概率论与数理统计(浙江大学版本)

概率与统计

开课系：非数学专业教师:叶梅燕e-mail:yemeiyan@概率论与数理统计(浙江大学版本)教材：《概率论与数理统计》王松桂等编科学出版社2002参考书：1.《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等编高等教育出版社2.《概率论与数理统计》魏振军编中国统计出版社概率论与数理统计(浙江大学版本)序言?概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性概率论——研究和揭示随机现象的统计规律性的科学

概率论与数理统计(浙江大学版本)目录第一章随机事件及其概率第二章随机变量第三章随机变量的数字特征第四章样本及抽样分布第五章参数估计第六章假设检验概率论与数理统计(浙江大学版本)第一章随机事件及其概率随机事件及其运算概率的定义及其运算条件概率事件的独立性

概率论与数理统计(浙江大学版本)1.1随机事件及其概率

一、随机试验(简称“试验”)随机试验的特点(p1)1.可在相同条件下重复进行；2.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。

随机试验常用E表示

概率论与数理统计(浙江大学版本)E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:某城市某年某月内发生交通事故的次数；E4:掷一颗骰子，可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重。随机实验的例子随机事件概率论与数理统计(浙江大学版本)二、样本空间(p2)

1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为={e}；

2、样本点:试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点,记为e.

3.由样本点组成的单点集称为基本事件,也记为e.

幻灯片6概率论与数理统计(浙江大学版本)随机事件1.定义样本空间的任意一个子集称为随机事件,简称“事件”.记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。

2.两个特殊事件:必然事件S

、不可能事件.(p3)

例如

对于试验E2

，以下A、

B、C即为三个随机事件:A＝“至少出一个正面”＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“两次出现同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH}再如，试验E6中D＝“灯泡寿命超过1000小时”＝{x:1000<x<T(小时）}。概率论与数理统计(浙江大学版本)三、事件之间的关系

既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规则来处理。

概率论与数理统计(浙江大学版本)

1.包含关系(p3)“事件A发生必有事件B发生”记为ABA＝BAB且BA.概率论与数理统计(浙江大学版本)2.和事件：(p3)“事件A与事件B至少有一个发生”，记作AB2’n个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作概率论与数理统计(浙江大学版本)3.积事件(p4):事件A与事件B同时发生，记作AB＝AB3’n个事件A1,A2,…,An同时发生，记作A1A2…An概率论与数理统计(浙江大学版本)4.差事件(p5)：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而事件B不发生思考：何时A-B=?何时A-B=A？概率论与数理统计(浙江大学版本)5.互斥的事件（也称互不相容事件）(p4)

即事件与事件不可能同时发生。AB＝

概率论与数理统计(浙江大学版本)6.互逆的事件(p5)

AB＝,且AB＝

概率论与数理统计(浙江大学版本)五、事件的运算(p5)1、交换律：AB＝BA，AB＝BA2、结合律：(AB)C＝A(BC)，

(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，

(AB)C＝(AC)(BC)4、对偶(DeMorgan)律：概率论与数理统计(浙江大学版本)例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：概率论与数理统计(浙江大学版本)

1.2概率的定义及其运算

从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A发生的可能性大小的量?P（A）应具有何种性质？?*抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？*掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？*向目标射击，命中目标的概率有多大？概率论与数理统计(浙江大学版本)(p10)若某实验E满足：1.有限性：样本空间S＝{e1,e2,…,en};2.等可能性：（公认）P(e1)=P(e2)=…=P(en).则称E为古典概型也叫等可能概型。1.2.1.古典概型与概率概率论与数理统计(浙江大学版本)设事件A中所含样本点个数为N(A)，以N()记样本空间中样本点总数，则有P(A)具有如下性质(P7)(1)0

