经济应用数学PPT完整版全套教学课件

全套PPT课件1.1

区间及邻域1.1.1区间1.1.2邻域区间的名称和记号的引入有限区间

任何一个变量都有一定的变化范围．如果变量的变化范围是连续的，常用一种特殊的数集——区间来表示．1.1.1

区间图（c）图（d）图（b）图（a）区间的名称和记号的引入在无限区间中，区间的端点（如上述的

a,b）可以无限扩展，即无限区间（1）区间是实数集的子集．（2）

和

分别表示“正无穷大”和“负无穷大”，

它们不是数，仅仅是一个记号．注意1.1.1

区间邻域的引入图（a）图（b）1.1.2

邻域1.2函数的概念与性质1.2.3函数的性质1.2.4反函数1.2.2函数的表示法1.2.1函数的概念定义1注意特别强调1.2.1

函数的概念例1解1.2.1

函数的概念例2解解函数的两个要素

如果两个函数的定义域、对应法则均相同，那么可以认为这两个函数是同一函数；反之，如果两要素中有一个不同，则这两个函数就不是同一函数．函数对应法则定义域例如1.2.1

函数的概念1.2.2

函数的表示法函数可以用至少3种不同的方法来表示，即解析法、表格法、图示法．解析法（公式法）1

把两个变量之间的关系直接用数学式子表示出来，必要时还可以注明函数的定义域、值域，这种表示函数的方法称为解析法．

这在高等数学中是最常见的函数表示法，它有显式、隐式和参数式之分，如显式隐式参数式

在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数．1.2.2

函数的表示法例3例4例51.2.2

函数的表示法例6分析1.2.2

函数的表示法例6解表格法2

表格法是把自变量和因变量的对应值用表格形式列出的方法．这种表示法有较强的实用价值，如三角函数表、常用对数表等．3图示法

图示法是用某坐标系下的一条曲线反映自变量与因变量的对应关系的方法．

这种方法的几何直观性强，函数的基本性态一目了然，但它不利于理论研究．1.2.2

函数的表示法单调性11.2.3函数的性质例如例如单调区间1.2.3函数的性质奇偶性2

在定义区间上都是偶函数.

在定义区间上都是奇函数．例如特别强调偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称．1.2.3函数的性质有界性3例如由此可见，笼统地说某个函数是有界函数或无界函数是不确切的，必须指明其所讨论的区间.1.2.3函数的性质周期性4例如通常所说周期函数的周期是指它们的最小正周期.1.2.3函数的性质例7解解解1.2.4反函数定义2注意特别强调1.2.4反函数例8求下列函数的反函数．解解1.3初等函数1.3.2复合函数1.3.3初等函数1.3.1基本初等函数1.3.1基本初等函数常数函数1幂函数21.3.1基本初等函数指数函数31.3.1基本初等函数对数函数41.3.1基本初等函数三角函数5余弦函数y=cosx余切函数y=cotx余割函数y=cscx正弦函数y=sinx正切函数y=tanx正割函数y=secx三角函数有以下几种1234561.3.1基本初等函数1.3.1基本初等函数反三角函数6反余弦函数y=arccosx反余切函数y=arccotx反正弦函数y=arcsinx反正切函数y=arctanx反三角函数有以下几种12341.3.1基本初等函数1.3.1基本初等函数例9求下列反三角函数的值．（1）（2）（3）（4）（1）因

，且,故（2）因

，故（3）因

，且故（4）因

故解1.3.2复合函数引例定义2注意1.3.2复合函数注意1.3.2复合函数注意例10解例11解1.3.2复合函数1.3.2复合函数1.3.2复合函数例12解1.3.3基本初等函数定义1例如1.4经济与商务中

的常用函数1.4.3成本函数1.4.4收益函数与利润函数1.4.2供给函数1.4.1需求函数1.4.1需求函数例131.4.1需求函数1.4.1需求函数例14市场上小麦的需求量（每月）如表所示．价格/（千元/t）12345678需求量/t30252015121098画出需求函数的曲线如图所示．由图可知，小麦的需求量是价格的减函数，即当增加时，

下降．这一性质在经济学上称为需求下倾斜规律，这一规律适合许多商品.1.4.2需求函数例15价格

/（千元/t）12345678供给量/t024571016251.4.2需求函数1.4.3成本函数成本变动成本固定成本1.4.4收益函数收益函数1.4建立函数关系式注意例16解建立函数关系式注意例17解建立函数关系式注意例18解建立函数关系式2.1函数的极限2.1.4两个重要极限2.1.5无穷小的比较2.1.2函数的极限2.1.3极限性质和运算法则2.1.1数列的极限2.1.1

数列的极限数列极限的定义1定义1定义22.1.1

数列的极限例1解2.1.1

数列的极限例1解特别强调

2.1.1

数列的极限数列极限的存在准则2夹逼准则单调有界准则2.1.2

函数的极限2.1.2

函数的极限2.1.2

函数的极限引例12.1.2

函数的极限2.1.2

函数的极限定义32.1.2

函数的极限定义4结论2.1.2

函数的极限引例2定义52.1.2

函数的极限左极限右极限结论定义4例如提示2.1.2

函数的极限4无穷小量2.1.2

函数的极限无穷小的如下性质：1234例如定义4例如提示2.1.2

函数的极限4无穷大量2.1.2

函数的极限无穷小量与无穷大量的关系：2.1.3

极限性质和运算法则1函数的性质定理4定理2定理3定理12.1.3

极限性质和运算法则2极限的运算法则定理5提示2.1.3

极限性质和运算法则例2解例3解2.1.3

极限性质和运算法则例4解2.1.3

极限性质和运算法则例5解2.1.3

极限性质和运算法则例6解2.1.3

极限性质和运算法则例7解结论2.1.4

两个重要极限12.1.4

两个重要极限2x1010010001000010000010000002.593742.704812.716922.718152.718272.71828x-10-100-1000-10000-100000-10000002.867972.731992.719642.718422.718302.718282.1.4

