辽宁省朝阳市建平县2021-2022学年高二下学期期末考试数学试卷

建平县2021〜2022学年度下学期高二期末统考试卷

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集。={0,1,2,3},集合A={0,l,3},5={0,2,3},则()

A.{0,1}B.{1,2}C.{0,2}D.{0,3}

2.设复数z=2l,则三=()

1+21

34.34.

A.—+—1B.-----1

5555

34.3,

C.---F—1D.-----

555,

3.“1加<皿”是“)</的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C充要条件D.既不充分也不必要条件

.—1A.n八2>/5,且。€仁,无），则tan26=（

4已知cos。=------).

5

5.已知两个单位向量4，%满足（2a-3》（2a+b）=3,贝3H的值为（）

A.V19B.25/5C.3五D.后

6.大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久

历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘、走进商丘的欲望.吴斌同学在今年国庆期间到商

丘去旅游，经过“商''字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度（即图中线

段AB的长度）.他在该雕塑塔的正东。处沿着南偏西60的方向前进70米后达到。处

（A,C,。三点在同一个水平面内），测得图中线段AB在东北方向，且测得点8的仰角

为71.565，则该雕塑的高度大约是（参考数据：tan7L565»3）（）

/'

A.19米B.20米C.21米D.22米

7.过点P（l,2）作曲线C：y=±的两条切线，切点分别为4,8,则直线A8的方程为（）

x

A.2x+)，-8=0B.x+2y—8=0

C.2x+y-4=0D.x+2y-4=0

8.已知函数/(x)为偶函数，且当xNO时，f(x)=ex+x2-cosx,则不等式

/（》一3）—/（21）<0的解集为（）

A.B.(-oo,-2)

,小I4

C.(-2,+oo)D.(-co,-2)ul-,+oo

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某调查机构获得如下两组样本数据：

第一组：26,9,15,8,15,20,24,20,21,32.

第二组：12,7,14,12,16,23,31,17,30,28.

则这两组数据的（）

A.平均数相等B.中位数相等

C.极差相等D.方差相等

10.已知函数/（力=5由（5+协（0>0）,直线刀=一宏/=需是/（X）的图象的相邻两

条对称轴，则下列说法正确的是（）

A.函数丁=/（%一2为偶函数

c./（X）在区间-万，-看上有2个零点

D./（X）在区间一看，（上单调函数

11.已知直线/:血+y-l+m=o,圆E：f+y2-2%—4y+l=0,则下列说法正确的是

（）

A.直线/与圆E一定有公共点

B.当相=一!时直线/被圆E截得的弦最长

2

3

C.当直线/与圆E相切时，机=:

4

D.圆心E到直线/的距离的最大值为逐

12.已知抛物线E：V=4x的焦点为/，准线为/,过尸的直线与E交于A8两点，C,D

分别为A8在/上的射影，则下列结论正确的是（）

A.若直线的倾斜角为45，贝111ABi=8

B.若AF=2E8，则直线A8的斜率为±2百

C.若0为坐标原点，则B,O,C三点共线

D.CFVDF

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量X服从正态分布N（2,b2）,且P（x>-l）=0.85,则

P（X>5）=.

14.（叔-亍）的展开式中的常数项为（用数字作答）.

15.设6,K分别为椭圆c工+>2=1的左、右焦点，点A8是桶圆。上异于顶点的两点,

7T

FtA=AF2B(A<0)，则2=,若点A还满足N片则..AB6的面积

为.

16.在正三棱锥P—A8C中，AB=26正三棱锥P-ABC的体积是4百，则正三棱锥

P-ABC外接球的表面积是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知公差不为0的等差数列｛4｝中，4+g=7,%,4，与成等比数列.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)若a=6""一3an,求数列｛2｝的前〃项和Sn.

18.在_4?。中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,在①

bcosAcosC=asinBsinC--b；②匕sinBcosC+Lcsin25=V5acos8；③

22

hcosA

——+。=2。这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知。是8C上的

cosB

一点，BC=2BD>AB,AD=2币,AB=6,若,求AAC。的面积.

19.如图，在直三棱柱ABC—A4G中，A&=AB=2AC=2,/84C=90,E,尸分别是

AB，AC的中点.

4FA

(1)求证：EF平面3CC百；

(2)求二面角C-EF-A]的正弦值.

20.某中学准备组建“文科''兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生进行了问卷调查，问

卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了100名学生的问卷成绩

(单位：分)进行统计,将数据按照[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分成5组,

绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称

(1)根据已知条件完成下面2x2列联表，并据此判断是否有99.5%的把握认为“文科方向”

与性别有关？

理科方向文科方向总计

男40

女45

总计100

(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取4

次，记被抽取的4人中“文科方向”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的

分布列和数学期望.

1

2niad—bcS

参考公式：XKTX7\7~17\-其中〃=a+8+c+d.