P(A)1；(2)P()＝1；P()=0(3)AB＝，则

P(AB

)＝P(A)＋P(B)古典概型中的概率(P10):概率论与数理统计(浙江大学版本)例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}概率论与数理统计(浙江大学版本)二、古典概型的几类基本问题乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法。（也可推广到分若干步）复习：排列与组合的基本概念概率论与数理统计(浙江大学版本)加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。（也可推广到若干途径）这两公式的思想贯穿着整个概率问题的求解。概率论与数理统计(浙江大学版本)有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，nnnn共有nk种排列方式.概率论与数理统计(浙江大学版本)无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.nn-1n-2n-k+1概率论与数理统计(浙江大学版本)组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有种取法.概率论与数理统计(浙江大学版本)1、抽球问题例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A-----取到一红一白答:取到一红一白的概率为3/5概率论与数理统计(浙江大学版本)一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是概率论与数理统计(浙江大学版本)在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。概率论与数理统计(浙江大学版本)2、分球入盒问题例2：将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒概率论与数理统计(浙江大学版本)一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：P9某班级有n个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？?概率论与数理统计(浙江大学版本)3.分组问题例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组概率论与数理统计(浙江大学版本)一般地，把n个球随机地分成m组(n>m),要求第i

组恰有ni个球(i=1,…m)，共有分法：概率论与数理统计(浙江大学版本)4随机取数问题例4从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率(2)求取到的数能被8整除的概率(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率解:N(S)=200,N(3)=[200/24]=8N(1)=[200/6]=33,N(2)=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25概率论与数理统计(浙江大学版本)某人向目标射击，以A表示事件“命中目标”，P（A）=？?定义:(p8)事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A).

即fn(A)＝nA/n.1.3频率与概率概率论与数理统计(浙江大学版本)历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。实验者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005概率论与数理统计(浙江大学版本)频率的性质(1)0

fn(A)1；(2)fn(S)＝1；fn()=0(3)可加性：若AB＝

，则

fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率概率论与数理统计(浙江大学版本)1.3.2.概率的公理化定义

注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义概率论与数理统计(浙江大学版本)1.定义(p8)

若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)P(A)≥0；(2)P()＝1； (3)可列可加性：设A1，A2，…,是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….(1.1)则称P(A)为事件A的概率。概率论与数理统计(浙江大学版本)2.概率的性质

P(10-13)(1)有限可加性：设A1，A2，…An,是n个两两互不相容的事件，即AiAj＝

，(ij),i,j＝1,2,…,n,则有

P(A1

A2

…

An)＝P(A1)＋P(A2)+…P(An);(3)事件差

A、B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)(2)单调不减性：若事件AB，则P(A)≥P(B)概率论与数理统计(浙江大学版本)(4)加法公式：对任意两事件A、B，有P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形；(3)互补性：P(A)＝1－P(A);(5)可分性：对任意两事件A、B，有P(A)＝P(AB)＋P(AB).

概率论与数理统计(浙江大学版本)某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.EX解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报概率论与数理统计(浙江大学版本)例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率，（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。解:设A—取到的数能被2整除;B--取到的数能被3整除故概率论与数理统计(浙江大学版本)

袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二个人取得红球的概率是多少？?1.4条件概率概率论与数理统计(浙江大学版本)若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率，记作P(B|A)若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？概率论与数理统计(浙江大学版本)一、条件概率例1设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;（2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球概率论与数理统计(浙江大学版本)S=ABA——第一次取到红球,B——第二次取到红球概率论与数理统计(浙江大学版本)显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率(p14)

一般地，设A、B是S中的两个事件，则概率论与数理统计(浙江大学版本)?“条件概率”是“概率”吗？概率定义

若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：P(A)≥0；(2)P(S)＝1;(3)可列可加性：设A1，A2，…,是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….

则称P(A)为事件A的概率。概率论与数理统计(浙江大学版本)例2.(p14)一盒中混有100只新,旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010设A--从盒中随机取到一只红球.B--从盒中随机取到一只新球.AB概率论与数理统计(浙江大学版本)二、乘法公式(p15)设A、B，P（A）>0,则P(AB)＝P(A)P(B|A).(1.4.2)式(1.4.2)就称为事件A、B的概率乘法公式。

式(1.4.2)还可推广到三个事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.4.3)一般地，有下列公式：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).(1.4.4)概率论与数理统计(浙江大学版本)例3