两个重要极限例8解2.1.5

无穷小的比较定义8上述定义对变量的其他变化过程同样成立．例如结论2.1.5

无穷小的比较定理6推论2.2函数的连续性2.2.3初等函数的连续性2.2.4闭区间上连续函数的性质2.2.1连续函数的概念2.2.2间断点2.2.1

连续函数

的概念引例例如2.2.1

连续函数

的概念定义1结论2.2.1

连续函数

的概念定义22.2.2

间断点123第一类间断点第一类间断点2.2.3

初等函数的

连续性定理4定理2定理3定理12.2.3

初等函数的

连续性结论2.2.4闭区间上连续

函数的性质定理7定理6定理5*2.3利息函数2.3.3连续复利计算2.3.2复利计算2.3.1单利计算

导入2.3.1

区间单利计算是指只在本金上计算利息的计算方式．2.3.2复利计算复利计算是指除本金计算利息外，所生利息也计算利息的计算方式．2.3.2复利计算单利计算和复利计算的区别：122.3.3连续复利计算引例时期3个月6个月1年2年3年5年年利率/%2.884.145.225.586.216.662.3.3连续复利计算例2解特别强调2.3.3连续复利计算例3解3.1

导数的概念3.1.3导数的意义3.1.4函数可导性与连续性的关系3.1.5初等基本函数的求导公式3.1.1两个例子3.1.2导数的定义1．变速直线运动的瞬时速度在解决实际问题时，除了需要了解变量之间的函数关系以外，还需借助极限工具来研究函数局部的变化率．这类例子可在许多领域中找到，下面先介绍两个经典例子．3.1.1

两个例子3.1.1

两个例子2．切线斜率问题3.1.1

两个例子3.1.2

导数的定义定义13.1.2

导数的定义定义23.1.2

导数的定义由导数定义求导数的方法可概括为以下3步：例1解3.1.2

导数的定义例2解例3解3.1.2

导数的定义3.1.3

导数的意义例5解3.1.3

导数的意义3.1.4

函数可导性与连续性的关系例如3.1.5

基本初等函数的导数公式按求导步骤求出的下列基本初等函数的导数，可作为公式直接使用．132457683.1.5

基本初等函数的导数公式1513119161412103.2函数的求导法则3.2.1函数和、差、积、商的求导法则3.2.2复合函数的求导法则3.2.3隐函数求导3.2.4反函数的求导法则3.2.5高阶导数定理1例如注意3.2.1

函数和、差、积、商的求导法则例1解3.2.1

函数和、差、积、商的求导法则提示例2例3例4解解3.2.1

函数和、差、积、商的求导法则解定理23.2.2

复合函数的求导法则例5例6解解3.2.2

复合函数的求导法则例7例8解解3.2.2

复合函数的求导法则3.2.3

隐函数求导例93.2.3

隐函数求导解例10解3.2.3

隐函数求导3.2.4

反函数的求导法则定理3例11解3.2.4

反函数的求导法则例12解3.2.4

反函数的求导法则例13解3.2.4

反函数的求导法则例14解例15解3.2.5高阶导数3.2.5高阶导数例16例17解解3.2.5高阶导数例16解3.3微分3.3.1微分的概念3.3.2微分基本公式及其运算法则3.3.3微分在商务计算中的应用3.3.1微分的概念引例1概念23.3.1微分的概念定理13.3.1微分的概念定义13.3.1微分的概念例1例2解解3.3.1微分的概念例3解微分的几何意义33.3.1微分的概念微分基本公式13.3.2微分基本公式及其运算法则132457683.3.2微分基本公式及其运算法则1513119161412103.3.2微分基本公式及其运算法则2微分四则运算法则31423.3.2微分基本公式及其运算法则3微分四则运算法则例4解3.3.3微分在商务计算中的应用例5解3.3.3微分在商务计算中的应用注意例6解3.3.3微分在商务计算中的应用4.1中值定理和洛必达法则4.1.1中值定理4.1.2洛必达法则4.1.1中值定理罗尔（Rolle）中值定理1定理1例如4.1.1中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理2定理2提示4.1.1中值定理柯西（Cauchy）中值定理3定理3提示4.1.1中值定理推论推论4.1.2洛必达法则定理4例如这种在一定条件下，通过对分子、分母分别求导来计算未定式极限的方法，称为洛必达法则．上述定理对或单侧极限也成立．洛必达法则也可连续使用，每次使用时要检验它是否是未定式；如果不是，则不能再应用．4.1.2洛必达法则例1解例2解4.1.2洛必达法则例3解例4解4.1.2洛必达法则例5解例6解4.2函数的单调性、

极值和最值4.2.3函数的最大值与最小值4.2.4最值的应用4.2.2函数的极值及判别法4.2.1函数的单调性及判别法4.2.1函数的单调性

及判别法4.2.1函数的单调性

及判别法定理1注意例7解4.2.1函数的单调性

及判别法例8解4.2.1函数的单调性

及判别法4.2.2函数的极值

及判别法定义1极值的定义14.2.2函数的极值

及判别法注意4.2.2函数的极值

及判别法极值的判别法2定理2证明4.2.2函数的极值

及判别法注意4.2.2函数的极值

及判别法定理34.2.2函数的极值

及判别法4.2.2函数的极值

及判别法例9解4.2.2函数的极值

及判别法例10解4.2.2函数的极值

及判别法定理4注意4.2.2函数的极值

及判别法例11解4.2.3函数的最大值

与最小值4.2.3函数的最大值

与最小值例12解4.2.4最值的应用4.2.4最值的应用例13解4.2.4最值的应用例14解4.2.4最值的应用例15解4.2.4最值的应用例16解4.3函数曲线的

