概率论与数理统计几种重要的分布

第四章几种重要的分布§4.1二项分布§4.2超几何分布§4.3泊松分布§4.4指数分布§4.6概率论与数理统计几种重要的分布一、两点分布

2、数字特征1、定义§4.1二项分布概率论与数理统计几种重要的分布二、二项分布概率论与数理统计几种重要的分布1、定义2、数字特征概率论与数理统计几种重要的分布概率论与数理统计几种重要的分布例2、某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，求最近6天内用水量正常的天数的分布。解：设最近六天内用水量保持正常的天数为X。它服从二项分布，n=6,p=0.75。利用二项分布公式计算X0123456P0.00020.00440.03300.13180.29660.35600.1780解：X服从二项分布，n=10,p=0.2。利用二项分布公式计算例3、10部机器各自独立工作，因修理调整等原因，每部机器停车的概率为0.2。求同时停车数目X的分布。X012345678910P0.110.270.300.200.090.030.010.000.000.000.00概率论与数理统计几种重要的分布例4、一批产品的废品率为0.03，进行20次重复抽样（有放回）。求出现废品的频率为0.1的概率。解：X表示20次中抽到废品的次数，服从二项分布，n=20,p=0.03。利用二项分布公式计算概率论与数理统计几种重要的分布3、二项分布的最可能值概率论与数理统计几种重要的分布例5、某批产品有80％的一等品，对它们进行重复抽样检验，共取出4个样品，求其中一等品数X的最可能值k，并用贝努利公式验证。解：一等品数X服从二项分布，np+p=3.2+0.8=4，所以k=3,4时P{X=k}最大。X01234P0.00160.02560.15360.40960.4096n很大时，频率为概率的可能最大概率论与数理统计几种重要的分布证明：概率论与数理统计几种重要的分布例6、某人射击的命中率为0.8，今连续射击30次，计算命中率为

60％的概率。概率论与数理统计几种重要的分布例9、计算机在进行加法运算时，每个加数按四舍五入取整数，假定每个加数的取整误差服从[-0.5,0.5]上的均匀分布，今有五个加数相加，计算它们中至少有三个加数的取整误差绝对值概率不超过0.3的概率。概率论与数理统计几种重要的分布例1：某班有学生20名，其中5名女同学，今从班上任选4名学生去参观展览，被选到的女学生数X是一个随机变量，求X的分布。例2：某班有学生20名，其中3名女同学，今从班上任选4名学生去参观展览，被选到的女学生数X是一个随机变量，求X的分布。§4.2超几何分布概率论与数理统计几种重要的分布1、定义2、数字特征概率论与数理统计几种重要的分布3、超几何分布与二项分布的关系证明：概率论与数理统计几种重要的分布例3、一大批种子的发芽率为90％，从中任取10粒，求

(1)播种后恰好有8粒发芽的概率。

(2)播种后不少于8粒发芽的概率。解设X为10粒种子中发芽的种子数目，服从超几何分布。但是N很大，n=10项对于N很小，可以认为X近似服从二项分布B（10，0.9）。概率论与数理统计几种重要的分布

几何分布1、定义

在无穷次贝努利试验中，事件A

首次发生时所需要的试验次数X的分布。2、数字特征概率论与数理统计几种重要的分布3、无记忆性证明：概率论与数理统计几种重要的分布例1、(离散随机等待时间)

每张彩票中奖概率0.01，某人每次只买一张。(1)他买到第k张才中奖的概率，(2)买了8张都没有中奖的概率。解.买到第一张中奖彩票需要的次数X~G(0.01)概率论与数理统计几种重要的分布1、定义2、数字特征§4.3Poisson(泊松)分布概率论与数理统计几种重要的分布3、泊松分布与二项分布的关系概率论与数理统计几种重要的分布定理说明，对于成功率为p的n重贝努利试验，只要n充分大，而p充分小，则其成功的次数X近似服从参数的泊松分布。例1、X服从poisson分布，EX=5，查表求P(X=2)，P(X=5)，P(X=20)。一般当n

≥20，p

≤0.05时可以近似计算概率论与数理统计几种重要的分布例2、检查了100个零件上的疵点数，结果如表。用poisson分布公式计算疵点数的分布，并与实际检查结果比较。疵点数0123456频:λ=14×0+27×1+26×2+20×3+7×4+3×5+3×6)/100=2疵点数0123456频率0.140.270.260.20.070.030.03概率0.13530.27070.27070.18040.09020.03610.0361概率论与数理统计几种重要的分布例3、一袋重量为500克的种子约10000粒，假设该袋种子的发芽率为98.5%，从中任取100粒进行试验，计算恰好有1粒没有发芽的概率。解1：设100粒中未发芽的种子有X粒，服从超几何分布。N＝10000，N1＝9850，n＝100，由于N很大，n＝100相对于N很小，X可用二项分布近似计算解2：n＝100，p=0.015很小，X可用poisson分布近似计算概率论与数理统计几种重要的分布例4、设城市每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布。据统计在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人概率的1/2。计算一年中因交通事故至少死亡3人的概率。解:设随机变量X表示一年内因交通事故死亡的人数。要求泊松分布的参数。由题意，概率论与数理统计几种重要的分布4、Poisson分布的最可能值概率论与数理统计几种重要的分布超几何分布二项分布泊松分布超几何分布、二项分布、泊松分布的关系概率论与数理统计几种重要的分布常见的离散型分布两点分布X~(0

