自动控制系统原理与应用PPT完整全套教学课件

目录

单元一自动控制系统的基本原理单元二控制系统的数学模型单元三自动控制系统的性能指标与时域分析单元四根轨迹分析法和频域分析法单元五线性控制系统的校正单元六典型自动控制系统单元一自动控制系统的基本原理1.1自动控制系统1.2自动控制系统的基本控制方式1.3自动控制系统的分类1.4对控制系统性能的基本要求1.5MATLAB仿真单元小结习题

(1)掌握自动控制系统的基本概念与组成结构。

(2)掌握开环控制及闭环控制的概念及优缺点。

(3)了解自动控制系统的分类及性能指标。

1.1自动控制系统

自动控制系统(AutomaticControlSystem)是在无人直接参与下可使生产过程或其他过程按期望规律或预定程序进行的控制系统。它涉及利用反馈原理对动态系统的自动影响,使得输出值接近我们想要的值。具有反馈控制原理的控制装置在古代就有了,这方面最有代表性的例子当属古代的计时器“水钟”(在中国叫作“刻漏”,也叫“漏壶”)。

随着工业自动化控制理论、计算机技术和现代通信技术的迅速发展,自动控制系统的未来发展方向具体表现在以下几个方面:

(1)智能化。随着社会和科学技术的不断进步,各种生产过程的自动化、现代军事装备以及航海、航空、航天事业的迅速发展,都对控制系统的快速性和准确性提出了愈来愈高的要求。

(2)网络化。网络化是指把大量的有关人、IT系统、自动化元件和机器的信息融入到虚拟网络实体物理系统(CPS)中,并利用产生的数据为企业服务,其本质即为“融合”。在

制造系统中,工厂现场设备传感和控制层的数据与企业信息系统融合,并传到云端进行存储、分析,形成决策并反过来指导、协同企业的生产和运营。

(3)全集成自动化。全集成自动化思想就是用一种系统或者一个自动化平台完成原来由多种系统搭配起来才能完成的所有功能。应用这种解决方案,可以大大简化系统的结构,

减少大量接口部件。应用全集成自动化可以突破上位机和工业控制器之间连续控制和逻辑控制之间、集中与分散之间的界限。

1.1.1自动控制系统举例

1.温度控制系统

为了舒适地生活,需要控制室内的温度和湿度。在工业生产中,也常常需要关于温度的控制系统。图1－1所示的电炉箱恒温自动控制系统就是一个典型的自动控制的例子。图1－1电炉箱恒温自动控制系统

2.加工控制系统

现代化的工业生产离不开自动控制系统,需要自动控制来保证产品的加工精度,提高产品生产的效率。图1－2所示的数控机床是机电一体化的典型产品,是集机床、计算机、

电动机及拖动控制、检测等技术为一体的自动化设备。数控机床中需要刀具按照要求运动,而且要控制刀具每一点的位置和速度,加工出由任意形状的曲线或曲面组成的复杂零件。

同样,带有机械手的点焊生产线(大批量铆焊加工生产线)也需要相似的精密定位及时间控制,如图1－3所示。图1－2数控机床图1－3焊接机器手

其中,最具代表性的自控系统之一就是进给控制系统,如图1－4所示。在这个系统中,一方面通过位置指令装置将希望的位移量转化为具有一定精度的电信号,利用位置检测装置实时监测被控工作台的实际位移,将其转换为电信号后与位置指令进行比较得到偏差信号。然后利用放大后的偏差信号控制伺服电动机向消除偏差的方向旋转,直到达到一定精度为止。另一方面,这个系统也实现了对速度的控制。伺服系统经常需要频繁地启动和制动,会有位置超调(位置过冲)现象。为了消除这种现象,并使得伺服电机稳定运行时保持速度恒定,通常会实时监测机床进给速度,实现速度的自动调整。图1－4数控机床进给伺服系统

3.雷达跟踪系统

雷达跟踪系统(雷达天线伺服控制系统)是自动控制系统在国防科技领域的一个典型应用。图1－5所示是一个电位器式位置随动系统,用来实现雷达天线的角度控制。

两个电位器RP1和RP2的转轴位置一样时,给定角θ*m

与反馈角θm相等,所以角差Δθm=θ*m-θm=0,电位器输出电压U*=U,电压放大器的输出电压Uct=0,可逆功率放大

器的输出电压Ud=0,电动机的转速n=0,系统处于静止状态。

当转动手轮,使给定角θ*m

增大时,Δθm>0,则U*>U,Uct>0,Ud>0,电动机转速

n>0,经减速器带动雷达天线转动,雷达天线通过机械机构带动电位器RP2的转轴转动,使θm也增大。只要θm<θ*m,电动机就带动雷达天线朝着缩小偏差的方向运动。只有当θ*m=θm,偏差角Δθm=0,Uct=0,Ud=0时,系统才会停止运动而处在新的稳定状态。如果给定角θ*m减小,则系统运动方向将和上述情况相反。图1－5雷达天线伺服控制系统

1.1.2自动控制系统的组成

1.自动控制系统的组成

除了1.1.1节介绍的自动控制系统之外,还有各式各样的自动控制系统。尽管自动控制系统的组成各不相同,系统功能也各式各样,但它们都可以分为两大组成部分:控制装置和

被控对象。其中,控制装置又可以根据功能不同细分为给定装置、检测装置、比较装置、放大装置、执行装置和校正装置。

一个自动控制系统一般包含以下基本元件:

(1)被控对象:即系统所要操纵的对象,一般指工作机构或者生产设备。

(2)给定装置:其功能是设定被控量的控制目标,常见的给定装置有电位器等。

(3)检测装置:主要由各类传感器构成,主要功能为检测被控制量。由于检测元件的精度直接影响控制系统的精度,所以应尽可能采用精度高的检测元件和合理的检测线路。检

测结果通常会配合变送装置,将检测信号转换为便于处理的电信号。

(4)比较装置:将检测得到的反馈信号和控制量进行比较,产生偏差信号,用于控制执行装置。

(5)放大装置:偏差信号一般都比较微弱,需要进行变换放大,使它具有足够的幅值和功率,因此系统还必须具有放大装置。

(6)执行装置:该装置根据要求对控制对象执行控制任务,使被控量按控制要求的变化规律动作。

(7)校正装置:实践证明,仅由上述基本元件简单组合起来的控制系统往往是不能完成任务的。为了改善系统的控制性能,还需要在系统中加进校正装置。

分析自动控制系统的组成,是了解一个控制系统大致的工作原理,并对它进行分析与调试的第一步。主要分析过程可以归结为回答3个问题:

问题1:控制的目的是什么?(用于找到被控对象)

问题2:控制装置是什么?(用于找到执行装置)

问题3:被控制量与控制量之间是否存在关联?(用于找到比较装置、检测装置等)