凹凸性与拐点4.3.1曲线的凹凸性与拐点4.3.2凹凸性和拐点在经济与商务中的应用4.3.1曲线的凹凸性与拐点引例曲线的凹凸性14.3.1曲线的凹凸性与拐点定义1定理14.3.1曲线的凹凸性与拐点定义22曲线的拐点4.3.1曲线的凹凸性与拐点例17解4.3.1曲线的凹凸性与拐点4.3.1曲线的凹凸性与拐点例18解4.3.2凹凸性和拐点在经济与商务中的应用步骤1步骤24.3.2凹凸性和拐点在经济与商务中的应用步骤3步骤4上图可以验证经济学中的一个重要原理：最小平均成本总是出现在平均成本与边际成本相等情形中．4.4函数图像的描绘4.4.2函数图像的描绘4.4.1曲线的渐近线4.4.1曲线的渐近线定义1例19解4.4.2函数图像的描绘4.4.2函数图像的描绘例20解注意这个铃状的函数曲线是概率论与数理统计中非常重要的曲线，称为高斯曲线．4.5经济与商务中的边

际函数与弹性函数4.5.3需求弹性与供给弹性4.5.4边际收益与需求弹性的关系4.5.2弹性函数4.5.1边际函数4.5.1边际函数例如4.5.1边际函数例如4.5.1边际函数例21解4.5.1边际函数例22解4.5.2弹性函数在经济与商务活动中，仅注意绝对改变量与绝对变化率是不够的．例如，某股市中介向人们推荐两种股票，简称A股和B股．A股在今后三个月内每股可能上涨1元，B股在今后三个月内每股可能上涨2元．要买哪种股票呢？如果仅知道每股涨价的绝对值显然是不够的．为了确定买哪种股票，还要看一下每股涨价的相对增加率．设A股每股为10元，B股每股为40元，则A股在今后三个月内股价将提高10%，而B股的股价仅提高5%．显然，如果该中介推荐情况属实，则应该购买A股而不是B股．因此，研究函数的相对变化率非常重要．定义14.5.2弹性函数4.2.2函数的极值

及判别法提示例23解4.2.2函数的极值

及判别法例24解4.5.3需求弹性与

供给弹性需求弹性1例25解说明4.5.3需求弹性与

供给弹性4.5.3需求弹性与

供给弹性例26解4.5.3需求弹性与

供给弹性供给弹性2例27解4.5.4边际收益与

需求弹性的关系5.1

不定积分5.1.1不定积分的概念与性质5.1.2基本不定积分公式5.1.3不定积分的几何意义5.1.1

不定积分不定积分的概念1定义1例如5.1.1

不定积分定义25.1.1

不定积分例1解5.1.1

不定积分不定积分的性质25.1.2

基本不定积分公式由导数的基本公式对应地可以得到下面的基本不定积分公式．132457685.1.2

基本不定积分公式131191210例1解5.1.2

基本不定积分公式例2解注意例3解5.1.2

基本不定积分公式例4解5.1.3

不定积分的几何意义5.1.3

不定积分的几何意义例3解5.2不定积分的换元法和分部积分法5.2.1不定积分的换元积分法5.2.2不定积分的分部积分法5.2.1

不定积分的换元积分法第一类换元积分法1例1解5.2.1

不定积分的换元积分法5.2.1

不定积分的换元积分法例2解例3解5.2.1

不定积分的换元积分法例4解例5解5.2.1

不定积分的换元积分法例6解例7解5.2.1

不定积分的换元积分法例8解例9解第二类换元积分法25.2.1

不定积分的换元积分法5.2.1

不定积分的换元积分法例10解例11解5.2.1

不定积分的换元积分法5.2.1

不定积分的换元积分法例12解5.2.2不定积分的分部积分法5.2.2不定积分的分部积分法例13解例14解5.2.2不定积分的分部积分法例15解例16解5.3定积分的概念与性质5.3.1引例5.3.2定积分的概念5.3.3定积分的基本性质5.3.1引例面积问题1例125.3.1引例5.3.1引例注意成本问题25.3.1引例例145.3.1引例定义15.3.2定积分的概念5.3.2定积分的概念5.3.2定积分的概念5.3.2定积分的概念5.3.3定积分的基本性质性质1性质2性质3性质4性质5性质6性质75.3.3定积分的基本性质5.3.3定积分的基本性质5.3.3定积分的基本性质例3解5.4微积分基本定理5.4.2微积分学基本定理5.4.1基本思路5.4.1基本思路5.4.1基本思路5.4.1基本思路5.4.2微积分学基本定理定理1例1解例2解5.4.2微积分学基本定理例3解5.4.2微积分学基本定理例4解5.4.2微积分学基本定理5.5定积分的换元积分法与分部积分法5.5.1定积分的换元积分法5.5.2定积分的分部积分法例1解5.5.1定积分的换元积分法定理1注意5.5.1定积分的换元积分法例2解5.5.2定积分的分部积分法5.5.2定积分的分部积分法例3解例4解例5解5.6定积分在经济问题中的应用例1解例2解例3解例4解例5解5.7定积分在面积计算中的应用注意例1解例2解6.1行列式6.1.3克莱姆法则6.1.4应用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解6.1.2行列式的性质6.1.1行列式的概念6.1.1行列式的概念二阶行列式1例16.1.1行列式的概念定义16.1.1行列式的概念定义1三阶行列式26.1.1行列式的概念定义2

