高中数学-3.2 简单的三角恒等变换教学设计学情分析教材分析课后反思

§3．2简单的三角恒等变换（3）教学设计【设计理念】本节课的设计理念是以学生为主体，以教师为主导，以三角恒等变换在实际生活中的应用教学为明线，以发展学生的数学建模、逻辑推理和数学运算的核心素养为暗线，努力通过课堂教学来揭示三角恒等变换的过程和本质，让学生体会蕴涵在其中的丰富的数学思想方法，实现数学课堂的育人价值.【教学过程】一、课前复习1.中，，所对的边分别是，则_______;________;__________．2.当时，求函数何时取得最大值，并求出最大值．设计意图：复习本节课所需的相关基础知识，让学生明确运用三角恒等变换求三角函数最值的基本解题思路，就是将三角函数式化成类似于的标准形式和注意的要点（数形结合求最值）.二、情境引入CDABO有一块以为圆心的半圆形空地，园艺师要在这块空地上划出一个内接矩形开辟为绿地，使其一边落在半圆的直径上，且，两点的位置关于圆心对称，已知半圆的半径为．请你帮忙确定点在何位置时，矩形的面积最大？CDABO设计意图：通过情景问题引发学生认知冲突，此问题给学生创设了很大的思维空间，学生直觉会想到矩形的长与宽有某种特殊关系时，其面积最大。如何说明理由呢？那就是由点是半圆上的动点，引入合适的变量，建立函数模型。期待学生的解题思路是引入变量角，转化为三角函数运用三角恒等变换求最值；或者引入一边长的变量，通过代数变换的知识解决此题。三、探究例题例4：木工师傅要用一块圆心角为半径为1的扇形木板中裁出一块一边在半径上的内接矩形桌面，如何操作才能矩形的面积最大呢？并求出这个最大面积．【设计意图】将这个实际问题数学化，就是课本上的例题4.如图，已知是半径为1,圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形．记,求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积．【分析】当在扇形弧上运动时，矩形的边长在变化，角也在变化，角取何值时，矩形的面积最大，需先找出与之间的函数关系，再求函数的最值.具体可设计提出如下的问题：问题1：题目中自变量的取值范围是多少？设计意图：导学生从题目已知中找到自变量的取值范围，为后面求函数最值做好准备.问题2：矩形的一条边用如何表示？呢？设计意图：导学生将矩形的两条边利用题目中的边角关系进行正确的表示（在表示的过程中用到了解直角三角形的知识），为与之间的函数关系表达式做好铺垫.问题3：矩形的面积与的函数关系如何表示？设计意图：引导学生将与之间的函数关系表达式正确表示出来.问题4：对函数表达式进行三角恒等变换化简会用到哪些公式？设计意图：引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中常用的降幂、逆向使用公式、减少差异化辅助角公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,培养学生的运算能力及逻辑推理能力.通过三角变换,我们把形如的函数转化为形如的函数,从而使问题得到简化.体会这个过程中所蕴涵的化归思想.问题5：由角的范围如何求面积的最大值？设计意图：将形如：的函数转化为的函数形式后,可以研究函数的周期、单调性、最值、对称性等性质，实现一、三章知识的完美融合，让学生体会化归思想在数学中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题。通过利用公式解决实际问题，让学生体会数学思想的实际应用，体会建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生利用数学知识解决实际问题的能力.问题6：此题中若去掉“记,求当角取何值时”，结论改成直接求“矩形的最大面积”，你还会如何建立函数模型呢？设计意图：对自变量可多一种选择，如设(),尽管学生对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.总体上，本环节通过以上六个问题形成的问题组，力求在师生的合作引导启发下，使学生的思维步步深入，有序思考，连续思考和有深度的思考，来最大限度挖掘学生潜能，体现学生的主体性.【方法感悟】1.解答此类问题，关键是合理引入辅助角，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.2.三角恒等变换主要依靠和差角公式与二倍角公式，在进行恒等变形时，既注意分析角之间的差异．寻求角的变换方法，还要观察三角函数的结构特征，寻求化同名(化弦或化切)的方法，明确变形的目的．3．把形如的式子化成的形式，体现了化归思想，有利于研究函数的图象和性质.4.在求解最值得过程中，要注意分析角的范围，数形结合，利用三角函数的图像来正确求解.