费马点问题(含答案)

费马点问题(含答案)费马点的问题定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：1.如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2。如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。3。费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理.性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。3．费马点为三角形中能量最低点。4．三力平衡时三力夹角皆为120°,所以费马点是三力平衡的点.例1：已知:△ABH是等边三角形。求证：GA+GB+GH最小证明:∵△ABH是等边三角形。G是其重心.∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。以HB为边向右上方作等边三角形△DBH。以HG为边向右上方作等边三角形△GHP。∵AH=BH=AB=12。∴∠AGH=120°,∠HGP=60°。∴A、G、P三点一线。再连PD两点。∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形，∠GHB=30°.费马点问题(含答案)全文共10页，当前为第1页。∴∠PHD=30°，.费马点问题(含答案)全文共10页，当前为第1页。在△HGB和△HPD中∵HG=HP∠GHB=∠PHD；HB=HD；∴△HGB≌△HPD；(SAS）∴∠HPD=∠HGB=120°；∵∠HPG=60°.∴G、P、D三点一线。∴AG=GP=PD，且同在一条直线上.∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD。∴G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点.也就是重心。例2：已知:△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.费马点问题(含答案)全文共10页，当前为第2页。求证：GA+GB+GC最小费马点问题(含答案)全文共10页，当前为第2页。证明:将△BGC逆时针旋转60°，连GP，DB.则△HGB≌△HPD；∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD，BC=DC，∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=60°，∴∠BCD=60°,∴△GCP和△BCD都是等边三角形.∵∠AGC=120°，∠CGP=60°。∴A、G、P三点一线。∵∠CPD=120°，∠CPG=60°。∴G、P、D三点一线.∴AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。∵GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.∴G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。但它不同于等边三角形的费马点是重心。例3：已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.求证:GA+GB+GC最小费马点问题(含答案)全文共10页，当前为第3页。费马点问题(含答案)全文共10页，当前为第3页。证明:将△BGC逆时针旋转60°，连GP，DB.则△CGB≌△CPD;∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD，BC=DC，∠GCB=∠PCD。∵∠GCP=60°，∴∠BCD=60°，∴△GCP和△BCD都是等边三角形。∵∠AGC=120°,∠CGP=60°.∴A、G、P三点一线.∵∠CPD=120°,∠CPG=60°。∴G、P、D三点一线。∴AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。∵GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.∴G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点,费马点。但它不同于等边三角形的费马点是重心。(费马点问题)如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围。费马点问题(含答案)全文共10页，当前为第4页。费马点问题(含答案)全文共10页，当前为第4页。解：Part1:将绕点顺时针旋转60°得到，易知为等边三角形.从而（两点之间线段最短），从而.Part2:过作的平行线分别交于点,易知.因为在和中，①，②。又,所以③。①+②+③可得,即.综上，的取值范围为.“费马点”与中考试题费尔马,法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一．费马点-—就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形,费马点就是这个内角的顶点．费马点问题(含答案)全文共10页，当前为第5页。下面简单说明如何找点P使它到三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？这就是所谓的费尔马问题．费马点问题(含答案)全文共10页，当前为第5页。图1解析:如图1,把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′,连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP=PP′，P′C′=PC,所以PA+PB+PC=PP′+PB+P′C′．点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．这时∠BPA=180°—∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠AP′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=360°-∠BPA—∠APC=360°-120°-120°=120°因此,当的每一个内角都小于120°时,所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点;当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例,供同学们学习参考．本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考．费马点问题(含答案)全文共10页，当前为第6页。例1(2008年广东中考题)已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为,求此正方形的边长．费马点问题(含答案)全文共10页，当前为第6页。图2图3分析：连接AC，发现点E到A、B、C三点的距离之和就是到三个顶点的距离之和，这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同．解如图2,连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE．又FG=AE，∴AE+BE+CE=BE+EF+FG（图4）．∵点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）．∴线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上（图3）．设正方形的边长为，那么BO=CO=,GC=，GO=．∴BG=BO+GO=+．∵点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为．∴+=,解得=2．注本题旋转△AEB、△BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转,读者不妨一试．例2(2009年北京中考题）如图4，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为，，，延长AC到点D,使CD=，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.费马点问题(含答案)全文共10页，当前为第7页。（1）求D点的坐标；费马点问题(含答案)全文共10页，当前为第7页。（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；(3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．分析和解：（1)D点的坐标（3，）（过程略)．（2）直线BM的解析式为（过程略)．图4（3）如何确定点G的位置是本题的难点也是关健所在．设Q点为y轴上一点，P在y轴上运动的速度为v，则P沿M→Q→A运动的时间为,使P点到达A点所用的时间最短,就是MQ＋AQ最小，或MQ＋2AQ最小．解法1∵BQ=AQ，∴MQ＋2AQ最小就是MQ＋AQ＋BQ最小，就是在直线MO上找点G使他到A、B、M三点的距离和最小．至此,再次发现这又是一个费尔马问题的变形，注意到题目中等边三角形的信息，考虑作旋转变换．把△MQB绕点B顺时针旋转60°，得到△M′Q′B,连接QQ′、MM′（图5),可知△QQ′B、△MM′B都是等边三角形，则QQ′=BQ．又M′Q′=MQ,∴MQ＋AQ＋BQ=M′Q′+QQ′+AQ．费马点问题(含答案)全文共10页，当前为第8页。∵点A、M′为定点，所以当Q、Q′两点在线段AM′上时，MQ＋AQ＋BQ最小．由条件可证明Q′点总在AM′上，所以AM′与OM的交点就是所要的G点（图6）．可证OG=MG．费马点问题(含答案)全文共10页，当前为第8页。图5图6图7解法2考虑MQ＋AQ最小,过Q作BM的垂线交BM于K，由OB=6，OM=,可得∠BMO＝30°，所以QK＝MQ．要使MQ＋AQ最小，只需使AQ＋QK最小,

根据“垂线段最短"，可推出当点A、Q、K在一条直线上时，AQ+QK最小，并且此时的QK垂直于BM,此时的点Q即为所求的点G（图7）．过A点作AH⊥BM于H，则AH与y轴的交点为所求的G点.由OB=6，OM=,可得∠OBM=60°，∴∠BAH=30°在Rt△OAG中,OG=AO·tan∠BAH=∴G点的坐标为（0,）(G点为线段OC的中点)．例3（2009年湖州中考题)若点P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点．（1）若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4,则PB的值为；费马点问题(含答案)全文共10页，当前为第9页。（2）如图8,在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′,连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．费马点问题(含答案)全文共10页，当前为第9页。图8解：（1）利用相似三角形可求PB的值为．（2）设点P为锐角△ABC的费马点，即∠APB=∠BPC=∠CPA=120°如图8,把△ACP绕点C顺时针旋转60°到△B′CE，连结PE，则△EPC为正三角形．∵∠B′EC=∠APC=120°，∠PEC=60°∴∠B′EC+∠PEC=180°即P、E、B′三点在同一直线上∵∠BPC=120°,∠CPE=60°，∴∠BPC+∠CPE=180°，即B、P、E三点在同一直线上∴B、P、E、B′四点在同一直线上，即BB′过△ABC的费马点P．又PE=PC，B′E=PA