微积分下册主要知识点

微积分下册主要知识点微积分下册主要知识点/微积分下册主要知识点一、第一换元积分法(凑微分法)g[(x)](x)dxg(u)duF(u)CF[(x)]C.积分种类换元公式二、常用凑11.f(axb)dxf(axb)d(axb)(a0)uaxb微分公式a2.f(x)x1dx1f(x)d(x)(0)ux三、第二f(lnx)1f(lnx)d(lnx)ulnx换元法3.dxx第4..f(ex)exdxf(ex)dexuex一5.f(ax)axdx1f(ax)x换lnadauax元6.f(sinx)cosxdxf(sinx)dsinxusinx积7.f(cosx)sinxdxf(cos)cosxucosx分xd8.f(tanx)sec2xdxf(tanx)dtanx法utanx9.f(cotx)csc2xdxf(cotx)dcotxucotx10.f(arctanx)1dxf(arctanx)d(arctanx)uarctanx1x211.f(arcsinx)1dxf(arcsinx)d(arcsinx)ux1x2arcsinf(x)dxf[(t)](t)dtF(t)CF[(x)]C,注:以上几例所使用的均为三角代换,三角代换的目的是化掉根式,其一般规律以下:当被积函数中含有a)a2x2,b)x2a2,c)x2a2,

可令可令可令

asint;atant;xasect.当有理分式函数中分母的阶较高时,常采用倒代换x1.t四、积分表续分部积分法分部积分公式：udvuvvduuvdxuvuvdx分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算.一般地,以下种类的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m,n都是正整数).定积分的看法定积分的性质两点补充规定：(a)当ab时,bf(x)dx0;(b)当ab时,baaf(x)dxf(x)dx.ab性质1bg(x)]dxbf(x)dxb[f(x)ag(x)dx.aa性质2bb(k为常数).kf(x)dxkf(x)dx,aa性质3bcf(x)dxbf(x)dxaf(x)dx.ac性质4bb1dxdxba.aa性质5若在区间[a,b]上有f(x)g(x),则bf(x)dxbg(x)dx,(ab).aa推论1若在区间[a,b]上f(x)0,则b0,(ab).()a推论2bb(ab).f(x)dx|f(x)|dxaa性质6(估值定理)设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值,则性质7(定积分中值定理)若是函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在[a,b]上最少存在一个点,使微积分的基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数：x(x)f(t)dta定理2若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.三、牛顿—莱布尼兹公式定理3若函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则bf(x)dxF(b)F(a).a公式称为牛顿—莱布尼茨公式.定积分的换元法积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理1设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,函数x(t)满足条件：（1）( )a,( )b,且a(t)b；（2）(t)在[,](或[,])上拥有连续导数,则有bf(x)dxf[(t)](t)dt.a公式称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很近似.可是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：限,

（1）用x(t)把变量x换成新变量t时,积分限也要换成相应于新变量且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出f[(t)](t)的一个原函数(t)后,不用象计算不定积分那样再把

t的积分(t)变换成原变量x的函数,而只要把新变量

t

的上、下限分别代入

(t)今后相减就行了

.二、定积分的分部积分法budv

[uv]ba

bvdu

或

buvdx

[uv]ba

bvudxa

a

a

a广义积分一、无量限的广义积分二、无界函数的广义积分定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“切割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.能够抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U（总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤以下：由切割写出微元依照详尽问题，采用一个积分变量，比方x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]，任取[a,b]的一个区间微元[x,xdx]，求出相应于这个区间微元上部重量U的近似值，即求出所求总量U的微元dUf(x)dx；(2)由微元写出积分依照dUf(x)dx写出表示总量U的定积分微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中拥有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实诘责题时，应注意以下两点：所求总量U关于区间[a,b]应拥有可加性，即若是把区间[a,b]分成好多部分区间,则U相应地分成好多部重量,而U等于所有部重量U之和.这一要求是由定积分看法自己所决定的;(2)使用微元法的要点是正确给出部重量U的近似表达式f(x)dx，即使得f(x)dxdUU.在平时状况下，要检验Uf(x)dx可否为dx的高阶无量小其实不是易事，因此，在实质应用要注意dUf(x)dx的合理性.二、平面图形的面积1）直角坐标系下平面图形的面积2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元所求曲边扇形的面积

dA1[r()]2d2A1[( )]2d.2三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体.这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元dV所求旋转体的体积V