例1－1试分析图1－1中电炉箱恒温自动控制系统的组成。

解(1)控制目的:保持电炉温度稳定。

控制对象:电炉箱。

被控量:电炉箱的温度。

(2)控制装置:加热电阻丝的装置。

执行装置:调压变压器、减速器、直流伺服电动机。

放大装置:电压放大器、功率放大器。

给定装置:给定电位器。

(3)被控制量与控制量之间是否存在关联:存在。

检测装置:热电偶。

注:给定电压信号与热电偶输出的温度变化电压信号的比较通过电压放大器实现,不需另外增加比较装置。

例1－2试分析图1－5中雷达天线控制系统的组成。

解(1)控制目的:雷达天线的角度与设定一致。

被控对象:工作机械(雷达天线)。

被控量:角位置θm。

给定值:指令转角θ*m。

给定装置:手轮。

(2)执行装置:直流电动机及减速箱。

放大装置:放大器,用于比例控制。

(3)被控制量与控制量之间是否存在关联:存在。

测量装置:由电位器测量θm、θ*m,并转化为U、U*。

比较装置:两电位器按电桥连接,完成减法运算U*-U=e(偏差)。

2.控制系统组成框图

图1－6表示了自动控制系统的典型组成框图,包括信号流与环节(或元件)两大要素。信号流指一个系统中所有互相作用的信号的组合。环节或元件指自动控制系统各类控制装

置与被控对象的理想模型。图中,信号流用带箭头的有向线段表示,传输方向为箭头方向,“+”表示信号相叠加,“-”号表示信号相减;系统的环节或元件都用方框表示。图1－6自动控制系统的典型组成框图

信号流一般包括以下6个量:

(1)输入量(InputVariable):又称给定量或参考量。

(2)输出量(OutputVariable):指任何被控对象的实际输出值,表征自动控制系统工作时的实际情况。

(3)反馈量(FeedbackVariable):指由系统输出端取出并反向送回系统输入端的信号。

(4)偏差量(DeviationVariable):偏差量是指被测变量的设定值与实际值之差,但是在实际生产过程中能够直接获取的是被控变量的测量值信号,而不是实际值,因此通常把给定值与测量值之差称为偏差量。

(5)扰动量(DisturbanceVariable):作用于对象,并能引起被控变量偏离期望值的因素称为干扰(扰动)。

(6)中间变量(MiddleVariable):指系统各环节之间的作用量。它是前一环节的输出量,也是后一环节的输入量。

例1－3图1－7所示为水位自动控制系统,工作原理如下:由浮子测出实际水位,通过连杆和电位器与要求的水位比较,得出偏差后再由调节元件根据偏差的大小和正负产生控制信号,最后由执行元件根据信号产生控制作用。浮子低则电位器上得到正电压,经放大后使电机向进水阀门开大的方向旋转;反之,当浮子高时,电位器上得到负电压,电机向阀门关小的方向旋转;若水位正好,则电位器上电压为零,电机不转,阀门不动。试分析水位控制系统的组成,画出系统框图。图1－7水位自动控制系统

解通过题中介绍的水位控制系统的工作原理可知系统控制对象是水箱,输出量(被控量)是水箱水位的高度,检测装置是由浮球、杠杆和电位器RPB构成的。给定元件是电位

器RPA,执行元件是电动机、变速箱与控制阀V1。UB是反馈量,与UA比较构成偏差量,输入控制器。给水量Q1是中间变量,用水量Q2是干扰量。这样就得到系统的框图,如图1－8所示。图1－8水位控制系统框图

1.2自动控制系统的基本控制方式

1.2.1开环控制开环控制是一种最简单的控制方式,基本结构如图1－9所示,控制器与被控对象之间只有正向控制作用而没有反馈控制作用,即控制系统的输出信号(被控变量)不反馈到输入端,输出量不影响系统的控制作用,控制作用的传递路径不是完全闭合的。开环控制系统也称为前馈控制系统。图19开环控制系统的基本结构

1.2.2闭环控制

闭环控制是指系统的输出(被控变量)通过反馈环节,又返回到系统的输入端,与给定信号相比较后以偏差的形式进入控制器,对系统起控制作用的控制系统。如图1－10所示,整个系统构成了一个封闭的反馈回路。该系统也称为反馈控制系统(FeedbackControlSystem)。外界干扰和系统自身结构参数变化引起被控变量与给定值的偏差。闭环控制系统利用偏差来纠正偏差,达到较高的控制精度。图1－10闭环控制系统的基本结构

开环控制与闭环控制的比较如表1－1所示。

例1－4图1－11为两种典型的调速系统,试判断两系统是属于开环控制还是属于闭环控制,并说明它们的优缺点。

解图(a)为一开环速度控制系统,它根据控制信号的大小和方向来控制负载转速的大小和方向。原理很简单,控制信号通过放大器放大,输出相应电流给伺服阀;伺服阀则供

给一定流量的压力油给液压马达,带动负载以一定的转速运动。

图(b)所示控制系统引入了反馈回路,即用测速发电机检测被控制量(转速),然后反馈到输入端则构成闭环控制系统。图1－11两种调速系统原理图

1.2.3复合控制

复合控制既能提高系统的控制精度,又能保证系统的稳定性。如图1－12所示,复合控制系统是指在系统的反馈控制回路中加入前馈通路,组成一个前馈控制与反馈相结合的

系统。图1－12复合控制基本框图

1.3自动控制系统的分类

1.3.1按输入量的变化规律分类1.定值控制系统定值控制系统又称恒值控制系统,这类控制系统的输入量是恒定的,并且要求系统的输出量相应地保持恒定。该系统的基本任务是克服扰动对被控变量的影响,即在扰动作用下仍能使被控变量保持在设定值(给定值)或在允许范围内。

2.随动控制系统

随动控制系统又称伺服控制系统,是一种被控变量的输入量随时间任意变化,并且要求系统的输出量能跟随输入量的变化而变化的控制系统。它的主要作用是克服一切扰动,

使被控变量随时跟踪给定值,常常着重于跟随的准确性和跟随的快速性。

3.过程控制系统

生产过程通常是指把原料放在一定的外界条件下,经过物理或化学变化而制成产品的过程。在这些过程中,往往要求自动提供一定的外界条件,例如温度、压力、流量、液位、

黏度、浓度等参量在一定的时间内保持恒值或按一定的程序变化。

例如图1－13所示的蒸汽发电机系统就是过程控制系统。在化工、轻工、食品等生产过程中对温度、流量、压力、湿度等进行控制的系统也是过程控制系统。图1－13发电机的协调控制系统

1.3.2按时间变量分类

1.连续控制系统

连续控制系统的特点是各元件的输入量与输出量都是连续量或模拟量。连续系统的性能一般是用微分方程来描述的。图1－1所示的电炉温度控制系统及图1－7的水位控制系

统都属于连续控制系统。

2.离散控制系统

离散控制系统又称采样数据系统(SampledDateControlSystem),它的特点是系统中

有的信号是非连续的,例如脉冲序列或采样数据量或数字量。

通常,数字控制系统和计算机控制系统都是离散控制系统。图1－14所示的是一个用计算机来进行控制的双闭环直流调速系统,其模拟反馈信号由A/D转换器变成数字信号进

入计算机,由计算机完成速度及电流的控制信号的计算,并通过驱动接口(D/A)将结果转换成模拟信号来改变电动机两端的电压大小,以恒定电动机转速。图1－14计算机控制的调速系统