合中有3个红球，2个白球，，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解：设Ai为第i次取球时取到白球，则概率论与数理统计(浙江大学版本)三、全概率公式与贝叶斯公式例4.(p16)市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。B概率论与数理统计(浙江大学版本)定义(p17)事件组A1，A2，…，An(n可为)，称为样本空间的一个划分，若满足：A1A2……………AnB概率论与数理统计(浙江大学版本)定理1、(p17)设A1，…,An是的一个划分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，则对任何事件B有式(1.4.5)就称为全概率公式。概率论与数理统计(浙江大学版本)例5(P17)有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；A2——从甲袋放入乙袋的是红球；B——从乙袋中任取一球是红球；甲乙概率论与数理统计(浙江大学版本)定理2(p18)设A1，…,An是S的一个划分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，则对任何事件BS，有

式(1.4.6)就称为贝叶斯公式。思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答:概率论与数理统计(浙江大学版本)(P22,22.)商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:概率论与数理统计(浙江大学版本)例6

(p18)数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?)BA(P＝)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+＝＝0.067解：设A---发射端发射0，

B---接收端接收到一个“1”的信号．0(0.55)01不清(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)10不清(0.85)(0.05)(0.1)概率论与数理统计(浙江大学版本)条件概率条件概率小结缩减样本空间定义式乘法公式全概率公式贝叶斯公式概率论与数理统计(浙江大学版本)1.5事件的独立性

一、两事件独立(P19)定义1设A、B是两事件，P(A)≠0,若P(B)＝P(B|A)(1.5.1)则称事件A与B相互独立。式(1.5.1)等价于：P(AB)＝P(A)P(B)(1.5.2)概率论与数理统计(浙江大学版本)从一付52张的扑克牌中任意抽取一张，以A表示抽出一张A，以B表示抽出一张黑桃，问A与B是否独立？定理、以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。概率论与数理统计(浙江大学版本)二、多个事件的独立定义2、(p20)

若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；若在此基础上还满足：(2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),(1.5.3)则称事件A、B、C相互独立。概率论与数理统计(浙江大学版本)一般地，设A1，A2，…，An是n个事件，如果对任意k(1kn),任意的1i1i2…

ik

n，具有等式P(Ai1Ai2…Aik)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)

(1.5.4)则称n个事件A1，A2，…，An相互独立。思考：1.设事件A、B、C、D相互独立，则2.一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇到？答:0.518,0.496概率论与数理统计(浙江大学版本)三、事件独立性的应用1、加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立,则(1.5.5)2、在可靠性理论上的应用P23,24．如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。概率论与数理统计(浙江大学版本)设A---L至R为通路,Ai---第i个继电器通,i=1,2,…5由全概率公式概率论与数理统计(浙江大学版本)EX1:一个学生欲到三家图书馆借一本参考书．每家图书馆购进这种书的概率是1/2，购进这种书的图书馆中该书被借完了的概率也是1/2．各家图书馆是否购进该书相互独立．问该学生能够借到书的概率是多少？第一章小结本章由六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成概率论与数理统计(浙江大学版本)第二章随机变量

离散型随机变量随机变量的分布函数连续型随机变量一维随机变量函数的分布二维随机变量的联合分布多维随机变量的边缘分布与独立性条件分布多维随机变量函数的分布概率论与数理统计(浙江大学版本)

关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量概率论与数理统计(浙江大学版本)2.1随机变量的概念(p24)定义.

设S={e}是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。随机变量常用X、Y、Z或、、等表示。随机变量的特点:

1X的全部可能取值是互斥且完备的2X的部分可能取值描述随机事件概率论与数理统计(浙江大学版本)?请举几个实际中随机变量的例子EX．引入适当的随机变量描述下列事件：①将3个球随机地放入三个格子中，事件A={有1个空格}，B={有2个空格}，C={全有球}。②进行5次试验，事件D={试验成功一次}，F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}概率论与数理统计(浙江大学版本)随机变量的分类：随机变量概率论与数理统计(浙江大学版本)2.2离散型随机变量(P25)定义若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pn,…,则称X为离散型随机变量，而称P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

为X的分布律或概率分布。可表为

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…X

x1 x2

…

xK …

Pk p1 p2 … pk …概率论与数理统计(浙江大学版本)(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

例1设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解k可取值0，1，22.分布律的性质概率论与数理统计(浙江大学版本)例2.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5则A1,A2,…A5,相互独立且P(Ai)=p,i=1,2,…5.SX={0,1,2,3,4,5},(1-p)5

概率论与数理统计(浙江大学版本)·几个常用的离散型分布

（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布1.(0-1)分布(p26)

若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布)X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或概率论与数理统计(浙江大学版本)(P27)若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。

记作X~B（n,p)

,其分布律为：2.(p27)定义设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.概率论与数理统计(浙江大学版本)例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.解:(1)由题意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律为:概率论与数理统计(浙江大学版本)例4.

