任意角和弧度制5

5.1.2

弧度制成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系微信fjmath加入百度网盘群3500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，永不过期核心知识目标核心素养目标1.理解角度制与弧度制的概念,能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.1.借助单位圆建立弧度制的概念,体会引入弧度制的必要性,重点提升学生的数学抽象的核心素养.2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题,重点增强数学运算的核心素养.知识探究·素养启迪课堂探究·素养培育知识探究·素养启迪知识探究1.角的单位制及其换算关系[问题1-1]在初中学过的角度制中,1度的角是如何规定的?提示:周角的

𝟏

等于1度.𝟑𝟔𝟎[问题1-2]在我们度量长度时,有时用“米”作单位,有时用“英尺”作单位,有不同的单位制度量质量时,可以使用“千克”“磅”等不同的单位制,角的度量除了角度制之外,是否也有不同的单位制呢?提示:有不同的单位制,即弧度制.[问题1-3]在弧度制中,1弧度的角是如何规定的？如何表示?提示:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角,用符号rad表示.[问题1-4]360°的角是多少弧度的角?180°的角是多少弧度的角?1°的角呢?𝟏𝟖𝟎提示:360°的角是2π弧度的角,180°的角是π弧度的角,1°的角是𝛑

弧度的角.[问题1-5]“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗?提示:“1弧度的角”的大小是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角,是一个定值,与所在圆的半径大小无关.梳理

1 角的单位制及其换算关系𝟏②弧度制长度等于

半径长

的圆弧所对的

圆心角

叫做1弧度的角.以

弧度

作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制,它的单位符号是rad,读作

弧度

.(1)角的单位制①角度制规定周角的

𝟑𝟔𝟎

为

1

度的角,用

度

作为单位来度量角的单位制叫做角度制.③角的弧度数的求法:𝒍在半径为

r

的圆中,弧长为

l

的弧所对的圆心角为α

rad,那么|α|=

𝒓

.一般地,正角的弧度数是一个

正数

,负角的弧度数是一个

负数

,零角的弧度数是

0

.(2)角度与弧度的换算角度化弧度弧度化角度360°=

2π

rad

2π

rad=360°180°=

π

rad

π

rad=

180°1°=

𝛑

rad≈𝟏𝟖𝟎0.017

45

rad1

rad=(𝟏𝟖𝟎)°≈𝛑57.30°度数×

𝛑

=弧度数𝟏𝟖𝟎弧度数×(𝟏𝟖𝟎)°=度数𝛑(3)一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°

60°90°120°弧度

0

𝝅𝟔𝝅𝟒𝝅𝟑𝝅𝟐𝟐𝝅𝟑度135°150°180°270°360°弧度𝟑𝝅𝟒𝟓𝝅𝟔π𝟑𝝅𝟐

2π

2.弧度制下扇形的弧长公式与扇形的面积公式[问题2-1]你能写出角度制下扇形的弧长公式和扇形的面积公式吗?提示:扇形的弧长公式l=𝒏𝛑𝑹,扇形的面积公式S=𝒏𝛑𝑹𝟐.𝟏𝟖𝟎

𝟑𝟔𝟎[问题2-2]已知n°的角是𝒏𝛑

弧度的角,记α=

𝒏𝛑

,那么弧度制下扇形的弧长𝟏𝟖𝟎

𝟏𝟖𝟎公式和扇形的面积公式怎样表示呢?𝟐提示:扇形的弧长公式l=αR,扇形的面积公式S=𝟏αR2.梳理2 扇形的弧长与扇形面积公式度量制公式弧长公式扇形面积公式角度制l=𝒏𝛑𝑹𝟏𝟖𝟎S=𝒏𝛑𝑹𝟐𝟑𝟔𝟎弧度制l=

α·R(0<α<2π)𝟏S=

lR

=𝟏αR2𝟐

𝟐(0<α<2π)小试身手(A)𝛑

(B)𝟐𝛑

(C)

𝛑𝟑

𝟑

𝟏𝟐𝟎(D)𝟏𝟐𝟎𝛑1.120°化为弧度制是(

B

)𝟏𝟖𝟎

𝟑解析:120°对应弧度为120×

𝛑

=𝟐𝛑.故选B.2.(2021·福建三明高一期中)𝟒𝛑是()(A)第一象限角

(C)第三象限角𝟑(B)第二象限角(D)第四象限角C解析:因为𝟒𝛑=π+𝛑,所以𝟒𝛑是第三象限角.故选C.𝟑

𝟑

𝟑𝟏𝟐3.