设计意图：提高学生的归纳概括能力和数学语言的表达能力，并逐渐养成严谨的科学作风.林崇德教授在《学习与发展》一书中指出：“概括是数学能力的基础，数学能力的培养应以培养概括能力为突破口，概括能力的培养在于教师的引导.”此处引导学生概括总结解决此类问题的思路和方法。四、拓展提升已知直线∥，是之间的一定点，并且点到的距离分别为，是直线上一动点，作,且使与直线交于点,求△面积的最小值.设计意图：此题的设计符合了学生的认知水平，创设了学生心理的“最近发展区”，使学生体会设置变量角，将问题转化为三角函数模型在解题中的重要作用.通过对问题的解决，提高学生的创新和应用意识。五、课堂小结（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（2）通过本节课的学习，你掌握了哪些方法？（3）本节课蕴含哪些数学思想？（4）通过本节课的学习，你还存在哪些疑惑？设计意图：教师引导学生从知识—方法—思想的角度，层层深入，梳理本节课的内容.让学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对本节课的学习有一个较为整体、全面认识，同时，使学生养成良好的学习习惯.六、课后巩固请根据自己的学情选择习题，其中组为必做题，组为拓展题．组1．某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．2．如图,已知是半径为，圆心角为的扇形,是扇形弧上的动点，∥,与交于点,∥,与交于点，记若，当角取何值时，能使矩形的面积最大？若，当角取何值时，能使平行四边形的面积最大？并求出最大面积．组3.正方形的边长为，分别为边上的点，当△的周长为时，求的大小.4．如图所示，在直径为的圆中,作一个关于圆心对称，邻边互相垂直的十字形，其中．(1)将十字形的面积表示为的函数；(2)为何值时,十字形的面积最大？最大面积是多少？设计意图：分层作业有利于不同层次学生巩固知识，提升思维能力.拓展提升，目的是提供多元化和挑战性选择，为想象力丰富的学生留有进一步探索、发展的空间，促使学有余力的学生课后思考和自主探究知识内在联系，将课堂上的内容延伸到课后，这对学生掌握本节课的内容是非常有帮助的.学生通过课后对本作业的探究，可以更好地理解和掌握本节课的内容，进一步体会三角恒等变换的应用价值。七、课后延伸由于三角函数具有周期性，在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型后，利用三角函数的性质解决有关问题。生活中很多的最值问题也可以引入变量角，转化为三角函数问题后利用三角恒等变换化简来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。如停车场设计、通信电缆铺设、足球射门等问题。综上，本节课我的设计理念遵循以下四条原则：以问题为载体；以学生为主体；以合作交流为手段；以核心素养提高为目的.重视问题的探究过程；解题的探索过程；情感的体验过程.在教学中注重培养学生的逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象的核心素养.【教学反思】于融合深处见繁花---《3.2简单的三角恒等变换3》的教学与信息技术深度融合《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》指出“信息技术对教育发展具有革命性影响，必须予以高度重视。”《教育信息化十年发展规划（2011-2020）》强调注重现代信息技术与教育的全面深度融合，以信息化引领教育理念和教育模式的创新，充分发挥教育信息化在教育改革和发展中的支撑与引领作用。“深度融合”其特点在于：要求信息技术深度渗入教学过程的各个环节，要求实现学校教育系统的结构性变革，特别是课堂教学结构的根本性变革。近些年，信息技术无时无刻不在对我们的数学课堂教学进行改革，在实际的课堂教学中，对于信息技术我们不是仅仅停留在辅助教师教或部分支持学生学的工具性层面，而是想办法让课堂教学和信息技术融为一体，真正触及数学教育的教学本质，让两者在融合深处见繁花。以最近执教的人教版必修四第三章的第2节《三角恒等变换3》为例，浅谈一下自己的一些做法。一、于教师而言，在备课时融入信息化资源，让课堂教学设计枝繁叶茂1．对于教学内容，以教材为主，对所教授的内容进行透彻的教材分析、学情分析、目标分析等，做到心中有数，心中有生。同时利用电脑，查阅网络上相关的教学资源，如对听课站/中的优课视频进行观看记录，这些课大多都是国家级的优课资源，非常值得学习借鉴，还可以通过资源库（本组360云盘或光盘）的教学资源查看本组老师的以前的上课视频，因为教学对象的相似，更有针对性。还可以通过中国知网/、山东省教师教育网，查阅暑期培训的优秀课例的相关Word资料。