信号与系统复旦通信科学工程系

signalsandT Tt

T

te-xn

ae

xne-

Nn=

23第四章连续时 二、周期信号的 三、连续时间 四、卷积性质五、 里叶级数在T趋于无穷大时的变化，就应该能 非周期信 变换表示的导周期为T的周

=

t<<t<T/2 =2sinw01

2T1k 级数系数为

kwT

= sinc 2sin) T1不变TT=T=T= 也随T增⼤⽽减⼩，并最终趋于0，因此考查Tak的变化，当

的包络2sin)与 w 当Tfi¥时，周期性级数系数(乘以T)将

T=T=T 考虑非周期信号x(txtxx(t)=xTfixt 级数：xt=akextxte-1系数：akT

T

其中w02p xx)fortT2，而其它情况下xt0 = T/2

e-jkw0tdt= +¥- -T/2

如果定义Tak的包络Xjw)

te- jkw

ae

+¥

X

X

jkwt¥x¥xt=

=

x(t)fi¥px(t)fi¥p2xx(t)

fi

X(jw)ejwtX(jw)ejwt xx xtx(t)‹fiX( 若-¥

dt<¥则Xjw) x(t-¥|x(t|dt<¥)⾥叶变换在x(t)的连续处收敛于信号本⾝，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附近会产⽣Gibbs现象。 常⽤信号的傅⾥叶变换 x(t)例4.1：考虑信号=e-atut)a> t

xte-jwtdt¥ ¥¥

e-ate-=-a+

a+jwt0

= a>a+ Xjw)= a2+w2aa x(t)=e-at a>

1t0X()

+¥xte-jwtdt=0

eate-jwtdt+¥e-ate- = + =a-jwa+jwa2

X(jw)

=X( X(X(jw) =d

tw=

d-jwtdt=1

X(1 0dt中包括了所有的频率成分，且所有频率分量 = t< t>

+¥xte-jwtdt=+T1e- = e-jwt+T1= w

-jwwT1p 1t

X(jw)p

-T110

t

0

2T1 jw=

x =

X(jw)ejwtdw=

W+e+==Wsinc(Wt 1t

X(jw)p -T1 (W/p

p

X(jw)1 Wfi¥x(t)将 例：求⼀个直流信号x(t)=1的傅⾥叶变换根据t‹Ffi1，考查频谱为

jwtdw==‹ )=

a2当afi0)=

=0,w„0afi

afi0a2 ¥,w= ¥ 0- ¥ 0-

¥

lim2arctg(w)

=a2

afi

a

afi

X(jw)=limX1(jw)=afi 信号的带宽(BandwidthofSignals):低频分量。另一方面，传输信号的系统都具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有效传输，而只要保证 X(下降到最大值的1 2时对应的频率范围,此时带(脉宽带宽积)。这清楚地反映了频域和时 第四章连续时 一、非周期信号的表示：连续时 变⼆、周期信号的傅⾥叶变换 四、卷积性质五、 二周期信号 变满足收敛条件的周期信号可以用级数来表示；非周期信号可以用变换来表示。若能将它们统一起 二周期信号 变x(t)则x =

2pdwe

=e xt=akejkw0t‹fiXjw=2pakdw-kw0 二周期信号 变的强度等于对应的傅⾥叶级数系数ak的2π倍。x

X(

=+¥=

a

2p-

-

=

d-= 二周期信号 变 级数系数为ak

pkw=

dw 二周期信号 变

=sinw

ejw0t-e-2a1=1，a-1=-

2 2ak= k„ 二周期信号 变类似的，对于1

ak= k„1

二周期信号 变例4.8：周期冲激串t=dt = +T/t-jkw0tdt= jw=T

-T-T 二周期信号 变 第四章连续时 一、非周期信号的表示：连续时间 二、周期信号的 三、连续时间傅⾥叶变换性质四、卷积性质五、 讨 变换的性质，目的在于 有时用Fxt代表X用F-1X代表‹jw) xt‹FfiX，yt‹FfiY+‹FfiaXjw+bYjw) 若t‹fixt-t0‹Ffie-jwt0X证明：x =