𝛑

rad=度,rad=-300°.解析:𝛑

=𝟏𝟖𝟎°=15°;-300°=-300×

𝛑

=-𝟓𝛑.𝟏𝟐

𝟏𝟐

𝟏𝟖𝟎

𝟑答案:15-𝟓𝛑𝟑4.若扇形的弧长为2,面积为4,则扇形的圆心角为

弧度.𝟐解析:设扇形半径为r,则由S=𝟏lr知r=4,𝒓

𝟒

𝟐故圆心角α=𝒍

=𝟐=𝟏.答案:𝟏𝟐课堂探究·素养培育探究点一 角度与弧度的换算[例1]将下列角度与弧度进行互化.

(1)20°;(2)-800°;(3)𝟕𝛑;(4)-𝟏𝟏π.𝟏𝟐

𝟓解:(1)20°=20×

𝛑

rad=𝛑rad.𝟏𝟖𝟎

𝟗(2)-800°=-800×

𝛑

=-𝟒𝟎π.𝟏𝟖𝟎

𝟗(3)

𝟕

π

rad=

𝟕

×180°=105°.𝟏𝟐

𝟏𝟐(4)-𝟏𝟏π

rad=-𝟏𝟏×180°=-396°.𝟓

𝟓即时训练1-1:将下列角度与弧度进行互化.(1)𝟓𝟏𝟏π;(2)-𝟓𝛑;(3)10°;(4)-855°.𝟔

𝟏𝟐解:(1)𝟓𝟏𝟏π=𝟓𝟏𝟏×180°=15

330°.𝟔

𝟔𝟏𝟐

𝟏𝟐(2)-𝟓𝛑=-

𝟓

×180°=-75°.𝟏𝟖𝟎

𝟏𝟖(3)10°=10×

𝛑

=

𝛑

.(4)-855°=-855×

𝛑

=-𝟏𝟗𝛑.𝟏𝟖𝟎

𝟒方法总结在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式πrad=180°是关键,由它可以得到:度数×

𝛑

=弧度数,弧度数×(𝟏𝟖𝟎)°=度数.𝟏𝟖𝟎

𝛑易错警示用弧度表示角,涉及π时,直接保留π,不要将π写成小数.探究点二 角度与弧度综合应用[例2]用弧度表示终边落在如图(1),(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合.𝟒解:对于题图(1),225°角的终边可以看作-135°角的终边,化为弧度,即-𝟑𝛑;60°角的终边即𝛑的终边,所以所求集合{α|2kπ-𝟑𝛑<α<2kπ+𝛑,k∈Z}.对于题𝟑

𝟒

𝟑图(2),同理可得所求集合为{α|2kπ+𝛑<α≤2kπ+𝛑,k∈Z}∪{2kπ+π+𝛑<α≤𝟔

𝟐

𝟔2kπ+π+𝛑,k∈Z}={α|nπ+𝛑<α≤nπ+𝛑,n∈Z}.𝟐

𝟔

𝟐即时训练2-1:用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界),并判断2

014°是不是这个集合的元素.解:因为150°=𝟓π,所以终边落在阴影区域内角的集合为S={β|𝟓π+2kπ≤𝟔

𝟔𝟐β≤𝟑π+2kπ,k∈Z}.𝟗𝟎因为2

014°=214°+5×360°=𝟏𝟎𝟕𝛑+10π.又𝟓π<𝟏𝟎𝟕𝛑<𝟑𝛑,所以2

014°=𝟏𝟎𝟕𝛑+10π∈S.𝟔

𝟗𝟎

𝟐

𝟗𝟎方法总结

(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍.

(2)在同一个式子中,角度与弧度不能混合用,必须保持单位统一,如

α=2kπ+30°,k∈Z是不正确的写法.解:设扇形弧长为l

cm,半径为r

cm,𝒍

+

𝟐𝒓

=

𝟏𝟎,𝒓

=

𝟏,

𝒓

=

𝟒,则由题意知ቊ

𝟏

𝐥·𝐫

=

𝟒,

解得ቄ

𝒍

=

𝟖

或ቄ𝒍

=

𝟐.𝟐当r=1,l=8时,α=𝒍

=8>2π(舍去),所以r=4,l=2,此时α=𝒍

=𝟏(rad).𝒓

𝒓

𝟐如图可知AB=2·r·sin

𝜶=2×4×sin

𝟏=8sin

𝟏(cm).𝟐

𝟒

𝟒探究点三 扇形的弧长、面积公式的应用[例3]扇形AOB的面积是4

cm2,它的周长是10

cm,求扇形的圆心角α的弧度数及弦AB的长.解:设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l,半径为r,面积为S,由l+2r=10得l=10-2r>0,所以0<r<5.S=𝟏lr=𝟏(10-2r)·r=5r-r2=-(r-𝟓)2+𝟐𝟓,𝟐