(6-1)6.1.1行列式的概念定义2

(6-1)n阶行列式3定义3注意6.1.1行列式的概念特殊行列式4(1）对角行列式定义36.1.1行列式的概念(2）上三角和下三角行列式定义36.1.1行列式的概念推论1性质1性质26.1.2行列式的性质性质3性质4推论26.1.2行列式的性质性质5推论3推论46.1.2行列式的性质6.1.2行列式的性质性质6例2解6.1.3克莱姆法则定理16.1.3克莱姆法则例3解6.1.4应用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解定理3定理26.1.4应用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解例4解6.2矩阵6.2.3逆矩阵6.2.4矩阵的初等变换6.2.2矩阵的运算6.2.1矩阵的概念6.2.1矩阵的概念引例6.2.1矩阵的概念定义16.2.1矩阵的概念6.2.1矩阵的概念6.2.1矩阵的概念6.2.1矩阵的概念例如6.2.1矩阵的概念例如6.2.2矩阵的运算矩阵的加减法1定义26.2.2矩阵的运算数与矩阵相乘（数乘矩阵）2定义2例5解6.2.2矩阵的运算例6解6.2.2矩阵的运算3矩阵与矩阵相乘（矩阵乘法）定义4注意例如6.2.2矩阵的运算例7解例8解6.2.2矩阵的运算6.2.2矩阵的运算4方阵的幂定义56.2.2矩阵的运算5矩阵的转置定义66.2.2矩阵的运算例9解6.2.2矩阵的运算6方阵的行列式定义76.2.2矩阵的运算例10解6.2.3逆矩阵1方阵的行列式定义8例11解6.2.3逆矩阵2逆矩阵的性质性质1性质2性质3性质4性质56.2.3逆矩阵3逆矩阵的求法定理1定义9定理26.2.3逆矩阵例12解定义106.2.3逆矩阵定理3例13解6.2.4矩阵的初等变换1矩阵初等变换的概念定义116.2.4矩阵的初等变换2用矩阵的初等变换求逆矩阵定理4例14解6.2.4矩阵的初等变换3用矩阵的初等变换求矩阵的秩定义12定义13例如特别规定6.2.4矩阵的初等变换定理5例15解6.3线性方程组6.3.2线性方程组的一般解法6.3.1n元线性方程组

(6-2)6.3.1n元线性方程组6.3.1n元线性方程组

(6-2)6.3.1n元线性方程组(6–3)同解方程组16.3.2线性方程组

的一般解法例16线性方程组增广矩阵6.3.2线性方程组

的一般解法例16线性方程组增广矩阵6.3.2线性方程组

的一般解法例16线性方程组增广矩阵非齐次线性方程组的解法26.3.2线性方程组

的一般解法例17解6.3.2线性方程组

的一般解法例17解6.3.2线性方程组

的一般解法例18解6.3.2线性方程组

的一般解法例19解6.3.2线性方程组

的一般解法例19解6.3.2线性方程组

的一般解法

(6-2)定理2

(6-2)

(6-2)

(6-2)

(6-2)6.3.2线性方程组

的一般解法例20解6.3.2线性方程组

的一般解法例20解6.3.2线性方程组

的一般解法定理3齐次线性方程组的解法3(6–2)(6–3)(6–3)(6–3)(6–3)6.3.2线性方程组

的一般解法例21解6.3.2线性方程组

的一般解法4逆矩阵法解线性方程组提示6.3.2线性方程组

的一般解法例22解6.4线性规划初步6.4.2线性规划问题的图解法6.4.1线性规划问题的数学模型6.4.1线性规划问题

的数学模型线性规划是进行科学管理的一种重要的数学方法，它广泛应用于经济、工农业、军事、社会科学等各个领域．科学管理是在对具有多种可行方案问题的研究中，找出一种最佳方式，使得在分配或利用有限资源（如劳动力、原材料、运输设备、资金等）时，达到费用最省或利润最大．这类问题大部分可以用线性规划来解决．本节主要通过举例阐述线性规划问题的数学模型和基本概念．6.4.1线性规划问题

的数学模型例23解6.4.1线性规划问题

的数学模型例24解6.4.1线性规划问题

的数学模型例24解6.4.1线性规划问题

的数学模型(6–4)6.4.1线性规划问题

的数学模型(6–4)例25解6.4.2线性规划问题

的图解法例25解6.4.2线性规划问题

的图解法例26解6.4.2线性规划问题

的图解法例26解6.4.2线性规划问题

的图解法例27解6.4.2线性规划问题

的图解法例27解6.4.2线性规划问题

的图解法7.1随机事件7.1.1随机现象与随机事件7.1.2事件间的关系与运算7.1.1随机现象与随机事件引例1

在相同的条件下抛掷同一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且事先无法肯定抛掷的结果是什么．引例2

在400m短跑比赛中，如果有多条跑道，运动员通过抽签决定自己的跑道，而且每次比赛抽签前都无法预测自己可能抽到哪条跑道．引例3

如果问“苹果从树上脱离，会往地上落吗？”，会得到肯定的回答．引例4

掷一枚骰子，问“能否出现7点？”，会得到回答“不能”．在自然界、生产实践和科学实验中，人们观察到的现象一般可分为确定性现象和随机现象两大类．概念在一定条件下，必然发生或必然不发生的现象称为确定性现象（必然现象）。在一定条件下，事先不能断定会出现哪种结果的现象称为随机现象（偶然现象）。如果在相同条件下进行大量的重复试验，随机现象也会呈现其规律性．例如，在相同的条件下多次抛掷一枚均匀硬币，正、反面朝上的机会分别约占一半．这种规律称为统计规律．概率论就是研究随机现象统计规律的科学．为了寻求随机现象的内在规律性，就要对其进行大量重复观察．把一次观察称为一次随机试验，简称试验．7.1.1随机现象与随机事件1在相同的条件下可以重复进行；2试验中一切可能的结果都必须是明确的，每次试验必有且仅有一种结果出现；3每次试验的结果事前无法预知．试验具有以下3个特点：7.1.1随机现象与随机事件定义1在随机试验中，一次试验可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中却具有某种规律性的试验结果，称为这些随机试验的随机事件，简称事件．随机事件通常用大写英文字母A，B，C，