1.3.3其他分类

1.定常系统与时变系统

自动控制系统按照参数与时间的关系,可以分为定常系统与时变系统两种。

定常系统的特点是系统的全部参数不随时间变化,它用定常微分方程来描述。

时变系统的特点是系统中有的参数是时间t的函数,它随时间变化而改变,如宇宙飞船控制系统。

2.线性控制系统与非线性控制系统

自动控制系统按照输出量与输入量间的关系,可以分为线性控制系统与非线性控制系统。

线性控制系统的特点是系统全部由线性元件组成,输出量与输入量间的关系用线性微分方程来描述。线性系统最重要的特性是可以应用叠加原理,即几个扰动或控制量同时作

用于系统时,其总的输出等于每个量单独作用时的输出之和。

非线性控制系统的特点是系统中存在有非线性元件(如具有死区、出现饱和、含有库仑摩擦等非线性特性的元件),要用非线性微分方程来描述。非线性系统不能应用叠加原理,

往往要采用非线性方程来描述。叠加原理对非线性系统无效。

1.4对控制系统性能的基本要求

1.稳定性对于任何自动控制系统而言,首要的条件便是系统能稳定正常运行。系统的稳定性通常定义如下:若它的输入量或扰动量的变化是有界的,输出量也是有界(收敛)的,则这样的自动控制系统就是稳定的;若它的输入量或扰动量的变化是有界的,而它的输出量是无界(发散)的,则这样的自动控制系统就是不稳定的。

如图1－13(a)所示,当扰动作用(或给定值发生变化)时,系统能回到(或接近)原来的稳定值(或跟随给定值)稳定下来,这样的系统就是稳定的。反之,如图1－13(b)所示的系统就是不稳定的。

自动控制系统的稳定性通常包括如下两个方面的含义:

(1)自动控制系统的绝对稳定:在任何有界的外部作用下,系统的输出量都必须是收敛的。

(2)自动控制系统的相对稳定:当自动控制系统是绝对稳定时,其调节过程所反映出来的调整性能(与系统的动态特性有关)。图1－15扰动作用下,系统输出量的变化情况

2.快速性

控制系统从一个稳态过渡到新的稳态都需要经历一段时间,亦即需要经历一个过渡过程。要很好完成控制任务,系统仅仅满足稳定性要求是不够的,须对过渡过程的形式和快慢提出要求。例如导弹制导系统,虽然炮身最终能跟踪目标,但如果目标变动迅速,而炮身行动迟缓,则仍然抓不住目标。通常采用动态指标表示控制系统的快速性。

3.准确性

控制系统的准确性是指系统输出量跟随给定量(输入量)的精度,用稳态误差来表示。稳态误差是指当系统达到稳态后,其稳态输出与参考输入所要求的期望输出之差,如图1－16所示。显然,这种误差越小,系统的输出跟随参考输入的精度越高。图1－16自动控制系统的稳态误差

1.5MATLAB仿真

MATLAB是Mathworks公司开发的一种集数值计算、符号计算和图形可视化三大基本功能于一体的功能强大、操作简单的优秀工程计算应用软件。MATLAB主要包括MATLAB和Simulink两大部分,MATLAB不仅可以处理代数问题和数值分析问题,而且还具有强大的图形处理及仿真模拟等功能;既可以在主窗口输入命令语句完成操作,也可以建立Simulink文件,按照实际系统选取库中模块搭建模型,完成仿真工作,从而能够很好地帮助工程师及科研人员解决实际的技术问题。

从实用的角度来看,MATLAB的工作窗口包括命令窗口、M文件编辑窗口、图形编辑窗口、数学函数库、应用程序接口及在线窗口等,如图1－17所示。下面首先介绍MATLAB的命令窗口、M文件编辑窗口和simulink的使用。图1－17MATLAB界面

1.命令窗口

启动MATLAB之后,屏幕上自动出现命令窗口MATLAB,它是MATLAB提供给用户的操作界面,用户可以在命令窗口内提示符“≫”之后(有的MATLAB版本命令窗口没有提示符)键入MATLAB命令,再接回车键即获得该命令的答案。

命令窗口内有File、Edit、View、Web、Window、Help等菜单条。

2.M文件编辑窗口

M文件是MATLAB语言所特有的文件。用户可以在M文件编辑窗口内编写一段程序,然后调试、运行并存盘,所保存的用户程序即是用户自己的M文件。MATLAB工具箱

中大量的应用程序也是以M文件的形式出现的,这些M文件可以打开阅读,甚至修改,但应注意,不可改动工具箱中的M文件。

1)进入M文件

进入M文件窗口有两种方法:

(1)命令窗口→主页→新建→M-File;

(2)命令窗口→主页→新建脚本。

2)M文件的执行

返回命令窗口,在当前目录(CurrentDirectory)内选择所要运行的M文件的目录,在命令窗口提示符“≫”后,直接键入文件名(不加后缀)即可运行。

3.Simulink的使用

Simulink是一个用来对动态系统进行建模、仿真和分析的软件包。利用Simulink功能模块可以快速建立控制系统的模型,并进行仿真和调试,方法如下:

(1)运行MATLAB软件,在命令窗口栏“≫”提示符下键入Simulink命令,按Enter键或在工具栏单击Simulink按钮,即可进入如图1－18所示的Simulink仿真环境下。图1－18Simulink仿真环境

(2)选择File菜单下New子菜单下的Model命令,新建一个Simulink仿真环境常规模板。

(3)在Simulink仿真环境下,创建所需要的系统。

以图1－19所示的系统为例,说明其基本设计步骤:

(1)进入线性系统模块库,构建传递函数。点击Simulink下的“Continuous”,再将右边窗口中“TransferFen”的图标用左键拖至新建的“untitled”窗口。

(2)改变模块参数。在Simulink仿真环境“untitled”窗口中双击该图标,即可改变传递函数。其中方括号内的数字分别为传递函数的分子、分母各次幂由高到低的系数,数字之间用空格隔开;设置完成后,点击OK按钮,即完成该模块的设置。

(3)建立其他传递函数模块。按照上述方法,在不同的Simulink的模块库中建立系统所需的传递函数模块。例如比例环节用“Math”右边窗口的“Gain”图标。

(4)选取阶跃信号输入函数。用鼠标点击Simulink下的“Source”,将右边窗口中的“Step”图标用左键拖至新建的“untitled”窗口,形成一个阶跃函数输入模块。

(5)选择输出方式。用鼠标点击Simulink下的“Sinks”,就进入输出方式模块库,通常选用“Scope”的示波器图标,将其用左键拖至新建的“untitled”窗口。

(6)选择反馈形式。为了形成闭环反馈系统,需选择“Math”模块库右边窗口的“Sum”图标,并用鼠标双击,将其设置为需要的反馈形式(改变正负号)。

(7)连接各元件,用鼠标画线,构成闭环传递函数。

(8)运行并观察响应曲线。用鼠标单击工具栏中的“▶”按钮,便能自动运行仿真环境下的系统框图模型。运行完之后用鼠标双击“Scope”元件,即可看到响应曲线。图1－19系统框图

单元小结

(1)自动控制系统是指由机械、电气等设备所组成的,能按照人们所设定的控制方案,模拟人完成某项工作任务,并达到预定目标的系统。(2)自动控制系统从控制方案上来说,可分为开环控制与闭环控制。