𝟐

𝟐

𝟒𝟐

𝟒

𝟐

𝒓𝟓𝟐因为0<r<5,所以当r=𝟓时,S取得最大值𝟐𝟓,这时l=10-2×𝟓=5,所以θ=𝒍

=𝟓

=2.𝟒故该扇形的面积的最大值为𝟐𝟓

cm2,取得最大值时圆心角为

2

rad,弧长为

5

cm即时训练3-1:已知扇形AOB的周长为10

cm,求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长.方法总结扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法首先,将角度转化为弧度表示,弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化,所以解决这类问题时通常采用弧度制.一般地,在几何图形中研究的角,其范围是(0,2π);其次,利用α,l,R,S四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意:

(1)看清角的度量制,选用相应的公式;(2)扇形的周长等于弧长加两个半径长,对于扇形周长或面积的最值问题,通常转化为某个函数的最值问题.备用例题[例1](1)将下列各角度化为弧度:①112°30′;②-315°.𝟏𝟖𝟎解:(1)①因为

1°=

𝛑

rad,所以

112°30′=(

𝛑

×112.5)

rad=𝟓𝛑

rad.𝟏𝟖𝟎

𝟖②-315°=-315×

𝛑

=-𝟕𝛑.𝟏𝟖𝟎

𝟒(2)将下列各弧度化为角度:①-𝟓𝛑𝟏𝟐𝟑rad;②𝟏𝟗π.解:(2)①因为1

rad=(𝟏𝟖𝟎)°,所以-𝟓𝛑𝛑

𝟏𝟐rad=-𝟓𝛑×(𝟏𝟖𝟎)°=-75°.𝟏𝟐

𝛑②𝟏𝟗π=𝟏𝟗π×(𝟏𝟖𝟎)°=1

140°.𝟑

𝟑

𝛑[例2]已知角α=2

010°.

(1)将α改写成θ+2kπ(k∈Z,0≤θ<2π)的形式,并指出α是第几象限角;解:(1)2

010°=2

010×

𝛑

=𝟔𝟕𝛑=5×2π+𝟕𝛑.𝟏𝟖𝟎

𝟔

𝟔𝟔

𝟐又π<𝟕𝛑<𝟑𝛑,角α与角𝟕𝛑的终边相同,𝟔故α是第三象限角.𝟔解:(2)与α终边相同的角可以写为β=𝟕𝛑+2kπ(k∈Z).又-5π≤β<0,所以k=-3,-2,-1.当k=-3时,β=-𝟐𝟗𝛑;当k=-2时,β=-𝟏𝟕𝛑;𝟔

𝟔𝟔当k=-1时,β=-𝟓𝛑.(2)在区间[-5π,0)上找出与α终边相同的角;

(3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角.𝟕𝛑𝟔(3)与α终边相同的角可以写为γ=

+2kπ(k∈Z).又0≤γ<5π,所以k=0,1.当k=0时,γ=𝟕𝛑;当k=1时,γ=𝟏𝟗𝛑.𝟔

𝟔𝟑[例3]已知扇形的圆心角所对的弦长为2,圆心角为𝟐𝛑.求:(1)这个圆心角所对的弧长;

(2)这个扇形的面积.𝟑解:(1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2,圆心角为𝟐𝛑,所以半径r=𝐬𝐢𝐧𝟑𝟑𝟏

𝟐√𝟑𝛑=

,所以这个圆心角所对的弧长l=𝟐√𝟑×𝟐𝛑=𝟒√𝟑𝛑.𝟑

𝟑

𝟗(2)由(1)得扇形的面积S=𝟏×𝟐√𝟑×𝟒√𝟑𝛑=𝟒𝛑.𝟐

𝟑

𝟗

𝟗课堂达标1.已知α=-2

rad,则角α的终边在()(A)第一象限

(C)第三象限(B)第二象限

(D)第四象限C𝛑解析:因为1

rad=(𝟏𝟖𝟎