某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。泊松定理(p28)

设随机变量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，记=np，则

解

设X表示400次独立射击中命中的次数，则X～B(400,0.02)，故P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…概率论与数理统计(浙江大学版本)上题用泊松定理取

=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有

P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.（二.）泊松(Poisson)分布P()(p28)X～P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)概率论与数理统计(浙江大学版本)泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布概率论与数理统计(浙江大学版本)例5.设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。

解:由题意,概率论与数理统计(浙江大学版本)例6.进行独立重复试验，每次成功的概率为p，令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布律。解:m=1时,m>1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,…P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并且

在前m次试验中成功了m-1次}概率论与数理统计(浙江大学版本)想一想：离散型随机变量的统计特征可以用分布律描述，非离散型的该如何描述？如：熊猫彩电的寿命X是一个随机变量，对消费者来说，你是否在意{X>5年}还是{X>5年零1分钟}概率论与数理统计(浙江大学版本)2.3随机变量的分布函数

一、分布函数的概念.

定义(P29)

设X是随机变量，对任意实数x，事件{Xx}的概率P{Xx}称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即F(x)＝P{Xx}.

易知，对任意实数a,b(a<b),P{a<Xb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a).概率论与数理统计(浙江大学版本)二、分布函数的性质(P29)

1、单调不减性：若x1<x2,则F(x1)F(x2);2、归一性：对任意实数x，0F(x)1，且

3、右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。概率论与数理统计(浙江大学版本)一般地，对离散型随机变量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函数为

例1

设随机变量X具分布律如右表解

X012P0.10.60.3试求出X的分布函数。概率论与数理统计(浙江大学版本)例2

向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：

F(x)=P{X≤x}

当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1当0≤x≤1时,特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1概率论与数理统计(浙江大学版本)用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？?ab概率论与数理统计(浙江大学版本)2.4

连续型随机变量

一、概率密度

1.定义(p33)

对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-<x<+)，使对任意实数x，都有则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为X～f(x),(-<x<+)概率论与数理统计(浙江大学版本)密度函数的几何意义为概率论与数理统计(浙江大学版本)2.密度函数的性质(p34)(1)非负性

f(x)0，(-<x<)；

(2)归一性性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；

EX设随机变量X的概率密度为求常数a.答:概率论与数理统计(浙江大学版本)(3)若x是f(x)的连续点，则EX设随机变量X的分布函数为求f(x)概率论与数理统计(浙江大学版本)（4）对任意实数b，若X～f(x)，(-<x<)，则P{X=b}＝0。于是概率论与数理统计(浙江大学版本)P(35)例2.3.2.已知随机变量X的概率密度为1)求X的分布函数F(x),2)求P{X(0.5,1.5)}概率论与数理统计(浙江大学版本)二、几个常用的连续型分布1.均匀分布(p36)

若X～f(x)＝则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作X~U(a,b)对任意实数c,d(a<c<d<b)，都有概率论与数理统计(浙江大学版本)例.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率1545解：设A—乘客候车时间超过10分钟X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)概率论与数理统计(浙江大学版本)2.指数分布(p36)

若X～则称X服从参数为>0的指数分布。其分布函数为概率论与数理统计(浙江大学版本)例.电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？解概率论与数理统计(浙江大学版本)例.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的泊松分布，求T的概率密度。解当t≤0时，当t>0时，=1-{在t时刻之前无汽车过桥}于是概率论与数理统计(浙江大学版本)正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。3.正态分布ABA，B间真实距离为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？概率论与数理统计(浙江大学版本)其中为实数，

>0，则称X服从参数为,2的正态分布,记为N(,2)，可表为X～N(,2).若随机变量概率论与数理统计(浙江大学版本)

