中考数学三角形五心定律

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三角形五心定律

三角形的重心，外心，垂心，心里和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，心里定理，旁心定理的总

称.

重心定理：三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交

于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理看法，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因此得名）

重心的性质：

1、重心到极点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形随意两个极点构成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与

三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个极点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是极点坐标的算术均匀数，即其重心坐标为

X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

以重心为起点，以三角形三极点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心定理：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：

1、三角形的三条边的垂直均分线交于一点，该点即为该三角形的外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠

为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在

三角形外面；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、外心到三极点的距离相等

垂心定理：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：

1、三角形三个极点，三个垂足，垂心这7个点可以获得6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Eulerline））（除正三角形）

3、垂心到三角形一极点距离为此三角形外心到此极点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

定理证明

已知：ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE订交于点O，连接CO并延伸交AB于点F，

求证：CF⊥AB

证明：连接DE

1

∵∠ADB=∠AEB=90度

∴A、B、D、E四点共圆

∴∠ADE=∠ABE

又∵∠ODC=∠OEC=90度

∴O、D、C、E四点共圆

∴∠ACF=∠ADE=∠ABE

又∵∠ABE+∠BAC=90度

∴∠ACF+∠BAC=90度

CF⊥AB

因此，垂心定理成立！

心里定理：三角形内切圆的圆心，叫做三角形的心里。

心里的性质：

1、三角形的三条内角均分线交于一点。该点即为三角形的心里。

2、直角三角形的心里到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。

3、P为ABC所在空间中随意一点，点0是ABC心里的充要条件是：向量P0=(a×向

量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).

4、O为三角形的心里，A、B、C分别为三角形的三个极点，延伸AO交BC边于N，则有

AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

5、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心

和心里，则OI^2=R^2-2Rr．

6、（内角均分线分三边长度关系）

△ABC中，0为心里，∠A、∠B、∠C的内角均分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，

则BQ/QC=c/b,CP/PA=a/c,BR/RA=a/b.

7、心里到三角形三边距离相等。

旁心定理：三角形的旁切圆（与三角形的一边和其余两边的延伸线相切的圆）的

圆心，叫做三角形的旁心。

旁心的性质：

1、三角形一内角均分线和其余两极点处的外角均分线交于一点，该点即为三角形的旁

心。

2、每个三角形都有三个旁心。

3、旁心到三边的距离相等。

如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形随意两角的外角均分线和第三个角的内角均分线的交点。一个三角形有三个旁心，并且必定在三角形外。

2

附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，心里，外心，垂心，四心合一。

五星定理巧记歌

三角形五心歌（重外垂内旁）

三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心

三条中线定订交，交点地点真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明

了，

重心切割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵巧运用掌握好．外心

三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线订交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．心里外心莫记混，内切外接是重点．垂心

三角形上作三高，三高必于垂心交．高线切割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相像形，四点共圆图中有，