[f(x)]2dx,b[f(x)]2dx.a四、平行截面面积为已知的立体的体积：若是一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于必然轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元dVA(x)dx,b所求立体的体积VA(x)dx.a积分在经济剖析的应用空间剖析几何简介一、空间直角坐标系在平面剖析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并经过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标(x,y))对应起来.同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间必然点O,作三条相互垂直的数轴，依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系Oxyz（图6-1-1）.空间直角坐标系有右手系和左手系两种.我们平时采用右手系.二、空间两点间的距离三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，若是曲面S上任一点坐标都满足方程F(x,y,z)0，而不在曲面S上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程F(x,y,z)0称为曲面S的方程,而曲面S就称为方程F(x,y,z)0的图形空间曲面研究的两个基本问题是:已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;已知曲面方程，研究曲面的几何形状.平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面.能够证明空间中任一平面都能够用三元一次方程AxByCzD0来表示，反之亦然.其中A、B、C、D是不全为零常数.方程称为平面的一般方程.柱面定义2平行于某定直线并沿定曲线C搬动的直线L所形成的轨迹称为柱面.这条定曲线C称为柱面的准线,动直线L称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，进而获取平面与曲面一系列的交线（即截痕），经过综合剖析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌.这类研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.椭球面x2y2z21(a0,b0,c0)a2b2c2椭圆抛物面zx2y2（p与q同号）2p2q双曲抛物面x2y2z(p与q同号)2p2q单叶双曲面x2y2z21(a0,b0,c0)a2b2c2双叶双曲面x2y2z21(a0,b0,c0)a2b2c2二次锥面x2y2z20(a0,b0,c0)a2b2c2多元函数的基本看法一、平面地域的看法：内点、外点、界线点、开集、连通集、地域、闭地域二、二元函数的看法定义1设D是平面上的一个非空点集，若是关于D内的任一点(x,y)，依照某种法规f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f是D上的二元函数，它在(x,y)处的函数值记为f(x,y)，即z为该函数的定义域，数集

f(x,y)，其中x，y称为自变量，z称为因变量.点集D称{z|zf(x,y),(x,y)D}称为该函数的值域.近似地，可定义三元及三元以上函数.当n2时,n元函数统称为多元函数.二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2设函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有定义，若是当点P(x,y)无量趋于点P0(x0,y0)时，函数f(x,y)无量趋于一个常数A，则称A为函数zf(x,y)当(x,y)(x0,y0)时的极限.记为limf(x,y)A.x0yy0或f(x,y)A（(x,y)(x0,y0)）也记作limf(P)A或f(P)A(PP0)PP0二元函数的极限与一元函数的极限拥有同样的性质和运算法规，在此不再详述.为了差异于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3设二元函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，若是limf(x,y)f(x0,y0),xx0yy0则称zf(x,y)在点(x0,y0)处连续.若是函数zf(x,y)在点(x0,y0)处不连续，则称函数zf(x,y)在(x0,y0)处中止.与一元函数近似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数.由x和y的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.所有二元初等函数在其定义地域内是连续的.这里定义地域是指包含在定义域内的地域或闭地域.利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义地域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭地域D上连续的二元函数也有近似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理.下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭地域D上的二元连续函数,在D上至少获取它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭地域D上的二元连续函数在D上必然有界.定理3（介值定理）在有界闭地域D上的二元连续函数,若在D上获取两个不同样样的函数值,则它在D上获取介于这两值之间的任何值最少一次.偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在x0处有增量x时,相应地函数有增量若是limf(x0x,y0)f(x0,y0)存在,则称此极限为函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对x的x0x偏导数,记为比方，有fx(x0,y0)limf(x0x,y0)f(x0,y0).x0x近似地，函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为limf(x0,y0y)f(x0,y0),y0y记为上述定义表示，在求多元函数对某个自变量的偏导数时,只要把其余自变量看作常数，今后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法规来计算之.二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数dy可看作函数的微分dy与自变量的微分dx的商.但dx偏导数的记号u是一个整体.x（2）与一元函数近似，关于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.3）在一元函数微分学中，我们知道，若是函数在某点存在导数，则它在该点必然连续.但对多元函数而言，即私信数的各个偏导数存在，也不能够够保证函数在该点连续.比方，二元函数在点(0,0)的偏导数为但从上节例5已经知道这函数在点(0,0)处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为zf(x,y)，M0(x0,y0,f(x0,y0))是该曲面上一点，过点M0作平面y0，截此曲面得一条曲线，其方程为则偏导数fx(x0,y0)表示上述曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴正向的斜率（图6-3-1）.同理，偏导数fy(x0,y0)就是曲面被平面xx0所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量QQ(p,y),其中p为该产品的价格,y为开支者收入.记需求量Q关于价格p、开支者收入y的偏改变量分别为和

yQ

Q(p,y

y)

Q(p,y).易见，

pQ

表示

Q对价格

p由

p变到

p

p的平均变化率

.