表示．有时也用表示，其中大括号内用文字或式子表述事件的内容．随机事件又分为基本事件和复合事件．

作为随机事件的极端情形（特例），又有必然事件和不可能事件．

必然事件和不可能事件都属于确定性现象，但为了研究问题的方便，仍然把它们当做随机事件，视为随机事件的特殊情形．例1随机试验E：10件产品中有8件正品、2件次品，无放回地任意从中抽取2件，并且1次抽取1件，观察正品、次品出现的情况．请写出这次试验的所有基本事件，并用大写英文字母表示．解所有基本事件如下：

{正品，正品}，{正品，次品}，{次品，正品}，{次品，次品}．7.1.2事件间的关系与运算研究随机试验产生的随机事件，常常涉及许多的事件，而这些事件之间往往是有关系的．我们可以用集合的观点来讨论事件之间的关系和运算．为直观起见，有时可借助图形（文氏图）来理解事件之间的关系．随机事件实际上是一种特殊的集合，必然事件Ω相当于全集Ω，每一个事件A都是Ω的子集，不可能事件相当于空集．引例5

在检验一批圆柱形产品时，需要产品的长度和直径都合格才算合格．考察以下事件：A1={产品合格}，

A2={产品不合格}，

A3={长度合格}，A4={长度不合格}，

A5={直径合格}，

A6={直径不合格}，A7={长度合格而直径不合格}，

A8={长度不合格而直径合格}．7.1.2事件间的关系与运算1事件的包含与相等注意7.1.2事件间的关系与运算2事件的和（并）注意7.1.2事件间的关系与运算3事件的积（交）注意7.1.2事件间的关系与运算4事件的差注意事件A发生，而事件B不发生，这一事件称为事件A与事件B的差，记作A-B．它也是一个事件．A-B是由属于A但不属于B的基本事件构成的．A-B发生当且仅当A发生而B不发生．如引例5中，A7=A3-A5，即{长度合格而直径不合格}={长度合格}7.1.2事件间的关系与运算5互不相容事件（互斥事件）注意7.1.2事件间的关系与运算6对立事件（互逆事件）注意7.1.2事件间的关系与运算如同集合运算规律一样，事件间的运算同样满足下列规律：交换律：分配律：反演律：例2甲、乙两炮手同时向一架敌机炮击，各打一发炮弹，设A1={甲击中敌机}，

A2={乙击中敌机}．试用A1，A2及它们的运算表示下列各事件：（1）{敌机被击中}；

（2）{甲、乙都击中敌机}；（3）{甲、乙都未击中敌机}；

（4）{只有一人击中敌机}．解（1）；

（2）；（3）；

（4）．7.2随机事件的概率及运算7.2.4事件的独立性7.2.6全概率与贝叶斯公式7.2.3条件概率7.2.5独立试验概型7.2.1预备知识7.2.2概率的定义7.2.1预备知识加法原理1若进行A1过程有n1种方法，进行A2过程有n2种方法，假定A1过程与A2过程是并行的，则进行A1过程或进行A2过程的方法共有n1+n2种．这种原理称为加法原理．例如，从甲地到乙地有1条铁路、2条公路，则乘火车或汽车从甲地到乙地共有1+2=3种走法．乘法原理2若进行A1过程有n1种方法，进行A2过程有n2种方法，则进行A1过程后再进行A2过程共有n1×n2种方法．这种原理称为乘法原理．例如，从甲地到乙地共有2种走法，从乙地到丙地共有3种走法，则从甲地到丙地共有2×3=6种不同的走法．7.2.1预备知识排列3从含有n个元素的集合中取出r个元素进行排列，这时既要区别不同的元素又要考虑取出元素的顺序．我们称从n个元素中有放回地取出r个元素所组成的排列为有重复的排列．由于每次选取都是在全体n个元素中进行的（有n种不同的取法），同一元素可以被重复选中，故其总数共有nγ种．对于不放回的情形，这时一个元素一旦被取出便立刻从该集合中除去，因此每个元素至多被选中一次．我们称从n个元素中不放回地取出r个元素所组成的排列为选排列，其总数为特别地，当n=r时，为全排列，总数为n!（注意0!=1）．组

合4从含有n个元素的集合中取出r个元素而不考虑其顺序，称为组合，其总数为7.2.2概率的定义概率的古典定义1最初的概率概念是对古典概型给出的．所谓古典概型，是指具有下述特征的随机试验：有限性试验的一切基本事件是有限个，即基本事件空间为有限集合.等可能性每个基本事件的发生是等可能的，即每个基本事件发生的可能性都一样．由于古典概型比较简单，因此它是概率论初期研究的重要对象．7.2.2概率的定义定义1对古典概型，设，即试验的基本事件空间含有n个基本事件，若事件A包含m(m≤n)个不同的基本事件，则定义事件A的概率为古典概型具有如下性质：1非负性：对于任何事件A，有

；2规范性：必然事件的概率等于1，即3可加性：如果事件A与B互斥，则．7.2.2概率的定义例1盒中有10只晶体管，其中有3只是次品，分别有放回和无放回地从中抽取2次，每次1只，试求下列事件的概率：（1）取到的两只都是正品；（2）取到的两只，一只是正品，一只是次品；（3）取到的两只至少有一只次品．解7.2.2概率的定义解7.2.2概率的定义概率的统计定义2概念如果事件A在N次重复试验中发生了n次，则称n为事件A发生的频数，称为事件A发生的频率，记作