(3)尽管组成自动控制系统的物理装置各有不同,但就其控制作用来看,不外乎几种基本元件或环节。

(4)自动控制系统可以从不同的角度进行分类。

习题

1.简述什么是自动控制。2.组成自动控制系统的主要元件有哪些?它们各起什么作用?3.试述开环控制系统与闭环控制系统的区别及其优缺点。4.恒值控制系统和随动系统各自的主要特点是什么?5.图120所示为仓库大门自动控制系统。试说明自动控制大门开启和关闭的工作原理。如果大门不能全开或全关,则怎样进行调整?画出系统的框图。图1－20习题5单元二控制系统的数学模型2.1系统的微分方程2.2传递函数2.3自动控制系统的系统方框图2.4动态结构图的等效变换及化简2.5信号流图2.6梅逊公式2.7控制系统的传递函数2.8控制系统数学模型的MATLAB描述单元小结习题

(1)会通过微分方程和传递函数来建立自动控制系统的数学模型。

(2)理解传递函数的定义和性质。

(3)能建立和变换系统方框图。

(4)会利用梅森公式求解传递函数。

(5)能用MATLAB化简结构图。

2.1系统的微分方程

2.1.1建立微分方程的步骤描述系统输入量和输出量之间关系的最直接的数学方法是列写系统的微分方程(DifferentialEquationofSystems)。当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时,其微分方程可以确切地描述系统的运动过程。微分方程式系统最基本的数学模型。

建立微分方程的一般步骤是:

(1)充分了解系统的工作原理、结构组成和支持系统运动的物理规律,找出个物理量之间所遵循的物理规律,确定系统的输入量和输出量。

(2)一般从系统的输入端开始,根据各元件或环节所遵循的基本物理规律,列出相应的微分方程。

(3)消除中间变量,将与输入量相关的项写在方程式等号的右边,与输出量有关的项写在等号的左边。

2.1.2建立系统微分方程举例

1.RC电路

RC电路如图2－1所示。图2－1RC无源网络

1)确定输入、输出量

输入量为电压ur,输出量为电压uc。

2)根据基尔霍夫定律,列写方程

3)消除中间变量,使公式标准化

联立以上各式,将输出量有关的各项放在方程式等号的左边,与输入量有关的各项放在等号的右边,整理得到

2.有源电路

有源电路网络如图2－2所示,根据电路图列写微分方程。图2－2有源电路网络

系统中,输入量为电压ur,输出量为电压uc。理想运算放大器有两个特点:“虚短”和“虚断”,因此A点的电位为uA=0。

因为一般输入阻抗很高,所以

根据该等式,可得

所以

2.2传递函数

2.2.1传递函数的定义对线性定常微分方程进行拉氏变换,可以得到系统在复数域的数学模型,称其为传递函数。设系统的结构如图2－3所示,r(t)为系统的输入,R(s)为输入量的拉氏变换;c(t)为系统的输出,C(s)为输出量的拉氏变换。图2－3系统的结构图

传递函数的定义为:在初始条件为零时,输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比,即

2.2.2传递函数的性质

传递函数的性质如下:

(1)传递函数是由微分方程变换得来的,它和微分方程之间存在着对应的关系。对于一个确定的系统(输入量与输出量都已确定),它的微分方程是唯一的,所以其传递函数也是唯一的。

(2)传递函数是复变量s(s=δ+jω)的有理分式,s是复数,而分式中的各项系数an,an-1,…,a1,a0及bn,bn-1,…,b1,b0都是实数,它们由组成系统的元件结构和参数决定,而与输入量、扰动量等外部因素无关。因此传递函数代表了系统的固有特性,是一种用象函数来描述系统的数学模型,称为系统的复数域模型。

(3)传递函数是一种运算函数,由

(4)传递函数的分母是它所对应系统微分方程的特征方程的多项式,即传递函数的分母是特征方程ansn+an-1s

n-1+…+a1s+a0=0等号左边的部分。分析表明:特征方程的根反映了系统动态过程的性质,所以由传递函数可以研究系统的动态特性。特征方程的阶次n即为系统的阶次。

2.2.3传递函数的求取

1.直接计算法

对于系统或元件,首先建立描述元件或系统的微分方程式,然后在零初始条件下,对方程式进行拉氏变换,即可按传递函数的定义求出系统的传递函数。

2.阻抗法

求取无源网络或电子调节器的传递函数,采用阻抗法较方便。在电路中,电阻、电感、电容元件的复域模型电路如表2－1所示。

3.利用动态结构图求取传递函数

对于比较复杂的系统,以上两种方法一般无法解决,可以利用动态结构图求取。该方法将在后面的内容中讨论。

2.3自动控制系统的系统方框图

2.3.1系统框图的组成要素方框图(BlockDiagram)又称结构图,它建立在传递函数图形化表示方式上,可以形象地描述自动控制系统中各单元之间和各作用量之间的相互联系。

方框图由信号线、引出点、比较点和功能框等部分组成,其图形如图2－4所示。方框图同时也遵循前向通道的信号从左向右、反馈通道的信号从右向左的基本绘制原则。图2－4系统框图的图形

1.信号线

信号线(SignalLine)表示流通的途径和方向,用带箭头的直线表示。一般在线上标明该信号的拉式变换式,如图2－4(a)所示。

2.比较点

比较点(ComparingPoint)又称为综合点,其输出量为各输入量的代数和,“+”表示相加,“-”表示相减。通常“+”可以省略不写,如图2－4(b)所示。

3.引出点

引出点(PickoffPoint)又称为分离点,如图2－4(c)所示,它表示信号线由该点取出。从同一信号线上取出的信号,其大小和性质完全相同。

4.功能框

功能框(BlockDiagram)表示系统或元件,如图2－4(d)所示。框左边向内箭头为输入量(拉式变换式),框右边向外箭头为输出量(拉式变换式)。框图为系统中一个相对独立的

单元的传递函数G(s),它们之间的关系为C(s)=G(s)R(s)。

2.3.2典型环节的传递函数

任何一个复杂的系统,都是由若干元件或部件有机组合而成的。从形式和结构上看,有各种不同的部件;从动态性能或数学模型来看,又可分成不同的基本环节,也就是典型环节。掌握这些典型环节的特性,可以更方便地分析较复杂系统内部各单元的联系。典型环节有比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、时滞环节、振荡环节等,现介绍如下:

1.比例环节

比例环节的传递函数为

式中,K为一常量。

可用方框图来表示一个比例环节,如图2－5所示。比例环节的特点是其输出不失真,不延迟,可成比例地复现输入信号的变化。无弹性变形的杠杆、电位器、不计饱和的电子放

大器、测速发电机等都可认为是比例环节。图2－5比例环节

2.惯性环节

惯性环节的传递函数为

式中,T为惯性环节的时间常数。

可用方框图来表示一个惯性环节,如图2－6所示。惯性环节的特点是其输出量不能瞬时完成与输入量完全一致的变化。RC电路、RL电路、直流电动机电枢回路都可认为是惯性环节。图2－6惯性环节