而p表示当价格为p、开支者收入为y时,Q关于p的变化率.称为需求Q对价格p的偏弹性.同理，yQ表示Q对收入y由y变到yy的平均变化率.而y表示当价格p、开支者收入为y时,Q关于y的变化率.称为需求Q对收入y的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数p(x,y)cxay1a,c0且0a1，其中p是由x个人力单位和y个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场所、生产工具和其余用品的成本）。偏导数分别称为人力的边缘生产力和资本的边缘生产力。六、高阶偏导数设函数zf(x,y)在地域D内拥有偏导数则在D内fx(x,y)和fy(x,y)都是x、y的函数.若是这两个函数的偏导数存在，则称它们是函数zf(x,y)的二阶偏导数.依照对变量求导次序的不同样样，共有以下四个二阶偏导数：其中第二、第三两个偏导称为混杂偏导数.近似地，能够定义三阶、四阶、以及n阶偏导数.我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.定理1若是函数zf(x,y)的两个二阶混杂偏导数2z及2z在地域D内连续,yxxy则在该地域内有2z2z.yxxy全微分一、微分的定义定义1若是函数zf(x,y)在点(x,y)的全增量能够表示为zAxByo( ),其中

A,B

不依赖于

x,y而仅与

x,

y

有关,

(x)2

(

y)

2

,则称函数

z

f(x,y)

在点(x,y)可微分,

Ax

By称为函数

z

f(x,y)在点

(x,y)

的全微分

,

记为dz,

即dz

Ax

By

.若函数在地域D内各点处可微分，则称这函数在D内可微分.二、函数可微的条件定理1(必要条件)若是函数zf(x,y)在点(x,y)处可微分,则该函数在点(x,y)的偏导数z,z必存在,且zf(x,y)在点(x,y)处的全微分xydzzxzy.xy我们知道，一元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件.但关于多元函数则不然.定理1的结论表示，二元函数的各偏导数存在可是全微分存在的必要条件而不是充分条件.因此可知，关于多元函数而言，偏导数存在其实不用然可微.因为函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿坐标轴的变化率，而全微分描述了函数沿各个方向的变化情况.

但若是对偏导数再加些条件，就可以保证函数的可微性

.

一般地，我们有：定理

2(

充分条件

)

若是函数

z

f(x,y)

的偏导数

z,

z

在点

(x,y)

连续,

则函数在xy该点处可微分.三、微分的计算习惯上，常将自变量的增量

x、

y分别记为

dx、dy，并分别称为自变量的微分

.这样，函数zf(x,y)的全微分就表为dzzzdy.dxxy上述关于二元函数全微分的必要条件和充分条件，能够圆满近似地实行到三元及三元以上的多元函数中去.比方，三元函数uf(x,y,z)的全微分可表为duudxudyudz.xyz四、全微分在近似计算中的应用设二元函数zf(x,y)在点P(x,y)的两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)连续,且|x|,|y|都较小时,则依照全微分定义，有即zfx(x,y)xfy(x,y)y.由zf(xx,yy)f(x,y)，即可获取二元函数的全微分近似计算公式f(xx,yy)f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)y复合函数微分法与隐函数微分法一、多元复合函数微分法1．复合函数的中间变量为一元函数的状况设函数zf(u,v),uu(t),vv(t)构成复合函数zf[u(t),v(t)]dzzduzdv.（）dtudtvdt公式中的导数dz称为全导数.dt2、复合函数的中间变量为多元函数的状况设zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)构成复合函数zf[u(x,y),v(x,y)],zzuzvxux,vxzzuzv,yuyvy3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的状况定理3若是函数uu(x,y)在点(x,y)拥有对x及对y的偏导数,函数vv(y)在点y可导，函数zf(u,v)在对应点(u,v)拥有连续偏导数,则复合函数zf[u(x,y),v(y)]在对应点(x,y)的两个偏导数存在,且有zzu,xuxzzuzdv.yuyvdy注：这里z与f是不同样样的，z是把复合函数zf[u(x,y),x,y]中的y看作不变而xxx对x的偏导数，f是把函数zf(u,x,y)中的u及y看作不变而对x的偏导数.z与fxyy也有近似的差异.在多元函数的复合求导中，为了简单起见，常采用以下记号:这里下标1表示对第一个变量u求偏导数，下标2表示对第二个变量v求偏导数，同理有f11,f22,等等.二、全微分形式的不变性依照复合函数求导的链式法规，可获取重要的全微分形式不变性.以二元函数为例，设zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)是可微函数，则由全微分定义和链式法规，有因此可知，尽管现在的u、v是中间变量，但全微分dz与x、y是自变量时的表达式在形式上圆满一致.这个性质称为全微分形式不变性.合适应用这个性质，会收到很好的奏效.三、隐函数微分法在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的看法，并介绍了不经过显化而直接由方程F(x,y)0来求它所确定的隐函数的导数的方法.这里将进一步从理论上说明隐函数的存在性，并经过多元复合函数求导的链式法规建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法.定理4设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内拥有连续的偏导数,且Fy(x0,y0)0,F(x0,y0)0,则方程F(x,y)0在点P(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且拥有连续导数的函数yf(x),它满足y0f(x),并有0dyFx.dxFy定理5设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内有连续的偏导数,且则方程F(x,y,z)0在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且拥有连续偏导数的函数zf(x,y),它满足条件z0f(x0,y0),并有zFx,zFy.xFzyFz多元函数的极值及求法一、二元函数极值的看法定义1设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,关于该邻域内异于(x0,y0)的任意一点(x,y),若是则称函数在(x0,y0)有极大值；若是则称函数在(x0,y0)有极小值;极大值、极小值统称为极值.使函数获取极值的点称为极值点.定理1(必要条件)设函数zf(x,y)在点(x0,y0)拥有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则它在该点的偏导数必然为零，即fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0.与一元函数的状况近似，关于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理2(充分条件)设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有直到二阶的连续偏导数，又fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0.令(1)当ACB20时，函数f(x,y)在(x0,y0)处有极值，且当A0时有极小值f(x0,y0)；A0时有极大值f(x0,y0)；当当