．频率具有下列性质：1非负性：2规范性：,.3可加性：如果事件A与B互斥，则．7.2.2概率的定义定义2在相同条件下进行大量重复试验，如果随机事件A发生的频率FN(A)稳定在某一常数p附近（所谓稳定，即随着试验次数的增加，波动逐渐减小），则称p为随机事件A的概率，记作P(A)=p．7.2.2概率的定义定义3设Ω是随机试验的样本空间，对于每一随机事件A，赋予一个实数P(A)，如果实数P(A)满足如下三个条件：非负性：对任何事件A，有P(A)≥0；规范性：P(Ω)=1；可加性：对于两两互斥事件A1,A2,...，即对于，有

则称P(A)为事件A的概率．7.2.2概率的定义利用定义3，可以证明概率具有如下性质：1对任一事件A，有

；2对任意事件A,B，有3若

，则

．如果一个事件的概率不易求得，而其对立事件的概率相对容易求得时，便可先求出其对立事件的概率，然后利用性质（1），求出这一事件的概率．性质（2）称为概率的加法公式，在求一些较为复杂的事件的概率时，利用它常常会使问题得以简单化．7.2.2概率的定义例2解7.2.3条件概率条件概率的定义1定义47.2.3条件概率例3解某个盒子中有4只次品晶体管和6只正品晶体管，在其中任取两只，每次取一只做不放回抽样，在发现第一只是正品的条件下，求第二只是正品的概率．7.2.3条件概率条件概率的性质2（1）将条件概率的公式以另一种形式写出，就是概率的乘法公式．即设，则有将A，B的位置对换，则得到乘法公式的另一种形式：（2）条件概率满足的3条公理：（3）条件概率满足概率的其他性质．只需将无条件概率P(B)替换为条件概率P(B︱A)，即可类比套用概率的其他性质．7.2.3条件概率例4解已知某厂产品的合格率为98%，而合格品中的一等品率为75%，试求该厂产品的一等品率．定义57.2.4事件的独立性7.2.4事件的独立性例5某科研项目由3个小组独立研究，3个小组成功完成该项目的概率分别为0.25,0.3,0.4，求该项目被研究成功的概率．解7.2.5独立试验概型定义6如果在相同条件下进行一系列试验，且各次试验之间的结果相互独立，则称这一系列试验为一个独立试验序列．定义7如果在相同条件下重复进行

次试验，且满足（1）每次试验的结果相互独立；（2）每次试验中，有且仅有两个可能的结果：①事件A发生（“成功”）；②事件A不发生（“不成功”），则称上述试验为n重伯努利概型．7.2.5独立试验概型7.2.5独立试验概型例6某人看管10台同种类型的机器，根据实践经验知一台机器出故障的概率为0.06，求：（1）恰有两台机器出故障的概率；（2）至少有两台机器出故障的概率．解7.2.5独立试验概型例7一大批某型号的电子管，已知其一级品率为0.3，现从中随机抽取20只，问其中有一级品的概率是多少？由于这批电子管的总量很大，而抽取的只数（20只）相对很小，故可将抽查20只电子管近似看做有放回抽样，将“抽查1只”作为一次试验，则“抽查20只”为20重伯努利概型．设{其中有一级品}，由二项概率公式并利用互逆事件关系得在本例中，所抽20只电子管中不含一级品的概率不到万分之八．实践表明，这种“概率很小的事件在一次试验中几乎不可能发生”，这一事实称为小概率事件的实际不可能原理，它是数理统计中进行统计推断的主要依据．解7.2.6全概率与贝叶斯公式1全概率公式全概率公式：例8解设某厂从两个不同供应商处购买零件，该工厂有65%的零件由供应商1提供，其余35%由供应商2提供．供应商1提供零件质量保证为95%，供应商2提供零件质量保证为90%．现从中任抽一个零件，其质量保证为多少？7.2.6全概率与贝叶斯公式例9解设仓库有10箱相同规格产品，已知其中有5箱、3箱、2箱依次是甲厂、乙厂、丙厂生产，且甲、乙、丙工厂生产该种产品的次品率依次为，从这10箱中任取一箱，再从取得的这箱中任取一产品，求取得正品的概率．2贝叶斯公式7.2.6全概率与贝叶斯公式贝叶斯公式：例10解在例8中，如果从这批零件中随机抽取一件发现是合格品，求这件合格品是由供应商1提供的概率．7.3随机变量及其分布7.3.2离散型随机变量及其分布7.3.1随机变量的概念7.3.3连续型随机变量及其概率密度7.3.1随机变量的概念引例1抛掷一枚硬币，可能出现{国徽朝上}和{国徽朝下}两种结果．如果记“国徽朝上”为数字“1”，记“国徽朝下”为数字“0”，用一个变量X表示抛掷硬币的结果，则X的取值是随机的．显然就是事件{国徽朝上}，就是事件{国徽朝下}，且，。引例2在10件同类型产品中，有3件是次品，现任取2件，用X表示“这2件中的次品数”，X的取值是随机的，可能的取值有0，1，2．显然就是事件{取出2件中没有次品}．由此类推，{取出2件中恰有1件次品}；{取出2件中有2件次品}．同时也可由古典概率求得上面2个引例中的变量X具有下列特征：（1）取值是随机的，事先并不知道取到哪一个值；（2）所取的每一个值都对应于某一随机事件；（3）所取的每一个值都有确定的概率．7.3.1随机变量的概念定义1对于随机试验的每一个可能的结果，都有唯一的实数X与之对应，则称X是一个随机变量．对于具体的随机变量，通常分为两大类来讨论：如果一个随机变量可能的取值是可数的，则称这样的随机变量为离散型随机变量；其他的我们称为非离散型随机变量．对于非离散型随机变量，其范围很广，其中最重要的也是实际中常常用到的是连续型随机变量．注意7.3.2离散型随机变量及其分布定义2设X是一个随机变量，如果X的所有可能取值是可数的，则称X为离散型随机变量．定义3离散型随机变量X的概率分布也可以用如下表所示的形式来表示．XP7.3.2离散型随机变量及其分布1两点分布（又称0–1分布）引例3一批产品共100件，其中有3件次品．从这批产品中任取一件，考察取出的产品是正品还是次品，试用随机变量描述试验的结果，并写出其概率分布．7.3.2离散型随机变量及其分布随机变量X的分布列如下表所示．X01P1-pp其中0＜p＜1，则称随机变量X服从以p为参数的两点分布（又称0–1分布），记作X～(0,1)．两点分布的试验情形有很多，只要其结果只有两个，就可以用两点分布来描述．例如，掷硬币的“反面”与“正面”、电路是“通路”还是“断路”等，其结果均服从两点分布．7.3.2离散型随机变量及其分布2二项分布X～B(n,p)如果设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为，在n次试验中A发生k次的概率为显然，且．如果随机变量X的概率分布为，其中，，则称X服从参数为的二项分布，记作．因为是二项式的展开式中的一般项，所以称式（7–1）为二项分布．特别地，当时的二项分布就是0–1分布．（7–1）7.3.2离散型随机变量及其分布例1解某射手射击一次，命中靶心的概率为0.7，现该射手向靶心射击5次，试求：（1）命中靶心的概率；