经过大量的阅读和资料的收集后，形成适合学生的教学设计，即是以学生为主体，以教师为主导，以三角恒等变换在实际生活中的应用教学为明线，以发展学生的数学建模、逻辑推理和数学运算的核心素养为暗线，努力通过课堂教学来揭示三角恒等变换的过程和本质，让学生体会蕴涵在其中的丰富的数学思想方法，实现数学课堂的育人价值.2.对于导学案，编写时结合我校的板块式问题组的教学模式形成的Word模板，学案中的内容有课前复习、课堂探究、课后巩固三大板块。经过查阅大量的相关资源进行综合分析，最终设计了两个问题引领复习，并通过一个情景问题引入课题探究，让所教的知识与学生的生活世界密切联系。在课堂探究中，通过情景问题引发学生认知冲突，给学生创设了很大的思维空间，学生直觉会想到矩形的长与宽有某种特殊关系时，其面积最大。如何说明理由呢？那就是由点是半圆上的动点，引入合适的变量，建立函数模型。期待学生的解题思路是引入变量角，转化为三角函数运用三角恒等变换求最值；或者引入一边长的变量，通过代数变换的知识解决此题。二、于学生而言，在课堂中融入信息化资源，让课堂探究灿若繁星1．课堂中PPT的使用可以让教学环节紧凑明晰，增大课堂容量，对于课件PPT，我的制作原则是宁缺毋滥，甄烦就简。依据备课时导学案的内容，制作必需的PPT，如通过图片让数学知识形象化，通过展现问题组引领学生进行课堂探究，引导学生独立思考，自主学习，借助小组合作的形式开展探究活动，让学生的潜能得到发挥，思维得到融合和升华。在PPT中通过对例题4的具体做法展示，可以拓展学生的思维，同时增加课堂的容量，课堂小结中通过PPT中框图结构，帮助学生梳理构建知识和思想方法框架，深入数学知识的实质。2．对于例题的探究，适时引入几何画板，实现静态问题动态化，加入直接的感性经验和直觉思维，就可以帮助学生更好的理解几何概念与几何逻辑，增强学生的数学直观感知素养。通过几何画板，学生可以在动态中去观察、探索和发现当动点在扇形上运动时内接矩形的数量变化关系与结构关系；通过几何画板，让学生“听数学”到“做数学”，这样的数学实验，可以真正实现直觉思维与逻辑思维的结合，能有效提升学生的逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算等核心素养。3．对于精选习题的处理，通过投影仪或手机(相机)抓拍展现，课堂师生互动更加有效。课堂上习题的处理，能上黑板板书的同学受黑板区域的影响人数毕竟有限，这时候采用实物投影仪投影学生的学案非常快捷方便，而通过手机（或相机）抓拍学生的做题过程个人觉得更方便，既可以记录学生的出错点和创新点，又可以更多的展示不同学生的数学思维过程，让师生在课堂上的探究互动更加精彩纷呈，同时又可以即时生成一些鲜活的有价值的教学资源。三、于师生而言，在课下融入信息化资源，让数学教学繁花似锦1．辅助的微视频，可以突破教学难点，拓展学生学习空间，实现学生的个性化学习。微视频具有“微而精，小而奇，内容少，蕴意深，从小处入手，解决一个问题”的独特魅力，它虽微，却包罗万象、无微不至。本节课依据学生的认知特点，应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，分析学生在例题的具体探求和书写规范上会有一定的难度。基于此，制作出关于例4解题思路和步骤的微视频，可以很好的帮助学生突破学习难点，同时又可以满足学生的个性化需求。2．拓展作业的布置，学生可以借助身边的网上资源进行查找，使数学学习在时间和空间上得以突破。既可以帮助学生更好地运用数学知识解决问题，又可以提高学生的信息获取、分析、加工、交流、创新、利用的能力，更好地培养其协作意识和自主能力以及提升学生的信息素养。3．建立学生的电子档案，详细记录学生的学习情况，充分利用信息技术汇集与学生学习情况相关的数据，并利用智能统计分析功能，以图形以及表格的形式将数据简洁清晰地反映出来，帮助教师考核和掌握学生的学习状态及学习成效，及时调整教学策略。总之，依据上述教学案例，数学课堂教学与信息技术若能做到深度融合，就可以促进我们的数学课程内容结构的变革，促进新型教学模式的建立，促进教师教学方式的变革，促进学生学习方式的变革，帮助学生主动地学习和更好地理解数学的本质。两者融合的根本目的就是促进学生的发展，对学生的终身学习产生巨大的作用，这也是信息技术与数学教学深度融合的出发点和归宿。愿我们对信息技术的认识，能上升为一种基于教育理念更新的层面，愿我们能自觉把信息技术渗透到教学的各个环节，实现教学要素之间的有效互动，愿我们能沉下心来，想方设法让数学课堂教学与信息技术真正的合二为一，如此我们的数学课堂教学与信息技术定会在深度融合中繁花似锦。§3．2简单的三角恒等变换（3）【课标分析】对于三角恒等变换，课标的要求如下：（1）经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。