(1)单峰对称

密度曲线关于直线x=对称；(p38) f()＝maxf(x)＝.正态分布有两个特性：概率论与数理统计(浙江大学版本)(2)的大小直接影响概率的分布越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻，。正态分布也称为高斯(Gauss)分布概率论与数理统计(浙江大学版本)4.标准正态分布(p38)

参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0,1)。概率论与数理统计(浙江大学版本)分布函数表示为其密度函数表示为概率论与数理统计(浙江大学版本)一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。(P226附表1)如，若Z~N（0，1）,（0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注：(1)(x)＝1－(－x)；

(2)若X～N(,2)，则正态分布表概率论与数理统计(浙江大学版本)EX设随机变量X~N(-1,22),P{-2.45<X<2.45}=?P(39)例2.3.5.设XN(,2),求P{-3<X<+3}本题结果称为3

原则.在工程应用中，通常认为P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|>3}的值.

如在质量控制中，常用标准指标值±3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.正态分布表概率论与数理统计(浙江大学版本)(p67)14一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,故则Y~B(3,p)其中正态分布表概率论与数理统计(浙江大学版本)一、离散型随机变量函数的分布律

2.5一维随机变量函数的分布

(p55)设X一个随机变量，分布律为X～P{X＝xk}＝pk,k＝1,2,…若y＝g(x)是一元单值实函数，则Y＝g(X)也是一个随机变量。求Y的分布律.例:已知XPk-101求：Y=X2的分布律YPk10概率论与数理统计(浙江大学版本)或Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk

，k＝1,2,…（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）一般地XPkY=g(X)概率论与数理统计(浙江大学版本)二、连续型随机变量函数的密度函数

1、一般方法(p56)

若X~f(x),-<x<+,Y=g(X)为随机变量X的函数，则可先求Y的分布函数

FY(y)

＝P{Yy}＝P{g(X)y}＝

然后再求Y的密度函数此法也叫“分布函数法”概率论与数理统计(浙江大学版本)例1.设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。当y<0时当0≤y<1时当y≥1时概率论与数理统计(浙江大学版本)例2.设X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导且是x的严格单减函数，求Y=g(X)的概率密度。解：Y的分布函数为

FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}=P{X≥g-1(y)}=1-FX(g-1(y))Y的概率密度为

fY(y)=F(g-1(y))=－fX(g-1(y))g-1(y)概率论与数理统计(浙江大学版本)2、公式法：一般地若X～fX(x),y=g(x)是单调可导函数，则

注：1只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。2注意定义域的选择其中h(y)为y＝g(x)的反函数.概率论与数理统计(浙江大学版本)例3.已知XN(,2),求

解：的概率密度关于x严单,反函数为故概率论与数理统计(浙江大学版本)例4设X~U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a≠0)解:Y=ax+b关于x严单,反函数为故而故概率论与数理统计(浙江大学版本)小结.概率论与数理统计(浙江大学版本)习题课一、填空：1.设随机变量X服从参数为（2,p）的二项分布，随机变量Y服从参数（3,p）的二项分布，若，则P{Y≥1}=

概率论与数理统计(浙江大学版本)2.设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=X2在（0，4）内的密度函数为fY(y)=

概率论与数理统计(浙江大学版本)3.设随机变量X~N（2，σ2），且P（2<X<4）=0.3，则P(X<0)=概率论与数理统计(浙江大学版本)二.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.以Y表示汽车在第一次停止之前所通过的交通岗数,求Y的分布律.(假定汽车只在遇到红灯或到达火车站时停止)概率论与数理统计(浙江大学版本)三、某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6，现他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击几发，求他恰好命中两发的概率。概率论与数理统计(浙江大学版本)四.已知随机变量X的概率密度为求：Y=1-X2的概率密度概率论与数理统计(浙江大学版本)2.6二维随机变量的联合分布

一、

多维随机变量1.定义(p41)将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一个n维向量(X1,X2,...,Xn)称为n维随机变量。一维随机变量X——R1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律概率论与数理统计(浙江大学版本)