3.积分环节

积分环节的传递函数为

式中,T为积分时间常数。

可用方框图来表示一个积分环节,如图2－7所示。积分环节的特点是输出量与输入量对时间的积分成正比。若输入突变,输出值要等时间T之后才等于输入值,故有滞后作用。

输出积累一段时间后,即便使输入为零,输出也将保持原值不变,有记忆功能。图2－7积分环节

4.微分环节

微分环节的传递函数为

式中,T为微分时间常数。

可用方框图来表示一个微分环节,如图2－8所示。微分环节的特点是输出量与输入量对时间的微分成正比,由微分环节的输出来反映输入信号的变化趋势,加快系统控制作用

的实现。常用微分环节来改善系统的动态性能。图2－8微分环节

5.时滞环节

时滞环节的传递函数为

式中,τ为延时时间。

可用方框图来表示一个时滞环节,如图2－9所示。时滞环节的特点是输出波形和输入波形相同,但是延迟了时间τ。时滞环节的存在对系统的稳定性不利。图2－9时滞环节

6.振荡环节

振荡环节也称二阶环节。振荡环节的传递函数为

式中,T为时间常数;ζ为阻尼比。

可用方框图来表示一个振荡环节,如图2－10所示。振荡环节的特点是若输入为阶跃信号,则其动态响应具有衰减振荡的形式。图2－10振荡环节

2.4动态结构图的等效变换及化简

2.4.1串联连接方框与方框首尾相连,前一个方框的输出作为后一个方框的输入,则该结构形式称为串联连接。传递函数分别为G1

(s)和G2(s)的两个方框,若G1(s)的输出量作为G2(s)输入量,则G1

(s)和G2(s)串联,如图2－11所示。

可以得出

则

式中,G(s)=G1(s)G2(s),是串联方框的等效传递函数,可用图2－11(b)所示。

两个传递函数串联的等效传递函数,等于该两个传递函数的乘积。这个结果可推广到n个串联连接的方框。图2－11串联连接的框图运算

2.4.2并联连接

两个或两个以上方框有相同的输入量,以各方框输出的代数和作为总输出,则这种结构称为并联连接,如图2－12所示。图2－12并联连接的框图运算

由图2－12(a)可以得出

则

式中,G(s)=G1(s)±G2(s),是并联方框的等效传递函数,可用图2－12(b)所示。

两个传递函数并联的等效传递函数,等于该两个传递函数的乘积代数和。这个结果可推广到n个并联连接的方框。

例2－2传递函数的连接如图2－13所示,求输出量C(

s)与输入量R(s)之间的关系。图2－13例题2－2

解如图2－13所示,由于每个环节的输入与输出量之间的关系是

2.4.3反馈连接

若传递函数G(s)与H(s)以如图2－14(a)所示的形式连接,则称为反馈连接,其中“+”为正反馈,“-”为负反馈。负反馈连接是控制系统的基本结构形式。图2－14反馈连接的等效变换

由图2－14(a)可得

则

该反馈系统的等效框图如图2－14(b)所示。

例2－3传递函数的连接如图2－15所示,求输出量C(

s)与输入量R(s)之间的关系。图2－15例题2－3

解由图2－15可得

则

当反馈环节H(s)=1时,常称为单位反馈。

2.4.4综合点与引出点的移动

在部分电路中,反馈回路都不是相互独立的,而是通过综合点或引出点相互交叉在一起,所以需要进行化简。在保持总的传递函数不变的情况下,设法将综合点或引出点的位置进行移动,消除回路中的交叉联系后再作进一步变换。移动分为四种情况:

1.相邻综合点之间的移动

图2－16为相邻两个综合点前后移动的变换。由于总的输出C(s)是R(s)、X(s)、Y(s)3个信号的代数和,因此更换综合点的位置,不会影响总的输出输入关系。

移动前:C(s)=R(s)±X(s)±Y(s),如图2－16(a)所示;

移动后:C(s)=R(s)±Y(s)±X(s),如图2－16(b)所示。

经比较后可得出,多个相邻综合点之间可以任意调换位置。图2－16相邻综合点之间的位置变换

2.综合点相对方框的移动

图2－17为综合点前移的变换。若将图2－17中的综合点前移到方框的输入端,并且要保持信号之间的关系不变,那么必须在被移动的通路上串上G(s)倒数的方框。

移动前:C(s)=G(s)R(s)±X(s),如图217(a)所示;

移动后:C(s)=G(s)[R(s)±G(s)-1X(s)]=G(s)R(s)±X(s),如图217(b)所示。

经比较后可得出,两者是完全等效的。图2－17综合点前移的等效变换

同理,综合点后移的变换如图2－18所示。图2－18综合点后移的等效变换

3.相邻引出点之间的移动

图2－19为相邻两个引出点前后移动的变换。若干个引出点相邻,是同一个信号送到不同的地方。所以,引出点之间相互交换位置,完全不会改变引出信号的性质。图2－19相邻引出点的移动变换

4.引出点相对方框的移动

图2－20为引出点后移的变换。若将图2－19中的引出点后移到方框的输出端,并且要保持信号之间的关系不变,那么必须在被移动的通路上串上G(s)倒数的方框。

移动后:如图2－21(b)所示。

同理,引出点前移的等效变换如图2－21所示。图2－20引出点后移的等效变换图2－21引出点前移的等效变换

例2－4用结构图的等效变换,求图2－22所示系统中的传递函数。图2－22例2－4结构图

解图2－23所示系统是一个有相互交叉的回路,所以先要用引出点或综合点的移动来消除相互交叉的回路,然后应用串并联和反馈连接等变换规则求取其等效传递函数。化

简步骤如图2－23~图2－27所示。图2－23例2－4结构图变换步骤一图2－24例2－4结构图变换步骤二图2－25例2－4结构图变换步骤三图2－26例2－4结构图变换步骤四图2－27例2－4结构图变换步骤五

2.5信号流图

信号流图与结构图一样,都是控制系统中信号传递关系的表示方法。信号流图起源于梅逊的图解法,信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络,用来描述一个或一组线性代数方程式。信号流图与结构图相比,容易绘制和运用。典型的信号流图如图2－28(b)所示,与图2－28(a)结构图相对应。图2－28多回路系统的结构图与信号流图

2.5.1关于信号流图的一些概念

1.节点

节点代表方程式中的变量,用小圆圈表示,如图2－28(b)中的R、x1等。

2.支路

支路是用来连接两个节点的定性线段。支路增益可用来表示方程式中两个变量的因果,因此支路相当于乘法器,标记在相应的支路线段旁。

3.输入节点

在输入节点上,只有信息输出的支路,而没有信号输入的支路。如图2－28(b)中的R,一般表示系统的输入信号。

4.输出节点

在输出节点上,只有信息输入的支路,而没有信号输出的支路。如图中C,一般表示系统的输出信号。

5.混合节点

既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点,如图228(b)中的x1、x2等。在混合节点上,如果有多个输入支路,则它们相加后成为混合节点信号的值,从该混合节点输

出的支路都取该值。

6.前向通路

前向通路是指从输入节点开始到输出节点传递时,每个节点只通过一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积,称为前向通路增益。如图2－28(b)中R→x1→x2→x3→x4→x5→C的前向通路,其前向通路增益为G1G2G3。