—1)

二项分布X

~B(n

,p)泊松分布X

~

P(

)超几何分布X

~

H(n,M,N

)几何分布X~G(p)X

01pk1-

pp只有两个互逆结果的n次独立重复试验(n+1)p二项分布的逼近式无穷次伯努利试验中A首次发生的试验次数对含有两类元素的有限总体进行不放回抽样时某类元素个数的概率分布在一定时间内出现在给定区域的随机质点的个数概率论与数理统计几种重要的分布一、均匀分布定义若连续型随机变量X的概率密度为

1、定义可描述在某区间上具有等可能结果的随机试验§4.4指数分布概率论与数理统计几种重要的分布2、分布函数3、数字特征概率论与数理统计几种重要的分布二、指数分布1、定义定义

若连续型随机变量X的概率密度为其中

>

0为常数，则称

X

服从参数为

的指数分布，

记为X～e(

).可描述两次事件发生的时间间隔概率论与数理统计几种重要的分布2、分布函数3、数字特征概率论与数理统计几种重要的分布例1、某元件寿命X服从参数为λ＝1/1000的指数分布。三个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率。各元件寿命相互独立。因此3个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率为。概率论与数理统计几种重要的分布4、无记忆性若X~e(),则证明：命题故又把指数分布称为“永远年轻”的分布概率论与数理统计几种重要的分布解∵

X

～e(0.

05),

(1)

P(10

<

X

20)例2、

从某项寿命试验的数据中知，寿命X服从参数为0.05的指数分布，(1)求P(10

<

X

20),P(X

>

80|X

>

50);∵

事件

{X

>

80}{X

>

50}，∴P(X

>

80|X

>

50)

即有

-

0.05

x

<ln

0.

1，(2)P(

X

>

x

)<

0.1，(2)如果要使概率P(

X

>

x

)<

0.1,

则x取值应在什么范围内？概率论与数理统计几种重要的分布1、定义定义

若连续型随机变量X的概率密度为

则称

X

服从参数为和的正态分布，其中-

<

<+

,

>

0为常数，

记为X～N(

,

2).§4.6正态分布概率论与数理统计几种重要的分布正态分布是概率论中最重要的分布。自然界大量的随机现象近似服从正态，如：测量误差，生物特征数据，农作物的产量，工业产品的质量指标，气象数据等等；

一般的，如果某个数量指标受到大量的随机因素的影响，每一个因素所起的作用又很小，则这个数量指标就近似服从正态分布。

概率论中的很多重要分布都与正态分布有关。概率论与数理统计几种重要的分布(1)密度函数关于

x=对称；(2)图形在x轴上方且密度函数在x=

处达到最大值；

两头小，中间大大多数现象的正常状态，即极端的总是少数。正态分布密度函数的重要性质(3)密度函数在x=±处有拐点；(4)x轴是密度函数的水平渐近线；概率论与数理统计几种重要的分布(5)是位置参数，是形状参数

如果固定而改变，密度函数位置改变，沿ox

轴平移，但是形状不变；反之，如果固定而改变，密度函数的位置不改变，但形状将随的增加而变平坦，随的减小而变陡峭。

说明固定时，对于同样长度的区间，当参数越大时，X

落在这个区间里的概率将越小，而当参数越小时，X

落在这个区间里的概率将越大。概率论与数理统计几种重要的分布2、数字特征=2.概率论与数理统计几种重要的分布3、分布函数4、标准正态分布概率论与数理统计几种重要的分布概率论与数理统计几种重要的分布5、一般正态分布与标准正态分布的关系证明：概率论与数理统计几种重要的分布定理：概率论与数理统计几种重要的分布

标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.

只需查标准正态分布的分布表，就可以解决正态分布的概率计算问题.概率论与数理统计几种重要的分布概率论与数理统计几种重要的分布例4、设X~N(1,4),求P(0X1.6).解解一：概率论与数理统计几种重要的分布解二图解法0.2由图知0.3概率论与数理统计几种重要的分布例6(3原理)解一次试验中,X落入区间(-3,+3)的概率为0.9974,而超出此区间可能性很小由3原理知，概率论与数理统计几种重要的分布例7、设测量的误差X~N(7.5,100)(单位:米)，问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9?解：设A

表示进行n次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米。n>3故至少要进行4次独立测量才能满足要求.概率论与数理统计几种重要的分布1、定义2、数字特征概率论与数理统计几种重要的分布3、特殊情形概率论与数理统计几种重要的分布证明：概率论与数理统计几种重要的分布二元正态分布概率论与数理统计几种重要的分布两个重要的连续型随机变量的分布概率论与数理统计几种重要的分布常见的连续型分布均匀分布X

～

U[a,b]

指数分布X～e(

)正态分布X～N(

,

2

)描述在某区间上具有等可能结果的随机试验

描述影响某一数量指标的随机因素很多，每一因素独立，但每个因素所起作