(p41)设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称F(x,y)=P{Xx,Yy}为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。二.联合分布函数几何意义：分布函数F()表示随机点(X,Y)落在区域中的概率。如图阴影部分：概率论与数理统计(浙江大学版本)对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2，y1<y2),则P{x1<X

x2，y1<yy2}

＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)概率论与数理统计(浙江大学版本)分布函数F(x,y)具有如下性质：(p41-42)且(1)归一性

对任意(x,y)R2,0F(x,y)1,概率论与数理统计(浙江大学版本)

(2)单调不减

对任意yR,当x1<x2时，F(x1,y)F(x2,y)；

对任意xR,当y1<y2时，F(x,y1)F(x,y2).(3)右连续

对任意xR,yR,

概率论与数理统计(浙江大学版本)(4)矩形不等式

对于任意(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2，y1<y2),F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。概率论与数理统计(浙江大学版本)例2.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为1)求常数A，B，C。2)求P{0<X<2,0<Y<3}解:概率论与数理统计(浙江大学版本)三.联合分布律

(P42)若二维随机变量(X,Y)只能取至多可列个值

(xi,yj),(i,j＝1,2,…)，则称(X,Y)为

二维离散型随机变量。若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，

(i,j＝1,2,…)，为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.

可记为

(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，(i,j＝1,2,…)，概率论与数理统计(浙江大学版本)XYy1y2…yj…

p11

p12...

P1j...

p21

p22...

P2j...

pi1

pi2...

Pij...........................联合分布律的性质(1)pij

0,i,j＝1,2,…

；

(2)x1x2xi二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:P43概率论与数理统计(浙江大学版本)例3.(P43)袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令,求(X,Y)的分布律。XY1010概率论与数理统计(浙江大学版本)四.二维连续型随机变量及其密度函数1、定义

p44

对于二维随机变量(X,Y)，若存在一个非负可积函数f(x,y)，使对(x,y)R2，其分布函数则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为

(X,Y)～f(x,y)，(x,y)R2概率论与数理统计(浙江大学版本)2、联合密度f(x,y)的性质(p44)(1)非负性：f(x,y)0,(x,y)R2;(2)归一性：反之，具有以上两个性质的二元函数f(x,y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。此外，f(x,y)还有下述性质(3)若f(x,y)在(x,y)R2处连续，则有概率论与数理统计(浙江大学版本)(4)对于任意平面区域GR2,EX设求:P{X>Y}G概率论与数理统计(浙江大学版本)求：(1)常数A；(2)F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2X+3y6内的概率。

例4.

设解(1)由归一性概率论与数理统计(浙江大学版本)(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2X+3y6内的概率。解概率论与数理统计(浙江大学版本)

3.两个常用的二维连续型分布

(1)二维均匀分布(p45)

若二维随机变量(X,Y)的密度函数为则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布。易见，若（X，Y）在区域D上(内)服从均匀分布，对D内任意区域G，有概率论与数理统计(浙江大学版本)例5.设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求P{Y<2X}；(3)求F(0.5,0.5)概率论与数理统计(浙江大学版本)其中，1、2为实数，1>0、2>0、||<1，则称(X,Y)服从参数为1,2,1,2,的二维正态分布，可记为

(2)二维正态分布N(1,2,1,2,)

若二维随机变量(X,Y)的密度函数为(P101)概率论与数理统计(浙江大学版本)分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上，对n维随机变量(X1,X2,…,Xn)，

F(x1,x2,…,xn)＝P(X1x1,X2x2,…,Xnxn)称为的n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数，或随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布函数。定义2.4.6.n维随机变量(X1,X2,...Xn)，如果存在非负的n元函数f(x1,x2,...xn)使对任意的n元立方体概率论与数理统计(浙江大学版本)定义2.4.7.若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,...Xn)为n维离散型的，称P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn}，(x1,x2,...xn)为n维随机变量(X1,X2,...Xn)的联合分布律。则称(X1,X2,...Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,...xn)为(X1,X2,...Xn)的概率密度。概率论与数理统计(浙江大学版本)求：（1）P{X0},(2)P{X1},(3)P{Yy0} EX:随机变量（X，Y）的概率密度为xyD答:P{X0}=0概率论与数理统计(浙江大学版本)FY(y)＝F(+,y)＝＝P{Yy}称为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.