7.回路

如果通路的起点和中点在同一节点上,并且与任何其他节点相交不多于一次,则该通路称为回路。回路中各支路增益的乘积称为回路增益。如图2－28(b)中x1→x2→x3→x1的回路中,相应的回路增益为-G1G2H1。

8.不接触回路

在信号流图多个回路中,各回路之间没有公共节点,这种回路称为不接触回路。在图2－28(b)中,x1→x2→x3→x1和x4→x5→x4两个回路称为不接触回路。

2.5.2信号流图的绘制

变换过程中注意以下两点:

(1)变换过程中要注意对综合点的处理。结构图的节点表示的是所有输入到该节点的信号相加。在结构图中,综合点的“-”转化成信号流图支路上的负增益,如图2－29所示。

(2)在信号流图中,若比较点之前没有引出点,但是比较点之后有引出点时,只需要在比较点后设置一个节点;若比较点之前有引出点时,需要在引出点和比较点各设置一个节点,分别标志两个变量,它们之间的支路增益为1。图2－29结构图综合点的处理

例2－5试将如图2－30所示系统的结构图转化为信号流图。图2－30例2－5系统的结构图

解首先,将结构图上的综合点和引出点在信号流图上用小圆圈标注(即节点);其次,在信号流图上用有向线段连接相邻节点(称为支点),并在支路旁标注上相应的传递函数(注

意正负号);最后简化图形,去掉不必要的节点。如图2－31中,x1和x2两个节点可以合并。图2－31例2－5系统的信号流图

2.6梅逊公式

信号流图与结构图情况类似,可经过等效变换求出传递函数。但应用梅逊公式,不经任何结构变换,就能直接得到系统的传递函数。

例2－6求出图2－32中信号流图的传递函数。图2－32例2－6系统的信号流图

解图中共有三个回路,各回路的传递函数分别为

所以

系统的所有回路都相互接触,故特征式为

图中共有前向通路一条,各前向通路的传递函数为

该条前向通路与所有回路都有接触,所以余子式为

所以,由梅逊公式得到系统的传递函数为

2.7控制系统的传递函数

闭环控制系统的典型动态结构图如图2－33所示。图中R(s)为输入量,C(s)为输出量,N(s)为扰动量。系统的输入量包括给定信号和扰动信号。图2－33闭环控制系统的典型动态结构图

1.闭环系统的开环传递函数

定义闭环系统的开环传递函数为

2.系统的闭环传递函数

(1)在输入量R(s)作用下的闭环传递函数和系统的输出。

若仅考虑输入量R(s)的作用,暂时不考虑扰动量N(s),则图2－33可简化如图2－34统原理与应用图2－34R(s)作用下系统的动态结构图

从而,得到输出量对输入量的闭环传递函数GR(

s)为

此时系统的输出量为

(2)在扰动量N(s)作用下的闭环传递函数和系统的输出。

若仅考虑扰动量N(s)的作用,暂时不考虑输入量R(s),则图2－34可简化如图2－35所示的形式。图2－35N(s)作用下系统的动态结构图

从而,得到输出量对输入量的闭环传递函数GN(s)为

此时系统的输出量为

(3)在输入量R(s)和扰动量N(s)同时作用下系统的总输出。

由于设定此系统为线性系统,因此可以使用叠加定理,即当输入量和扰动量同时作用时,系统的输出可看成两个作用量分别作用的叠加,有

3.系统的误差传递函数

在系统分析时,除了要了解输出量的变化规律之外,还经常需要考虑控制过程中误差的变化规律。

定义系统的偏差为

则可定义偏差传递函数如图2－36所示。图2－36偏差传递函数

(1)在输入量R(s)作用下的偏差传递函数。

若仅考虑输入量R(s)的作用,暂时不考虑扰动量N(s),则图2－36可简化如图2－37所示的形式。

从而,得到输出量对输入量的闭环传递函数GER(s)为图2－37R(s)作用下系统的偏差传递函数框图

(2)在扰动量N(s)作用下的偏差传递函数。

若仅考虑扰动量N(s)的作用,暂时不考虑输入量R(s),则图2－36可简化如图2－38所示的形式。

从而,得到输出量对输入量的闭环传递函数GEN(s)为图2－38N(s)作用下系统的偏差传递函数框图

(3)在输入量R(s)和扰动量N(s)同时作用下系统的偏差。

由于设定此系统为线性系统,因此可以使用叠加定理,即当输入量和扰动量同时作用时,系统的偏差可看成两个作用量分别作用的叠加,有

2.8控制系统数学模型的MATLAB描述

2.8.1传递函数的多项式之比形式单输入、单输出线性系统的传递函数为是由分子与分母多项式之比的形式表示的。

2.8.2应用MATLAB函数化简结构图

应用MATLAB进行结构图化简,可以归为处理串联、并联和反馈三种基本情况。

设G1(s)O和G2(s)O分别进行以串联、并联、反馈的形式连接,则连接后的传递函数由以下函数实现:图2－39例2－8控制系统框图

单元小结

(1)建立微分方程的一般步骤是:①充分了解系统的工作原理、结构组成和支持系统运动的物理规律,找出各物理量之间所遵循的物理规律,确定系统的输入量和输出量。②一般从系统的输入端开始,根据各元件或环节所遵循的基本物理规律,分别列出相应的微分方程。③消除中间变量,将与输入量相关的项写在方程式等号的右边,与输出量有关的项写在等号的左边。

(2)典型环节的传递函数有:

(3)对动态结构图进行化简,并求得系统的传递函数。化简有两种方法:等效变换和梅逊公式。

(4)系统的传递函数可分为开环传递函数、闭环传递函数和误差传递函数等。

习题图2－40习题1图

1.利用结构图化简求图2－40所示系统的传递函数。

2.根据图2－41所示的系统结构图,求系统开环、闭环以及误差传递函数。图2－41习题2控制系统框图

3.求图2－42所示RC串联网络的传递函数。图2－42习题3控制系统框图

4.系统的信号流图如图2－43所示,试用梅逊公式求C(s)/R(s)。图2－43习题4

5.求图2－44所示系统的传递函数C(s)/R(s)。2－44习题5单元三自动控制系统的性能指标

与时域分析3.1瞬态响应3.2稳定性3.3稳态误差分析3.4应用MATLAB进行控制系统时域分析单元小结习题

学习目标

(1)了解典型输入信号的形式。

(2)会利用劳斯判据判断系统的稳定性。

(3)理解稳态误差的概念,掌握稳态误差的计算方法。

(4)能用MATLAB进行控制系统时域分析。

3.1瞬态响应

3.1.1典型输入信号典型输入信号是对复杂的实际信号的一种近似和抽象。控制系统常用的典型输入信号有单位阶跃信号、单位斜坡信号、单位抛物线信号、正弦信号等。

1.单位阶跃信号

图3－1所示为单位阶跃信号,单位阶跃信号的定义为

其拉式变换为

在时域分析中,阶跃信号用的较为广泛。如指令突然转换、合闸、负荷突变都可近似看成是阶跃信号。图3－1单位阶跃信号

2.单位斜坡信号

图3－2所示为单位斜坡信号,单位斜坡信号的定义为

其拉式变换为

在时域分析中,随动系统中恒速变化的位置指令信号、数控机床斜面的进给指令和机械手的等速移动指令等都可近似看成是斜坡信号。

3.单位抛物线信号

图3－3所示为单位抛物线信号,单位抛物线信号的定义为

其拉式变换为图33单位抛物线信号

4.正弦信号

正弦信号的定义为

其拉式变换为

3.1.2瞬态响应的性能指标

为了便于分析和比较,在系统能稳定工作的前提下,其瞬态性能通常以初始条件为零时系统对单位阶跃输入信号的响应特性来衡量,如图3－4所示。

图3－4单位阶跃响应

时域瞬态响应的性能指标一般有:

