《因式分解》复习巩固基础提高知识点讲解及练习题解析

PAGE《因式分解》全章复习与巩固（基础）巩固练习【巩固练习】一.选择题1．下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（）．A．B．C．D．2.（2014秋•威海期中）多项式x2﹣11x+30分解因式的结果为（） A．（x+5）（x﹣6） B．（x﹣5）（x+6） C．（x﹣5）（x﹣6） D．（x+5）（x+6）3.下列多项式能分解因式的是（）A．B．C．D．4.将＋分解因式，正确的是（）A．B．C．D．5.下列四个选项中，哪一个为多项式的因式？（）A．2x－2B．2x＋2C．4x＋1D．4x＋26.若是的因式，则为（）A.－15B.－2C.8D.27.因式分解的结果是（ ）A． B． C． D．8.下列多项式中能用平方差公式分解的有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1个B．2个C．3个D．4个二.填空题9.分解因式：＝________.10.把分解因式得：＝，则c的值为________.11．若，化简＝________．12.若，＝__________.13.（2015•盘锦四模）分解因式：（a2+1）2﹣4a2=．14.把多项式分解因式_________.15.当，时，代数式的值是________.16.把分解因式结果正确的是_____________.三.解答题17.分解因式：（1）；（2）；（3）.18.已知，，求：（1）的值；（2）的值．19.（2015春•禅城区校级期末）请你说明：当n为自然数时，（n+7）2﹣（n﹣5）2能被24整除．20.两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式．【答案与解析】一.选择题1.【答案】A；【解析】因式分解是把多项式化成整式乘积的形式.2.【答案】C；【解析】解：x2﹣11x+30=（x﹣5）（x﹣6）．故选：C．3.【答案】C；【解析】A．不能分解；B．，不能分解；C．，故能够分解；D．不能分解．4.【答案】C；【解析】＋＝＝．5.【答案】A；【解析】将进行分解因式得出，进而得出答案即可．6.【答案】D；【解析】.7.【答案】A【解析】＝.8.【答案】D；【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解.二.填空题9.【答案】；【解析】.10.【答案】2；【解析】.11.【答案】1；【解析】.12.【答案】0；【解析】.13.【答案】（a+1）2（a﹣1）2；【解析】解：（a2+1）2﹣4a2=（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）=（a+1）2（a﹣1）2．14.【答案】；【解析】＝.15.【答案】19；【解析】.16.【答案】；【解析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．三.解答题17.【解析】解：（1）＝；（2）；（3）.18.【解析】解：∵，，则（1）＝100－12＝88；

（2）＝6×（100－24）＝456．19.【解析】解：整体上看符合平方差公式.原式=（n+7+n﹣5）（n+7﹣n+5）=24（n+1），则当n为自然数时，（n+7）2﹣（n﹣5）2能被24整除．20.【解析】解：设原多项式为（其中、、均为常数，且≠0）．

∵，∴＝2，＝18；又∵，∴＝－12．

∴原多项式为，将它分解因式，得

．

《因式分解》全章复习与巩固（基础）【学习目标】理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；3.了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、（2014春•常州期中）6a（b﹣1）2﹣2（1﹣b）2．【思路点拨】直接提取公因式2（b﹣1）2进而得出答案．【答案与解析】解：6a（b﹣1）2﹣2（1﹣b）2=2（b﹣1）2（3a﹣1）．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，注意（b﹣1）2=（1﹣b）2．类型二、公式法分解因式2、已知2－3＝0，求代数式的值．【思路点拨】对所求的代数式先进行整理，再利用整体代入法代入求解．【答案与解析】解：，＝，＝．当2－3＝0时，原式＝＝0．【总结升华】本题考查了提公因式法分解因式，观察题目，先进行整理再利用整体代入法求解，不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解．举一反三：【变式】是下列哪一个多项式因式分解的结果（）A．B．C．D．【答案】C；3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如，当＝9，＝9时，＝0，＝18，＝162，则密码018162．对于多项式，取＝10，＝10，用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式进行因式分解，得到，然后把＝10，＝10代入，分别计算出及的值，从而得出密码．【答案与解析】解：，当＝10，＝10时，＝10，2＋＝30，2－＝10，

故密码为103010或101030或301010．【总结升华】本题是中考中的新题型．考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．举一反三：【变式】利用因式分解计算（1）16.9×＋15.1×（2）

【答案】解：（1）16.9×＋15.1×＝＝（2）＝＝1000×366＝366000．4、因式分解：（1）；（2）（3）．【思路点拨】都是完全平方式，所以都可以运用完全平方公式分解．完全平方公式法：．【答案与解析】解：（1）

（2）（3）＝【总结升华】本题考查了完全平方公式法因式分解，（3）要两次分解，注意要分解完全．举一反三：【变式】（2015春•禅城区校级期末）分解因式：（1）（a2+b2）2﹣4a2b2（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1．【答案】解：（1）（a2+b2）2﹣4a2b2=（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）=（a+b）2（a﹣b）2；（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1=（x﹣y﹣1）2．5、先阅读，再分解因式：，按照这种方法把多项式分解因式．【思路点拨】根据材料，找出规律，再解答．【答案与解析】解：＝＝．【总结升华】此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．类型三、十字相乘法或分组分解法分解因式6、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系．