2.7.边缘分布与独立性

一、边缘分布函数(p46)FX(x)＝F(x,+)＝＝P{Xx}称为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。概率论与数理统计(浙江大学版本)例1.已知(X,Y)的分布函数为求FX(x)与FY(y)。概率论与数理统计(浙江大学版本)二、边缘分布律若随机变量X与Y的联合分布律为(p47)(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，i,j＝1,2,…则称

P{X＝xi}＝pi.＝，i＝1,2,…为(X,Y)关于X的边缘分布律；P{Y＝yj}＝p.j＝，j＝1,2,…为(X,Y)关于Y的边缘分布律。边缘分布律自然也满足分布律的性质。概率论与数理统计(浙江大学版本)例2.已知(X,Y)的分布律为x\y 1 0 1 1/10 3/10 03/103/10求X、Y的边缘分布律。 解： x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 p.j

故关于X和Y的分布律分别为：

X 1 0 Y 1 0 P2/5 3/5 P 2/5 3/52/53/52/53/5概率论与数理统计(浙江大学版本)三、边缘密度函数为(X,Y)关于Y的边缘密度函数。设(X,Y)～f(x,y),(x,y)R2,则称(p48)

为(X,Y)关于X的边缘密度函数；同理，称易知N(1,2,12,22,)的边缘密度函数fX(x)是N(1,12)的密度函数，而fX(x)是N(2,22)的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。概率论与数理统计(浙江大学版本)例3.设(X,Y)的概率密度为（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度解:(1)由归一性概率论与数理统计(浙江大学版本)设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，求关于X的和关于Y的边缘概率密度

x=yx=-yEX概率论与数理统计(浙江大学版本)四、随机变量的相互独立性定义2.4.1称随机变量X与Y独立，如果对任意实数a<b,c<d，有(p49)p{a<Xb,c<Yd}=p{a<Xb}p{c<Yd} 即事件{a<Xb}与事件{c<Yd}独立，则称随机变量X与Y独立。定理2.4.2：随机变量X与Y独立的充分必要条件是(p49) F(x,y)=FX(x)FY(y)概率论与数理统计(浙江大学版本)定理2.4.3.(p50)设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)定理2.4.4.(p50)设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pi,j=Pi.Pj。由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可概率论与数理统计(浙江大学版本)EX：判断例1、例2、例3中的X与Y是否相互独立例(p50).已知随机变量(X,Y)的分布律为且知X与Y独立，求a、b的值。例4.(p51)甲乙约定8:009:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟过时不候。求两人能见面的概率。概率论与数理统计(浙江大学版本)定义.设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为F(x1,x2,...xn),(X1,X2,...Xn)的k（1k<n)维边缘分布函数就随之确定，如关于(X1,X2）的边缘分布函数是FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2,,...)若Xk的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,五．n维随机变量的边缘分布与独立性(p51)则称X1,X2,...Xn

相互独立，或称(X1,X2,...Xn)是独立的。概率论与数理统计(浙江大学版本)对于离散型随机变量的情形，若对任意整数i1,i2,…,in及实数有则称离散型随机变量X1,X2,…,Xn相互独立。

设X1，X2，…，Xn为n个连续型随机变量，若对任意的(x1,x2,…,xn)Rn，

f(x1,x2,…,xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)几乎处处成立，则称X1，X2，…，Xn相互独立。概率论与数理统计(浙江大学版本)定义2.4.6.设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为FX(x1,x2,...xn)；m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)的分布函数为FY(y1,y2,…ym),X1,X2,...Xn,Y1,Y2,…Ym组成的n+m维随机变量（X1,X2,...Xn,Y1,Y2,…Ym)的分布函数为F（x1,x2,...xn,y1,y2,…ym).如果F（x1,x2,...xn,y1,y2,…ym).=FX(x1,x2,...xn)FY(y1,y2,…ym)则称n维随机变量(X1,X2,...Xn)与m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)独立。概率论与数理统计(浙江大学版本)定理2.4.7设(X1,,X2,…,Xn)与(Y1,Y2,…，Ym)相互独立，则Xi(i=1,2,…,n))与Yi(i=1,2,…,m)相互独立；又若h,g是连续函数，则h(X1