1.上升时间tr

上升时间tr是指系统的单位阶跃响应曲线从0开始到第一次到稳态值所需要的时间。tr越小,表明系统动态响应越快。

2.峰值时间tp

峰值时间tp是指系统的单位阶跃响应曲线由0开始越过稳态值第一次到达峰值所需要的时间。

3.超调量σ%

超调量σ%是指系统的单位阶跃响应曲线超出稳态值的最大偏离量占稳态值的百分比,即

4.调节时间ts

调节时间ts是指系统的单位阶跃响应曲线达到并保持在稳态值的±5%(或±2%)误差范围内,即输出响应进入并保持在±5%(或±2%)误差带之内所需要的时间。ts越小,表

示系统动态响应过程越短,系统快速性越好。

3.1.3一阶系统的瞬态响应

能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统,它的典型形式是一阶惯性环节,即

1.一阶系统的单位阶跃响应

当r(t)=1(t)时,有

对其进行拉式变换,得到

一阶惯性环节在单位阶跃输入下的响应曲线如图3－5所示。图3－5一阶惯性环节的单位阶跃响应曲线

2.一阶系统的单位斜坡响应

当r(t)=t时,有

对其进行拉式变换,得到

输入与输出间的误差为

单位斜坡响应曲线如图3－6所示。图3－6一阶惯性环节的单位斜坡响应曲线

3.1.4二阶系统的瞬态响应

可用二阶微分方程描述其动态过程的系统称为二阶系统。

1.二阶系统的典型传递函数

式中,ζ为阻尼比;ωn为无阻尼自然振荡频率。

若令

则两个特征根为

二阶系统的典型传递函数也可写成如下形式

其中

2.二阶系统的单位阶跃响应

1)欠阻尼

当0<ζ<1时,称为欠阻尼。此时,其传递函数可表示为

当r(t)=1(t)时,则

对其进行拉式反变换,得

2)临界阻尼

当ζ=1时,称为临界阻尼。此时,其传递函数可表示为

当r(t)=1(t)时,则

对其进行拉式反变换,得

3)过阻尼

当ζ>1时,称为过阻尼。此时,其传递函数可表示为

4)零阻尼

当ζ=0时,称为零阻尼。此时,其传递函数可表示为

当r(t)=1(t)时,则

对其进行拉式反变换,得

3.二阶系统的性能指标

下面对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨论和计算。

1)上升时间tr

其中

2)峰值时间tp

3)超调量σ%

超调量σ%是指系统的单位阶跃响应曲线超出稳态值的最大偏离量占稳态值的百分比,即

4)调节时间ts

例3-1如图3-7所示的某二阶系统,其中ζ=0.5,ωn=4rad/s。当输入信号为阶跃函数时,试求系统的动态响应指标。图3-7某二阶系统方框图

解根据方框图可列写出系统的闭环传递函数为

3.2稳定性

3.2.1系统稳定性概念系统的稳定性是指自动控制系统在受到扰动作用使平衡状态破坏后,经过调节,能重新达到平衡状态的性能。如果系统在扰动作用下偏离了原来的平衡状态,而且这种偏离不断扩大,即使扰动消失,系统也不能回到平衡状态,该系统就是不稳定的,如图3－8(a)所示;若通过系统自身的调节作用,使偏差最后逐渐减小,系统又恢复到平衡状态,该系统就是稳定的,如图3－8(b)所示。图3－8不稳定系统和稳定系统

系统的稳定性概念可分为绝对稳定性和相对稳定性两种。系统的绝对稳定性是指系统稳定(或不稳定)的条件,即形成如图3－8(b)所示状况的充要条件。系统的相对稳定性是指

稳定系统的稳定程度。图3－9(a)所示系统的相对稳定性就明显好于如图3－9(b)所示的系统。图3－9自动控制系统的相对稳定性

线性系统稳定的充分必要条件:如图3－8所示,稳定的系统,其过渡过程是收敛的,即其输出量的动态分量必须趋近于零。用数学的方法来研究控制系统的稳定性,可以得知

系统稳定的充要条件是:其闭环系统特征方程的所有根必须具有负实部。也就是说,系统稳定的条件是闭环特征方程的所有根必须分布在s平面的左半平面上。s平面的虚轴是稳

定的边界。系统稳定与否取决于特征方程的根,即取决于系统本身的结构和参数,而与输入信号的形式无关。

3.2.2劳斯判据

设系统的特征方程为

根据特征方程的各项系数排列成劳斯表

其中,表中前面两行由间隔取特征方程中系数形成;从第三行开始,各元素的计算按下述规律推算:

以此类推,可求出n+1行的各系数。

1.劳斯判据的一般情况

若特征方程式的各项系数都大于零(必要条件),且劳斯表中第一列元素均为正值,则所有的特征根位于s左半平面,相应的系统是稳定的。否则,系统不稳定,且第一列元素符号改变的次数等于该特征方程的正实部根的个数。

例3－2已知系统特征方程式为

试用劳斯判据判别系统的稳定性。

解从系统特征方程看出,其所有系数均为正实数,满足系统稳定的必要条件。列写劳斯判据列表如下:

第一列系数均为正数,故系统稳定

例3－3已知系统特征方程式为

试用劳斯判据判别系统的稳定性。

解从系统特征方程看出,其所有系数均为正实数,满足系统稳定的必要条件。列写劳斯判据列表如下

例3－4某单位负反馈系统的开环传递函数为

试确定系统稳定时K值的范围。

解该单位负反馈系统闭环特征方程为:

整理得

系统稳定的必要条件ai>0,则要求K>0。

列写劳斯判据列表如下

令

可得

2.劳斯判据的两种特殊情况

(1)劳斯表中某行的第一列项为零,而其余各项不为零或不全为零。

例3－5设系统特征方程为

试用劳斯判据判别系统的稳定性。

解从系统特征方程看出,其所有系数均为正实数,满足系统稳定的必要条件。列写劳斯判据列表如下:

令ε→0,s1行第一列系数符号为负,则第一列系数符号改变次数为2,因此特征方程有两个具有正实部的根,系统不稳定。

(2)劳斯表中出现第k全零行。

在该种情况下可做如下处理:

①利用第k-1行的系数构成辅助多项式,它的次数总是偶数;

②求辅助多项式对s的导数,将其系数构成新行,以代替全部为零的一行;

③计算劳斯阵列表;

④对原点对称的根可由辅助多项式等于零(即辅助方程式)求得。

用系数24取代全零行,并将劳斯表重新整理,可得

由此可知,该系统特征方程在s右半平面上没有特征根,但s1行为全零行,表明特征方程中存在大小相等、符号相反的特征根。由辅助方程F(s)=0可得根为±j2,显然系统

处于临界稳定状态。

3.3稳态误差分析

3.3.1稳态误差的概念一个好的控制系统要求稳定、快速、准确,而稳态误差就是控制系统精度的度量。设控制系统的典型结构如图3－10所示。图3－10控制系统的典型结构