（1）根据你发现的规律填空：＿＿＿＿＿＿；（2）利用（1）的结论将下列多项式分解因式：①；②．【思路点拨】（1）根据一个正方形和三个长方形的面积和等于由它们拼成的这个大长方形的面积作答；（2）根据（1）的结论直接作答．【答案与解析】解：（1）（2）①②【总结升华】本题实际上考查了利用十字相乘法分解因式．运用这种方法的关键是把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项分解成两个因数的积，并使正好是一次项，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．举一反三：【变式】已知A＝，B＝，C＝，其中＞2．

（1）求证：B－A＞0，并指出A与B的大小关系；

（2）指出A与C哪个大？说明理由．解：（1）B－A＝＋2＞0，所以B＞A；

（2）C－A＝，＝，＝．因为＞2，所以＋7＞0，从而当2＜＜3时，A＞C；当＝3时，A＝C；当＞3时，A＜C．

《因式分解》全章复习与巩固（提高）巩固练习【巩固练习】一.选择题1.下列式子变形是因式分解的是（）A．B．C．D．2.已知：△ABC的三边长分别为，那么代数式的值（）A.大于零B.等于零C.小于零D不能确定3．已知有一个因式是，把它分解因式后应当是（）A．B．C．D．4．若，且，，那么必须满足条件()．A.都是正数 B.异号，且正数的绝对值较大C.都是负数 D.异号，且负数的绝对值较大5.（2015•贺州）把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是（） A．4xy（x﹣y）﹣x3 B．﹣x（x﹣2y）2 C．x（4xy﹣4y2﹣x2） D． ﹣x（﹣4xy+4y2+x2）6．将下述多项式分解后，有相同因式的多项式有()①；②；③；④；⑤；⑥A．2个B．3个C．4个D．5个7.已知可因式分解成，其中均为整数，则（）A．－12B．－32C．38D．728.将分组分解，下列的分组方法不恰当的是（）A.B.C.D.二.填空题9.（2015春•滨江区期末）因式分解：16m4﹣8m2n2+n4=．10.分解因式：＝_____________.11.已知，则＝．12.分解因式：＝__________.13．若有一个因式为，则的值应当是_________.14.把多项式分解因式的结果是__________.15.已知，则＝．16.分解因式：（1）＝________；（2）＝________.三.解答题17.求证：能被45整除．18.（2015春•焦作校级期中）已知x2+x=1，求x4+x3﹣2x2﹣x+2015的值．19.（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．

①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：________.（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出因式分解的结果，画出你的拼图．20.下面是某同学对多项式＋4进行因式分解的过程：解：设原式＝（第一步）＝（第二步）＝（第三步）＝（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（）A．提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______________(填彻底或不彻底)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______________.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解.【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；【解析】A.右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；B.是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确；C.是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误；D.，故本选项错误．2.【答案】C；【解析】，因为为三角形三边长，所以，所以原式小于零.3.【答案】A【解析】代入答案检验.4.【答案】B；【解析】由题意，所以选B.5.【答案】B；【解析】解：4x2y﹣4xy2﹣x3=﹣x（x2﹣4xy+4y2）=﹣x（x﹣2y）2，故选：B．6.【答案】C；【解析】①，③，⑤，⑥分解后有因式.7.【答案】Ａ；【解析】原式＝，∵可以分解成，∴∴－12．8.【答案】D；【解析】A、B各组提公因式后，又有公因式可提取分解，所以分组合理，C第一组运用立方和公式，第二组提取公因式后，有公因式，所以分组合理，D第一组提取公因式后与第二组无公因式且又不符公式，所以分解不恰当.二.填空题9.【答案】（2m﹣n）2（2m+n）2；【解析】解：16m4﹣8m2n2+n4=（4m2﹣n2）2=（2m﹣n）2（2m+n）2．故答案为：（2m﹣n）2（2m+n）2．10.【答案】；【解析】＝＝．11.【答案】－3；【解析】.12.【答案】；【解析】＝＝．13.【答案】－6；【解析】由题意，当时，，解得＝－6.14.【答案】；【解析】＝＝．15.【答案】39；【解析】原式＝.16.【答案】；；【解析】；.三.解答题17.【解析】证明：原式＝＝＝．所以能被45整除．18.【解析】解：∵x2+x=1，∴x2=1﹣x，x2﹣1=﹣x，∴x4+x3﹣2x2﹣x+2015=x2（x2﹣1）+x3﹣x2﹣x+2015=x2（﹣x）+x3﹣x2﹣x+2015=﹣（x2+x）+2015=﹣1+2015=2014．即x4+x3﹣2x2﹣x+2015=2014．19.【解析】解：（1）①长方形的面积＝；长方形的面积＝；②；（2）①如图，可推导出；②．20.【解析】解：（1）C；（2）不彻底；；（3）设，原式＝.

《因式分解》全章复习与巩固（提高）【学习目标】理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；3.了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、分解因式：(1)；(2)．【答案与解析】解：(1)．(2)．【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．2、利用分解因式证明：能被120整除．【思路点拨】25＝，进而把整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．【答案与解析】证明：＝＝＝＝＝＝∴能被120整除．【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式．类型二、公式法分解因式3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．【思路点拨】把分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．【答案与解析】解：把看作完全平方式里的；原式＝＝＝．【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把看作完全平方式里的是解题的关键．举一反三：【变式】下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．解：设原式＝（第一步）

＝（第二步）

＝（第三步）

＝（第四步）

回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（）．A、提取公因式B．平方差公式

C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”）

若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．【答案】解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；（2）还可以分解，分解不彻底；结果为.（3）设．

＝，＝，＝2，＝，＝．4、（2014春•高密市期末）把下列各式进行因式分解（1）4（x﹣2）2﹣1；（2）（x+y）2+4（x+y+1）.【思路点拨】（1