《分式的概念和性质》复习巩固基础提高知识点讲解及练习题解析

PAGE分式的概念和性质（基础）巩固练习【巩固练习】一.选择题1．（2015春•东台市月考）下列式子是分式的是（）A. B. C.+y D.+12．使分式值为0的值是（）A．0 B．5 C．－5 D．≠－53.下列判断错误的是（）A．当时，分式有意义B．当时，分式有意义C．当时，分式值为0D．当时，分式有意义4．为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（)A． B． C． D．5．如果把分式中的和都扩大10倍，那么分式的值（）A．扩大10倍 B．缩小10倍C．是原来的 D．不变6．下列各式中，正确的是（）A． B．C． D．二.填空题7．当＝______时，分式无意义．8.若分式的值为正数，则满足______．9．（1） （2）10．（1） （2）11.分式与的最简公分母是_________.12.（2015•朝阳区一模）一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是，第n个式子是（用含的n式子表示，n为正整数）．三.解答题13.（2014春•丹阳市校级期中）当x取什么值时，分式．（1）没有意义？（2）有意义？（3）值为零？14．已知分式当＝－3时无意义，当＝2时分式的值为0，求当＝－7时分式的值．15．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．（1） （2）（3） （4）【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；【解析】解：A、分母中不含有字母是整式，故A错误；B、分母中含有字母是分式，故B正确；C、分母中不含有字母是整式，故C错误；D、分母中不含有字母是整式，故D错误；故选：B．2.【答案】A；【解析】.3.【答案】B；【解析】，有意义.4.【答案】D；【解析】无论为何值，都大于零.5.【答案】D；【解析】.6.【答案】D；【解析】利用分式的基本性质来判断.二.填空题7.【答案】2；【解析】由题意，.8.【答案】；【解析】由题意.9.【答案】（1）；（2）；10.【答案】（1）；（2）；【解析】.11.【答案】；【解析】最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积.12.【答案】，．【解析】解：∵=（﹣1）2•，=（﹣1）3•，=（﹣1）4•，…∴第7个式子是，第n个式子为：．故答案是：，．三.解答题13.【解析】解：（1）∵分式没意义，∴x﹣1=0，解得x=1；（2）∵分式有意义，∴x﹣1≠0，即x≠1；（3）∵分式的值为0，∴，解得x=﹣2．14.【解析】解：由题意：，解得，解得所以分式为，当＝－7时，.15.【解析】解：（1） ； （2）；（3）；（4）.

分式的概念和性质（基础）【学习目标】1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】要点一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.【典型例题】类型一、分式的概念 1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？，，，，，，．【答案与解析】解：整式：，，，，分式：，，．【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．，，虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中的分母中表示一个常数，因此这三个式子都不是分式．类型二、分式有意义，分式值为02、下列各式中，取何值时，分式有意义？（1）；（2）；（3）．【答案与解析】解：（1）由得，故当时分式有意义．（2）由得，故当时分式有意义．（3）由，即无论取何值时均不为零，故当为任意实数时分式都有意义．【总结升华】首先求出使分母等于零的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义．这是解答这类问题的通用方法．举一反三：【变式1】（2014秋•花垣县期末）当x时，分式有意义．【答案】解：当1﹣2x≠0，即x≠时，分式有意义．故答案为x≠．【变式2】当为何值时，下列各式的值为0．（1）；（2）；（3）．【答案】解：（1）由得，当时，，∴当时，分式的值为0．（2）由得或，当时，，当时，，∴当时，分式的值为0．（3）由得，当时，，∴在分式有意义的前提下，分式的值永不为0．类型三、分式的基本性质3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．（1）；（2）．【答案与解析】解：（1）．（2）.【总结升华】利用分式的基本性质，将（1）式中分子、分母同乘50，（2）式的分子、分母同乘12即可．举一反三：【变式1】如果把分式中的都扩大3倍，那么分式的值（）A扩大3倍B不变C缩小3倍D扩大2倍【答案】B；【变式2】填写下列等式中未知的分子或分母．（1）；（2）．【答案】；1；解：（1）先观察分子，等式左边分式的分子为，而等式的右边分式的分子为，由于，即将等式左边分式的分子乘以，因而分母也要乘以，所以在？处应填上．（2）先观察分母，等式左边的分母为，等式右边的分母为，根据分式的性质可知应将等式左边分式的分子、分母同时除以，因为，所以在？处填上1．4、不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号．（1）；（2）；（3）；（4）．【答案与解析】解：（1）（2）（3）（4）．【总结升华】在分子、分母、分式本身中，只有任意两个同时改变符号时，才能保证分式的值不变．一般地，在分式运算的最后结果中，习惯于只保留一个负号，写在分式的前面．类型四、分式的约分5、（2015春•南长区期中）下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有个．【答案】2.【解析】解：①是最简分式；②==，不是最简分式；③=，不是最简分式；④是最简分式；最简分式有①④，共2个；故答案为：2．【总结升华】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．