系统误差的一般定义为期望值与实际值的差值。一般情况下,系统的给定值即输入量与输出量为不同的物理量,因此系统的误差不直接用它们的差值来表示,而是用给定值与反馈量的差值来定义,即

给定值代表了期望值,反馈量表示实际值。对于单位反馈系统来说,反馈量b(t)就等于输出量c(t)。稳态误差是指系统进入稳态后的误差值,即

3.3.2稳态误差的计算

1.给定信号作用下的稳态误差计算

当仅仅考虑给定信号作用下引起的系统误差时,可暂时不考虑扰动量N(s),设定N(s)=0。根据图3－10,可得到误差函数为

根据终值定理可得

令控制系统的开环传递函数为

(2)斜坡输入作用下的稳态误差及速度误差系数的计算。

定义静态速度误差系数为

则

(3)抛物线输入作用下的稳态误差及加速度误差系数的计算。

综上所述,将不同系统在各种不同控制输入信号作用下的稳态误差总结如表3－1所示。图3－11例3－7图

2.扰动信号作用下的稳态误差计算

当仅仅考虑扰动信号作用下引起的系统误差时,设定R(

s)=0,根据图3－10,可得到误差函数为图3－12例3－8图

解系统的开环传递函数为

可见为Ⅰ型系统。

3.4应用MATLAB进行控制系统时域分析

计算机仿真是进行系统分析常用的方法,特别当分析高阶系统及绘制时域响应曲线时会更加有效。MATLAB中的控制系统工具箱提供了脉冲、阶跃、任意函数等多时域响应求解函数。

如线性定常系统G(s)的传递函数为多项式之比形式,num、den为降幂排列的分子、分母系数向量,t为仿真时间,

y为在时间t内的输出响应,x是时间t内的状态响应,sys是由函数tf得到的代表G(s)的传递函数变量,则时域响应函数的调用格式为:

任意函数由u定义,它是与t相对应的输入向量。调用时如果没有设定返回变量,则MATLAB会直接绘出输出的响应曲线。如果调用step和impulse默认输入参数t,则MATLAB会自动确定仿真时间和采样周期。

阶跃响应的稳定值为

或

例3－9已知单位负反馈系统的开环传递函数为

用MATLAB求其单位脉冲响应和单位阶跃响应,绘制出响应曲线,并求单位阶跃响应的性能指标。

曲线绘制结果如图3－13所示,其中(a)为单位脉冲响应曲线,(b)为单位阶跃响应曲线。图3－13例3－9的输出响应曲线

单元小结

(1)时域分析法中的典型输入信号有单位阶跃信号、单位斜坡信号、单位抛物线信号和正弦信号等。(2)动态过程又可称为过渡过程或瞬态过程,是指系统从初始状态到接近最终状态的响应过程。稳态过程是指时间t趋于无穷时系统的输出状态。稳态过程又称稳态响应,表征系统输出量最终复现输入量的程度,提供系统有关稳态误差的信号。稳态过程用稳态性能描述。

(3)时域瞬态响应的性能指标一般有:

①上升时间是指系统的单位阶跃响应曲线从0开始到第一次到稳态值所需要的时间,tr越小,表明系统动态响应越快。

②峰值时间是指系统的单位阶跃响应曲线由0开始越过稳态值第一次到达峰值所需要的时间。

③超调量是指系统的单位阶跃响应曲线超出稳态值的最大偏离量占稳态值的百分比,即

若c(tp)<c(¥),则响应无超调。σ%反映的是系统响应过程中平稳性的状况。

④调节时间是指系统的单位阶跃响应曲线达到并保持在稳态值的±5%(或±2%)误差范围内,即输出响应进入并保持在±5%(或±2%)误差带之内所需要的时间。ts越小,

表示系统动态响应过程越短,系统快速性越好。

(4)系统能正常工作的首要条件是系统稳定。可采用劳斯判据来判断系统的稳定性。

(5)稳态误差是衡量系统控制精度的性能指标。稳态误差可分为由给定信号引起的误差以及扰动信号引起的误差两种。系统的稳态误差主要是由积分环节的个数和开环增益来

确定的。

习题

1.闭环系统的特征方程如下,试用劳斯判据判断系统的稳定性。

6.如图3－14所示的动态结构图,求:(1)暂态参数ωn、ξ、Tp、Ts。(2)系统属于什么状态(根据ξ来判断)。图314习题7

7.知一开环传递函数为试求:超调量σ%和调节时间Ts(Δ=0.05)。单元四根轨迹分析法和频域分析法4.1根轨迹分析法4.2频域分析法4.3MATLAB仿真单元小结单元小结习题

学习目标

(1)了解根轨迹的概念,会用根轨迹法分析系统性能。

(2)了解频率特性的概念,会用频率曲线分析系统性能。

(3)会用MATLAB绘制根轨迹及频率曲线。

4.1根轨迹分析法

4.1.1根轨迹的概念自动控制系统的稳定性由它的闭环极点唯一确定。当闭环传递函数的极点均处于复数平面的左半平面时,系统绝对稳定。反馈控制系统的相对稳定性也与系统闭环传递函数极点在复数平面上的位置有关。

以二阶系统为例,其极点就是系统的特征方程s2+2ξωns+ω2n=0的根。如图4－1所示,参数不同,方程的根也不同,不同的根对应的单位阶跃响应曲线也表现出不一样的稳态与动态性能。图4－1不同极点对系统新能的影响

1948年,伊万斯(W.R.EVANS)提出了直接由开环函数判别闭环特征根的图解法,解决了复杂系统的性能分析的难题,这就是著名的根轨迹法。所谓根轨迹,就是开环系统某

一参数从零变到无穷时,闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。由于根轨迹图直观、完整,且可以推算出系统参数的变化对系统闭环极点的影响趋势,所以对研究及改

善系统性能都具有重要意义。其分析问题的思路如图4－2所示。图4－2根轨迹法的基本思路

4.1.2根轨迹绘制

1.开/闭环传递函数零极点表达式

图4－3所示为一个常见的负反馈控制系统,其开环函数为Gks()=G(s)H(s)。开环传递函数中分子多项式方程的根称为开环零点,分母多项式方程的根称为开环极点。图4－3反馈系统框图

为了直观获取自控系统传递函数的零点和极点,我们习惯性地将n阶负反馈控制系统的开环传递函数表达为以下零、极点形式

式中,zi为开环零点;pj为开环极点;Kg为根轨迹增益。

闭环系统根轨迹增益也等于开环系统前向通路根轨迹增益。一般我们研究的就是Kg变化时的根轨迹。在根轨迹图中,“×”表示开环极点,“○”表示开环零点,实线表示根轨迹,箭头表示参数增加的方向。

例4－1在复平面上标出开环传递函数

的零、极点。

解由开环函数,求得零点s=-1

极点:s=0,s=-4,s=1±j1

所以,零极点分布图如图4－4所示。图4－4例4－1

2.绘制根轨迹