北师大版八年级下册第四章因式分解同步拓展训练-用分组分解法进行因式分解

北师大版八年级下册第四章因式分解同步拓展训练——用分组分解法进行因式分解北师大版八年级下册第四章因式分解同步拓展训练——用分组分解法进行因式分解/北师大版八年级下册第四章因式分解同步拓展训练——用分组分解法进行因式分解第四章因式分解同步拓展训练——用分组分解法进行因式分解知识总结归纳：分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或许可以直接运用公式。使用这类方法的重点在于分组合适，而在分组时，必然有预示性。能预示到下一步能连续分解。而“预示”源于认真的“观察”，剖析多项式的特色，合适的分组是分组分解法的重点。应用分组分解法因式分解，不只可以观察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下边我们就来学惯用分组分解法进行因式分解。在数学计算、化简、证明题中的应用例1.把多项式2a(a2a1)a4a21分解因式，所得的结果为（）A.(a2a1)2B.(a2a1)2C.(a2a1)2D.(a2a1)2剖析：先去括号，合并同类项，此后分组搭配，连续用公式法分解完满。解：原式2a((a2a1)a4a21a42a33a22a1(a42a3a2)(2a22a)1(a2a)22(a2a)1(a2a1)2应选择C例2.分解因式x5x4x3x2x1剖析：这是一个六项式，很明重要先进行分组，此题可把x5x4x3和x2x1分别看作一组，此时六项式变为二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x5x4，x3x2和x1分别看作一组，此时的六项式变为三项式，提取公因式后再进行分解。解法1：原式(x5x4x3)(x2x1)(x31)(x2x1)(x1)(x2x1)(x2x1)解法2：原式(x5x4)(x3x2)(x1)x4(x1)x2(x1)(x1)(x1)(x4x21)(x1)[(x42x21)x2](x1)(x2x1)(x2x1)在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足ab，a2c2b22ac证明：以a、b、c为三边能构成三角形剖析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明：a2c2b22aca2c2b22ac0a22acc2b2，即(ac)2b200(acb)(acb)0又acbacbacb0，acb0abc，abc即abcab以a、b、c为三边能构成三角形在方程中的应用例：求方程xyxy的整数解剖析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解解：xyxyxyxy0xyxy11即x(y1)(y1)1(y1)(x1)1x,y是整数x11或x11y1y111x0或x2y0y2中考点拨：例1.分解因式：1m2n22mn_____________。解：1m2n22mn1(m22mnn2)1(mn)2(1mn)(1mn)说明：观察此题是四项式，应采纳分组分解法，中间两项虽切合平方差公式，但搭配在一起不可以分解终归，应把后三项联合在一起，再应用完满平方公式和平方差公式。例2．分解因式：22xy____________xy解：x2y2xy(x2y2)(xy)(xy)(xy)(xy)(xy)(xy1)说明：前两项切合平方差公式，把后两项联合，看作整体提取公因式。例3.分解因式：x33x24x12____________解：x33x24x12x34x3x212x(x24)3(x24)(x3)(x2)(x2)说明：分组的目的是可以连续分解。题型展现：例1.分解因式：m2(n21)4mnn21解：m2(n21)4mnn21m2n2m24mnn21(m2n22mn1)(m22mnn2)(mn1)2(mn)2(mnmn1)(mnmn1)说明：观察此题，直接分解比较困难，没关系先去括号，再分组，把4mn分红2mn和2mn，配成完满平方和平方差公式。例2.已知：a2b21，c2d21，且acbd0，求ab+cd的值。解：ab+cd=ab1cd1ab(c2d2)cd(a2b2)abc2abd2cda2cdb2(abc2cdb2)(abd2cda2)bc(acbd)ad(bdac)(acbd)(bcad)acbd0原式0说明：第一要充分利用已知条件a2b21，c2d21中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。例3.分解因式：x32x3剖析：此题没法用常例思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着x1是x32x3的一个因式，所以变形的目的是凑x1这个因式。解一（拆项）：x32x33x332x32x3(x1)(x2x1)2x(x21)(x1)(x2x3)解二（添项）：x32x3x3x2x22x3x2(x1)(x1)(x3)(x1)(x2x3)说明：拆添项法也是分解因式的一种常有方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？实战模拟：填空题：1）分解因式：a23ab23b（2）分解因式：x22x4xy4y24y（3）分解因式：1mn(1mn)m3n3，求32cabc2cb3的值。2.已知：abc0aab分解因式：a5a14.已知：x2y2z20，A是一个关于x,y,z的一次多项式，且x3y3z3(xy)(xz)A，试求A的表达式。5.证明：(ab2ab)(ab2)(1ab)2(a1)2(b1)2【试题答案】1.（1）解：原式(a2b2)3(ab)(ab)(ab)3(ab)(ab)(ab3)（2）解：原式(x24xy4y2)2(x2y)(x2y)22(x2y)(x2y)(x2y2)（3）解：原式1mnm2n2m3n3(1mn)m2n2(1mn)(1mn)(1m2n2)2.解：原式(ab)(a2abb2)c(a2abb2)(a2abb2)(abc)abc0原式0说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。解：a5a1a5a2a2a1231)(a2a1)a(aa2(a1)(a2a1)(a2a1)(a2a1)(a3a21)4.解：x2y2z20y2x2z2，z2x2y2x3y3z3(x3y3)zz2(xy)(x2xyy2)z(x2y2)(xy)[x2xyy2z(xy)](xy)[x(xz)y(xz)(x2z2)](xy)(xz)(xyxz)(xy)(xz)(2xyz)A2xyz5.证明：(ab2ab)(ab2)(1ab)2a2ab2aabb22b