[a+b)[c+d)(a+c)[b+d)

参考临界值:

C=P(%2

0.100.050.0250.010().0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.在平面直角坐标系x0y中，。为坐标原点.动点P与定点/(-2,0)的距离和它到定直线

/：x=-1的距离的比为常数2,动点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C方程：

(2)过点尸的直线加交曲线C于A8两点，若NAOB=90°,求直线机的方程.

22.已知函数/(x)=alnx+x+l(a,0).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)当。=1时，求证：/(x)Wxe1

答案

1-8BBABACAD9.AC10.ABC11.BCD12.ACD

3

13.0.15##——

20

14.3360

15.①.-1②.1

16.25兀

17.(1)

设等差数列｛q｝的公差为d,因为q,《，。为构成等比数列，所以蜡=4砥,，即

(4+34)2=4(4+15d),化简得9d(d-q)=O,因为"/(),所以q=d,

又生+%=7,所以2%+54=7,联立方程组解得弓=1,d=l,所以

an=1+("—1)x1=n.

由⑴可得，勿=6%-3%=6"-3〃，所以数列也｝的前n项和

6(1-6")〃(3+3〃)6"+|63n23n

“1-625522

18.解：(1)

设等差数列｛q｝的公差为d,因为q,《，。为构成等比数列，所以说=4砥,，即

(4+34)2=4(4+15d),化简得9d(d-q)=O,因为4/0,所以q=d,

又生+%=7,所以2%+54=7,联立方程组解得弓=1,d=l,所以

an=1+("—1)x1=n.

由⑴可得，勿=6""-3%=6"-3〃，所以数列也｝的前n项和

6(1-6")〃(3+3〃)6"+|63n23n

3=------------------=------------------

”1-625522

19.(1)

证明：在直三棱柱ABC-A4G中，分别是AB,AG的中点，

取的中点G,连接EG,GG，

所以EG〃AC,EG=gAC,FC,=1A,C,.

因为AC=AG，AC〃4G,所以EG〃FC\,EG=FC、,

所以四边形EGG77是平行四边形，所以EFaGC.

因为所a平面BCC,4,GC]u平面BCQg,

所以E尸，/平面BCGB-

(2)

解：如图，以A点为坐标原点，A5,AC,A4的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图

所示的空间直角坐标系，

因为伍=AB=2AC=2,所以£(1,0,0),C(0,L0),4(0,0,2),尸［。，；，2

所以EC=(_l,l,0),EF=1_l,；,2),E4=(-1,0,2),

设平面AEF的一个法向量为〃2=（玉，x，zj,

m•EF=-x+-v.+2z.=0,.一八

所以《12?l'，令4=1,则玉=2,y=0,

m-EC=-X]+2Z]=0,

所以加=（2,0,1）.

设平面CEF的一个法向量为〃=（W，%，z2）＞

n.EF=-x2+；%+222=0,

所以《

n•EC=-x2+%=°，

1

令％=2,则x=2,z=—,

2-22

所以〃=|2,2,g),

所以二面角C-EF-A的正弦值为2等.

20.（1）由题意可得分数在［60,80）之间的学生人数为0.0125x20x100=25（名）,

在［80,100］之间的学生人数为0.0075x20x100=15（名），

所以低于60分的学生人数为100-15—25=60（名）.

所以2x2列联表如下：

理科方向文科方向总计

男401555

女202545

总计6040100

2100X(40>25-15X20)2

所以z=a8.249>7.879,

60x40x55x45

所以有99.5%的把握认为“文科方向”与性别有关.

(2)

易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为尸=S40=2

1（XJ5

X的所有可能取值为0,1,2,3,4,

81

所以P(X=0)=

625

P(X=1)=C；|3丫需—2)7

5>

2、3396

P（X=3）=C：X——_____

5；5-625

/2?16

P（X=4）=

\5；"6251

所以X的分布列为：

X01234

812162169616

P

625625625625625

所以£(X)=0x包+lx纱+2x”+3x受+4x也

176256256256256255

21.(1)

J(X+2)2+y2

设点P(x,y),由题意得'1一乙

XH—

2

式子左右同时平方，并化简得，3--：/=3.

所以曲线。的方程为f一£=].

3

(2)

当直线加的斜率不存在时，直线沈的方程为x=-2,

此时直线加与曲线C的交点坐标为A(—2,3),8(—2,—3).

OAOB=(-2,3)-(-2,-3)=-5^0

所以。4与。8不垂直，即NAQBw900,不符合题意.

当直线加的斜率存在时，设直线m的方程为y=女(％+2),A(玉,y),3(七,％)，

2上=i

联立｛3一,得(3—公卜2一45工—4d—3=0.

y=k(x+2)

由3—二工0和4=(-4k2产+4(3—二)«攵2+3)>o,得左力士6.

4k24k2+3

X,+X,=-----X,=----------—，

1-3-k2'23-k2

9k2

y(-^i+2)(x,+2)=+2(X)+x)+4^|=

23-k2'

因为NAOB=90°,所以。4_LO5.

4尸+3