（2）能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。（3）能运用上述公式进行简单的三角恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）。对于三角函数应用，课标的要求是：会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型。基于以上分析，通过本节课的学习，在学生的数学核心素养方面，期望达到下列要求：通过本节课的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑的思考问题；能够在比较复杂的情景中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力。通过本节课的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学和现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。通过本节课的学习，学生能进一步发展数学运算能力，有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。§3．2简单的三角恒等变换（3）【教材分析】三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角恒等变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧.本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.本节内容是用实际应用问题来展现的,通过引入变量角建立三角函数模型，通过对三角函数的变形整理,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解化归转化的思想。本节内容对于提高学生的数学建模、逻辑推理和数学运算三大核心素养而言，是非常好的载体。【教学目标】1.知识与技能：在创设的问题情境中，引导学生能将实际问题转化为三角函数问题；能熟练掌握运用三角恒等变换求三角函数最值的思路和方法。2.过程与方法：引导学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程，培养学生的应用和创新意识，体会数学建模思想；让学生经历运用三角恒等变换求解三角函数最值的解题过程，培养学生的数学逻辑推理和数学运算的能力，体会化归和数形结合的思想．3.情感态度与价值观：通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，培养学生学习数学兴趣和热爱科学和勇于创新的精神。§3．2简单的三角恒等变换（3）【学情分析】本课之前，学生已经学习了三角函数、解直角三角形、两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公示等有关内容，对于三角恒等变换有了进一步的认识，在此基础上利用三角恒等变换来求解了三角函数的最值，学生具备了一定的学习基础和学习兴趣。但总体上高一学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在实际问题的数学建模过程中的具体探求上会有一定的难度。同时，本章公式较多，部分学生在解决较复杂问题时，逻辑推理和数学运算的能力较弱，运用三角恒等变换化简三角函数式时，对于公式的恰当和灵活选择也会遇到一定的麻烦。教学重点：会求三角函数的最值，能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握三角变换过程的能力.教学难点：将实际问题引入变量角进行数学建模，利用三角函数的知识解决实际问题的思路、步骤和方法.教法上：教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生学前预习、自主探索、合作交流、师生互动等教学手段，引导学生独立思考，自主学习，通过小组合作的形式开展探究活动，让学生的潜能得到发挥，思维得到融合和升华.根据本节课特点，采用多媒体PPT、几何画板动态演示和投影仪作为辅助教学.所用的教学方法有：启发研讨法、情景教学法和问题驱动法.学法上：采用合作探究学习法：利用同桌之间或小组合作，开展学习探究活动.让学生主动参与知识的发生、发展过程,在探究问题的过程中激发学生的好奇心和创新精神；在探究过程中学习科学研究的方法，形成严谨治学的精神；在探究过程学生的思维得到发散，潜能得到发挥，生生之间的思维得到融合、交叉、提炼和升华；在探究过程中，学生的合作精神得以发挥，大家一起感受合作的快乐.§3．2简单的三角恒等变换（3）【评测练习】请根据自己的学情选择