ext-t0=

0dw-¥-¥

+¥e-jwt0

t= 0X =w=jwej—t-t0= 0Xw=Xw

0j— xt=1x1t-5+x2t-5

2

/

2sinw/2)w=

-

sin

2+w/2 3.共轭与共轭对称性共轭性xt‹FfiXx*t‹FfiX*-推导：

te-jwtdt

x*t

jwt=- =用w代替wX*-jw

te-若xt为实函数，则X(具有X*-w=Xjw) 将X( 坐标表jw=w+w-=-w--ReXw=ReX-jw}Xw=-X-w

X(-若将X(-

X(jw)

X(jw)eX(X(

X(X(jw)=-X(-进一步，若x(t)¥X(jw)=x(t)e-jwtdt=¥

¥ ¥¥ ew=

由共轭对称性X(jwX*(jw)，有X(jw)X*(jw) 类似的，若x(t)X(jw)=- (-X(jw)=-X*(jw)

对于实函数x=+xeoxt‹fiXt‹fiReXt‹fiImX 例4.10e-at

a01

xt=e-at=e-atut+eatute-atut+eatut=2 02Eve-t0e-‹Ffi a+

Eve-t‹ aa+X=2Re = a+jw a2 若xt‹FfiX则 =

jwt两边对t进行微分，可得dxt)

= 2p-t)

dnxt)

fixt‹FfiXw t‹Ffi1Xjw+pXw-

tFfiGtt而ut=d)tjw=w+G0dw=w) d

dut

Ffi

+dw) a若xt‹FfiX xt‹Ffi1X a

{(}{(}

te-a令tatFxt=a

tejwtd, a>-

tewat a< a=1X a 变换，则相应于它在频域上有⼀个因⼦1/a的变换，反令a1，则有

-‹FfiX-jw) fi fi

x(t)= X(jw)ejwtdw2p-2px(-t)

X(-

-jwt2px(-w)-

X(jt)e-jwtdtfi

1+

xt=e-t‹fiX

1fiF e1+t2 fi fi0Xj(tt)]‹Ffi2px(-w)e002px(-t)e- ‹fiX[j(-w-w)]0F根 x(-t)‹fiX(- Fx(t)ejw0

fiX[j(w-w0 这就是 ¥由X(jw)¥

x(t)ejwtdt¥dwX(jw)

-jtx(t)e-jtx(tFfidX fi)fifi 利用时域微分特性fi

X(-fi -jtx(t)‹fidX(

fi)fi ‹[x(x(0)(w)]

x(-t)

X(由x(-t)‹fiX(- x(t)

+px(0)d(t)

F

X(-

7. 2x(t)‹fiX2

+¥xt2dt= Xw)dw

2xt)dt2

tx*t

=+¥xt

-jwtdw =

X*

te-

22p-2

2p- =2p-

X(jw)2表⽰了信号能量在频域的分布，因⽽ 第四章连续时 一、非周期信号的表示：连续时 变二、周期信号的 三、连续时间 四、卷积性质五、 若x(t)‹fiX( fi) ht*xt‹FfiHX

yt=x(t) xt

t-td对y(t) Yw

dt

xt

t

=+¥x

h

-¥

-

dt xt

-

w((=

tejw=

w

w由此可 h*x‹FfiHjwXjw)LTI系统的频域分析法:根据卷积特性,可以对LTI系统进行频域分析,其过程为:fi根据系统冲激响应，求出H(jw)Y(jw)=X(jw)H(jw)y(t)=F-1{Y(=dt-t0jw=jw=wXjw=jw)=t-t0=dxt)jwjwjw=t=tjw=+dw)由此可得：Yw=HwXw=1 Xw+pXww)= w+Xw例4.19