的扔。阳记b待n=貌，那么析有b南0谁=忘=1姐皆孤浙邪纷旅锈b技1垮=英=摇b丑2净=北=晨b巴3谨=贝=衬b脸4警=动=顿b到5烦=胳=勿……晋……郊卫伸低吐脊露捷b颂n作=等在求帜数列颂的极脆限之筒前我尺们首忧先来盲证明贱以下期两个歌命题厨：佛〔i狼〕引殖理：境Fi歉bo普na阵cc榆i数愚列的铜任意去相邻亿四项牌满足球F探n-跌2竞F腰n+绕1律-F足n跃F迅n-吩1姻=(绍-1转)普n改看，描n硬≥惜3吊证明勿：根池据行蝶列式煮与线砌性方缎程组吹的关零系，摄方程烛组洪的娃解是疫舌复权狮鄙获菌墨断揭务张舰销糟洪饼谈胸俘窜龄限崭针欣挺绝咸站顺迹皱型借潜偶粘壤掀赛普朵舟猎新歼扒盘浓科报x=拌=为[(城)赢n尾-盖(刃)资n蒸]=徒F件n-卡1恶y=淋=须[(楚)鉴n+鬼1滔-脱(衫)苹n+筑1稍]=磨F兴n绿∴闭F羡n-南1容、F乡n外满足趟原方拖程组笛，于裹是有祝把以类上方呜程组额的两城边对匹应相叮乘，宴得奖[察][弟]=脆整理帆得，麻绝妖影F秋n-调1株2锋+F玻n煤F昆n-续1沈-F都n橡2裳=(加-1护)晚n+厕1坊畜绿油(详F觉n错-F崖n-冬1鞠)(盒F秩n使+F宝n+离1查)-蝴F析n俯F浇n-栏1票=(松-1谈)勿n摸肆弄燕博斗坏饰F喇n-垮2郊F孟n+谁1仇-F选n志F联n-除1涌=(笨-1制)形n衔坚赶屠局证毕塘。趴〔i菊i〕辟数列凉存在形极限铅。害证明黑：由程引理像可知淡，当史n=粉2k已+1盆，F随k-味2龄F止k+眠1蹈-F足k阅F善k-絮1拘=-久1＜瓣0：睡当n愉=2孝k，跨F远k-杂2踢F涨k+月1驶-F康k做F堪k-榆1杆=1恩＞0苹因此骑分别虑有外＜姻，厕凯眯理＞属即数框列脑递增拒，数章列门递减留。帆宋占显楼然，授，行跳∴戴数列嘱有界益。枣根据否“雀单调慌有界昏数列吸必有代极限罚〞咬可知倘、茂存在柜极限功。设太=A假设,机扬=B送，寨休分别浅对b六2n泛=窜及b颤2n香+1魄=蛮两边膀取极务限有还A=刊,贫评与王B=准即有丙与呢∴躺，那么尿必有路 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