（2）有3次命中靶心的概率．7.3.3连续型随机变量及其概率密度定义4连续型随机变量的密度函数具有下列性质：123对于任意实数a，有；47.3.3连续型随机变量及其概率密度1均匀分布7.3.3连续型随机变量及其概率密度2正态分布7.3.3连续型随机变量及其概率密度7.3.3连续型随机变量及其概率密度（1）标准正态分布的概率计算其几何意义是图7-4中阴影部分的面积．易知，如图7-5所示．图7-4图7-57.3.3连续型随机变量及其概率密度使用标准正态分布函数表时，有以下几种情况：7.3.3连续型随机变量及其概率密度例2解7.3.3连续型随机变量及其概率密度（2）一般正态分布的概率计算7.3.3连续型随机变量及其概率密度例3解已知某车间的工人完成某道工序的时间X服从正态分布N(10,32)，求：①从该车间的工人中任选一人，其完成该道工序的时间至少为7min的概率；②为了保证生产连续进行，要求以95%的概率保证工序上工人的工作时间不超过15min，这一要求能否得到保证？7.4随机变量的数字特征7.4.5常用分布的期望与方差7.4.4方差7.4.3数学期望的性质7.4.2连续型随机变量的数学期望7.4.1离散型随机变量的数学期望7.4.1离散型随机变量的数学期望引例1甲、乙两个学生10次数学考试的成绩情况如下表所示．分数

次数学生708090甲253乙325试问哪个学生的数学成绩好些？要比较两个学生数学成绩的好坏，不能单看某一次数学考试成绩，可以通过分别计算甲、乙两个学生10次考试的平均成绩进行比较．甲学生的平均成绩乙学生的平均成绩7.4.1离散型随机变量的数学期望定义1例如，观察下表中的两点分布．X01P1-pp不难得出两点分布的数学期望为同样可以算出，若X～B(n,p)，则二项分布的数学期望为E(x)=np.7.4.1离散型随机变量的数学期望例1解甲、乙两台机床的日生产能力相当，一天生产废品件数的概率分布如表所示，问哪一台机床的性能好些？甲机床乙机床X10123X20123P0.30.50.20P0.30.30.20.2甲机床日产废品的平均数为0.9件，少于乙机床日产废品的平均数1.3件，故甲机床的性能好些．7.4.2连续型随机变量的数学期望1均匀分布的数学期望定义22正态分布的数学期望7.4.3数学期望的性质7.4.4方差引例2由甲、乙两显像管厂生产同一种规格的显像管，其使用寿命（h）的概率分布如表7-6和7-7所示（X表示甲厂生产的显像管的使用寿命，Y表示乙厂生产的显像管的使用寿命）．表7-6X80009000100001100012000P0.10.20.40.20.1表7-7X80009000100001100012000P0.20.20.20.20.2试比较甲、乙两厂显像管的质量．结果表明，甲、乙两厂显像管的平均使用寿命相等．那么这两个厂显像管的质量是否完全相同？通过进一步分析题设数据会发现：甲厂40%的显像管的使用寿命为10000h，使用寿命在9000～11000h的占了80%，使用寿命与均值偏离较小，质量比较稳定；而乙厂仅20%的显像管使用寿命为10000h，使用寿命在9000～11000h的仅占了60%，使用寿命分布比较分散，与均值偏离较大，质量不够稳定．7.4.4方差定义3下面利用方差公式计算引例2的方差．数学期望（均值）刻画了随机变量的平均取值状况，而方差则描述了随机变量取值的分散程度．这两个量反映了随机变量的重要概率特征，称为随机变量的数字特征．7.4.4方差对于随机变量的方差，也可以用下列公式来计算：尽管方差定义本身给出了求方差的一种方法，但利用上述公式计算方差要简便一些．方差具有下列性质：7.4.5常用分布的期望与方差常用分布的期望与方差如表7-8所示．8.1

总体、样本、统计量8.1.1总体、个体和样本8.1.2统计量8.1.3几种常用统计量的分布8.1.1总体、个体和样本例1要了解某城市居民2002年的收入情况，一般不会花费很多人力物力去一一调

查，而是采取抽样调查方法，即抽查该城市一小部分居民的收入情况，如抽取1000个人，统计他们2002年的收入，由此推论该城市居民的年收入状况．例2测试某品牌电视机的开箱合格率，从一批产品中任意抽取3箱，进行开箱测试．例3某电器公司开发出一种使用新型灯丝的灯泡，为了解新型灯丝灯泡的使用寿命，可抽取200只新型灯丝灯泡，测试其使用寿命．定义定义1在数理统计中，所研究对象的全体称为总体，用随机变量X表示．定义2组成总体的每个基本单元称为个体，用表示．定义3从总体中抽取n个个体，称为总体的一个样本，样本所含个体的数目n称为样本容量，一个样本的n个观察值称为样本值．若样本