分式的概念和性质（提高）巩固练习【巩固练习】一.选择题1．若分式的值为0，则的值为（）A．3 B．－3 C．±3 D．≠－22.把分式中的都扩大倍（≠0），则分式的值（）A．扩大倍 B．缩小倍 C．不变 D．不能确定3．（2015•南宁模拟）要使分式有意义，x的取值范围为（）A.x≠﹣5B.x＞0 C.x≠﹣5且x＞0 D.x≥04．若分式的值是负数，则满足（）A．＜0 B．≥1 C．＜1 D．＞15．下面四个等式：其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．化简的正确结果是（）A． B． C． D．二.填空题7.使分式有意义的条件为______．8.（2014秋•临清市期末）若，则=．9．当______时，分式的值为零．10．填空：11．填入适当的代数式，使等式成立：12.分式约分的结果是______．三.解答题13.（2015春•泰兴市校级期中）（1）当x=﹣1时，求分式的值．（2）已知a2﹣4a+4与|b﹣1|互为相反数，求的值．14.已知，求的值．15.（1）阅读下面解题过程：已知求的值．解：∵即（2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：已知求的值．【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；【解析】由题意且，解得.2.【答案】C；【解析】.3.【答案】D；【解析】解：由题意得：x+5≠0，且x≥0，解得：x≥0，故选：D．4.【答案】D；【解析】因为所以即＞1.5.【答案】C；【解析】①④正确.6.【答案】B；【解析】.二.填空题7.【答案】.8.【答案】【解析】解：设=k，则a=2k，b=3k，c=4k．∴===．故答案为．9.【答案】；【解析】，所以.10.【答案】（1）－；（2）＋；11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】.三.解答题13.【解析】解：（1）===（2）a2﹣4a+4=（a﹣2）2≥0，|b﹣1|≥0，∵a2﹣4a+4与|b﹣1|互为相反数，∴a﹣2=0，b﹣1=0，∴a=2，b=1∴==14.【解析】解：∵，∴．15.【解析】解：∵∴，∴∴.

分式的概念和性质（提高）【学习目标】1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】要点一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.【典型例题】类型一、分式的概念 1、指出下列各式中的整式与分式：，，，，，，，，．【答案与解析】解：整式有：，，，，；分式有：，，，．【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处：一个是把π也看作字母来判断，没有弄清π是一个常数；另一个就是将分式化简成整式后再判断，如和，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相同的．类型二、分式有意义，分式值为02、当取什么数时，下列分式有意义？当取什么数时，下列分式的值为零？（1）；（2）；（3）．【答案与解析】解：（1）当，即时，分式有意义．∵为非负数，不可能等于－1，∴对于任意实数，分式都有意义；当时，分式的值为零．（2）当即时，分式有意义；当即时，分式的值为零（3）当，即时，分式有意义；当时，分式的值为零，由①得时，由②得，互相矛盾．∴不论取什么值，分式的值都不等于零．【总结升华】分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值为零．举一反三：【变式1】若分式的值为0，则的值为___________________.【答案】－2；提示：由题意，，所以.【变式2】当取何值时，分式的值恒为负数？【答案】解：由题意可知或解不等式组该不等式组无解．解不等式组得．所以当时，分式的值恒为负数．类