ACB20时，函数f(x,y)在(x0,y0)处没有极值;ACB20时，函数f(x,y)在(x0,y0)处可能有极值，也可能没有极值.依照定理1与定理2，若是函数f(x,y)拥有二阶连续偏导数，则求zf(x,y)的极值的一般步骤为：第一步解方程组fx(x,y)0,fy(x,y)0,求出f(x,y)的所有驻点；第二步求出函数f(x,y)的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、B、C的值，并依照ACB2的符号判断驻点可否为极值点.最后求出函数f(x,y)在极值点处的极值.二、二元函数的最大值与最小值求函数f(x,y)的最大值和最小值的一般步骤为:1）求函数f(x,y)在D内所有驻点处的函数值;2）求f(x,y)在D的界线上的最大值和最小值;3）将前两步获取的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.在平时遇到的实诘责题中，若是依照问题的性质，能够判断出函数f(x,y)的最大值（最小值）必然在D的内部获取，而函数f(x,y)在D内只有一个驻点，则能够必然该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最大值（最小值）.三、条件极值拉格朗日乘数法前面所议论的极值问题，关于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值.但在实诘责题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题.对自变量有附加条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数f(x,y)和(x,y)在地域D内有一阶连续偏导数，则求zf(x,y)在D内满足条件(x,y)0的极值问题，能够转变成求拉格朗日函数（其中为某一常数）的无条件极值问题.于是，求函数zf(x,y)在条件(x,y)0的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：构造拉格朗日函数其中为某一常数;由方程组解出x,y,,其中x,y就是所求条件极值的可能的极值点.注：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件,因此依照这类方法求出来的点可否为极值点,还需要加以议论.可是在实诘责题中,经常能够依照问题自己的性质来判断所求的点可否是极值点.拉格朗日乘数法可实行到自变量多于两个而条件多于一个的状况:四、数学建模举例二重积分的看法与性质一、二重积分的看法定义1设f(x,y)是有界闭地域D上的有界函数.将闭地域D任意分成n个小闭地域1,2,,n,其中i表示第i个小闭地域，也表示它的面积，在每个i上任取一点(i,i),作乘积并作和若是当各小闭地域的直径中的最大值趋近于零时,这和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在闭地域D上的二重积分,记为f(x,y)d,即Df(x,y)dnlimf(i,i)iD0i1其中f(x,y)称为被积函数,f(x,y)d称为被积表达式,d称为面积微元,x和y称为积分变量,D称为积分地域,并称nf(i,i)i为积分和.i1对二重积分定义的说明:(1)若是二重积分f(x,y)d存在，则称函数f(x,y)在地域D上是可积的.能够D证明，若是函数f(x,y)地域D上连续，则f(x,y)在地域D上是可积的.今后，我们总假定被积函数f(x,y)在积分地域D上是连续的;依照定义，若是函数f(x,y)在地域D上可积，则二重积分的值与对积分地域的切割方法没关，因此，在直角坐标系中，常用平行于x轴和y轴的两组直线来切割积分地域D，则除了包含界线点的一些小闭地域外，其余的小闭地域都是矩形闭地域设矩形闭地域i的