相互独立，且与总体X同分布，则称此样本为简单随机样本，简称样本．8.1.2统计量定义4定48.1.3几种常用统计量的分布u

统计量1定义5α分位点8.1.3几种常用统计量的分布t统计量2定义6双侧α

分位点8.1.3几种常用统计量的分布χ2

统计量3定义7双侧α

分位点8.2

点估计与区间估计8.2.2区间估计8.2.1点估计8.2.1点估计例1

某品牌冰淇淋店在某市有多家分店，为了解该品牌冰淇淋的销售情况，营销人员挑选一家具有代表性的分店，记录某月冰淇淋的售杯数，如表所示．日期12345678910111213141516售杯数x20252827303235303229282735362829日期171819202122232425262728293031售杯数x2528273837222528293035382927268.2.2区间估计区间估计以点估计值为中心加减一个被称为边际误差的值来建立一个包含上下限的区间，即点估计值边际误差，并指出区间的可信程度．这种方法称为区间估计．定义78.2.2区间估计1正态总体均值μ的区间估计（1）总体方差σ2已知时，μ的1-α置信区间8.2.2区间估计例2以例1为例，设总体服从正态分布，若根据以往销售数字总体标准差为3.5，利用点估计方法抽出一个样本，容量为31，计算出，取置信度为95%，该店每天销售杯数的区间估计为多少？解8.2.2区间估计（2）总体方差σ2未知时，μ的1-α置信区间例3例1中，若总体方差未知，求在置信度95%时，该店每天销售杯数估计为多少？8.2.2区间估计2正态总体方差σ2的区间估计8.2.2区间估计例4例1中，若总体方差未知，求在置信度95%时，该店每天销售杯数估计为多少？8.2.2区间估计单个正态总体参数的置信区间如下表所示（置信水平为α）．待估参数条件统计量服从分布置信区间均值

σ2已知均值

σ2未知方差

8.3假设检验8.3.2两类错误8.3.1假设检验概念8.3.3单个正态总体的假设检验8.3.1假设检验概念例1设计一条产品生产线用于包装洗涤剂．要求每瓶重量为500g．定期选取一部分样品称其重量，以便发现分量是否不足或超重．若样本数据表明分量不足或超重就得停产调整生产线．例2某种蜂胶产品制造商为了推销产品，声明该产品黄酮含量为每升4800mg．如何检测其声明的真实性？例3某超市要选购某品牌酒，要求酒瓶中平均酒精浓度不超过15度，若超过15度，禁止进货．该超市质检人员要如何检测？建立两个假设：零假设（以H0表示）与备假设（H1以表示）对例1来说：对例2来说：对例3来说：假设检验形式可分为以下3类：双侧检验：左侧检验：右侧检验：假设检验的原理是，小概率事件在一次随机试验中几乎是不可能发生的．8.3.2两类错误在检验中有两类错误可能发生，这两类错误为型1和型2错误．零假设和备假设是关于总体参数的两个对立的解释．要么H0真，要么H1真，两者不可能同时为真．理想的假设检验过程应当是H0为真时接受H0，H0为假时拒绝H0．但是得出的结论不可能总是正确的，因为假设检验是基于样本信息得到的，所以必须考虑发生误差的概率．下表为假设检验中可能发生的两类错误．

总体情况结论

H0为真H1为真接受H0结论正确型2错误拒绝H1型1错误结论正确8.3.3单个正态总体的假设检验1u检验例4解

某超市进一批某品牌味精，每包净重500g，假设每包味精重量服从正态分布．为检验其分量是否符合标准，抽查9包，重量分别为（单位为g）499，501，501.5，499.5，498，501，498.5，500，499.5，且根据以往经验知这批味精的标准差为σ=0.9，问能否接收这批味精？（α=0.05）8.3.3单个正态总体的假设检验1提出零假设H0:μ=μ0．总结以上过程，可以得到总体方差σ2已知的正态总体均值的u检验步骤如下：2选取样本统计量.3根据给定的显著性水平α查附表Ⅱ确定临界值点

．4根据样本计算u统计量并与临界值

比较．5根据

下结论：若

，拒绝H0

；若，接受H0

．8.3.3单个正态总体的假设检验例5解某妇女报报道：某地妇女每年用于购买衣物的花费为人均8020元．某研究所为检验这项报道的真实性随机调查了20名妇女，了解她们每年在这方面的花费，调查结果如下：11000，8500，7000，10200，9800，9000，7500，9500，9000，9500，5000，8800，8900，10000，9050，8020，7200，9000，13000，8040．假设根据以往经验该项花费服从正态分布，标准差为1000，请验证该报道的真实性．（α取0.01）8.3.3单个正态总体的假设检验2t检验例6解若例4中σ2未知，则所提出的问题就是一个未知方差的正态总体均值的检验问题．8.3.3单个正态总体的假设检验总体方差未知的正态总体均值的t检验步骤如下：1提出零假设H0:μ=μ0．2选取样本统计量.3根据给定的显著性水平α查附表Ⅲ确定临界值点

．4根据样本计算t统计量并与临界值

比较.5根据

下结论：若

，拒绝H0

；若，接受H0

．8.3.3单个正态总体的假设检验3χ2

检验例7解若例4中允许的标准差不能超过0.8，能否接收这批味精？8.3.3单个正态总体的假设检验正态总体方差的检验步骤如下：1提出零假设，2选取样本统计量.3根据给定的显著性水平α查附表Ⅳ确定临界值点

．4根据样本计算χ2统计量并与临界值

比较.5根据