第3讲 函数的基本性质

第3讲函数的根本性质一．要点精讲1．奇偶性〔1〕定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，那么称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，那么称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，那么f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，那么f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：eq\o\ac(○,1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；eq\o\ac(○,2)由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，那么－x也一定是定义域内的一个自变量〔即定义域关于原点对称〕。〔2〕利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：eq\o\ac(○,1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；eq\o\ac(○,2)确定f(－x)与f(x)的关系；eq\o\ac(○,3)作出相应结论：假设f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，那么f(x)是偶函数；假设f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，那么f(x)是奇函数。〔3〕简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2．单调性〔1〕定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)〔f(x1)>f(x2)〕，那么就说f(x)在区间D上是增函数〔减函数〕；注意：eq\o\ac(○,1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；eq\o\ac(○,2)必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)〔2〕如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有〔严格的〕单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。〔3〕设复合函数y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g:x→u=g(x)的象集：①假设u=g(x)在A上是增〔或减〕函数，y=f(u)在B上也是增〔或减〕函数，那么函数y=f[g(x)]在A上是增函数；②假设u=g(x)在A上是增〔或减〕函数，而y=f(u)在B上是减〔或增〕函数，那么函数y=f[g(x)]在A上是减函数。〔4〕判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：eq\o\ac(○,1)任取x1，x2∈D，且x1<x2；eq\o\ac(○,2)作差f(x1)－f(x2)；eq\o\ac(○,3)变形〔通常是因式分解和配方〕；eq\o\ac(○,4)定号〔即判断差f(x1)－f(x2)的正负〕；eq\o\ac(○,5)下结论〔即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性〕。〔5〕简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。3．最值〔1〕定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。注意：eq\o\ac(○,1)函数最大〔小〕首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；eq\o\ac(○,2)函数最大〔小〕应该是所有函数值中最大〔小〕的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M〔f(x)≥M〕。〔2〕利用函数单调性的判断函数的最大〔小〕值的方法：eq\o\ac(○,1)利用二次函数的性质〔配方法〕求函数的最大〔小〕值；eq\o\ac(○,2)利用图象求函数的最大〔小〕值；eq\o\ac(○,3)利用函数单调性的判断函数的最大〔小〕值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减那么函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增那么函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；4．周期性〔1〕定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，那么称f(x)为周期函数；〔2〕性质：①f(x+T)=f(x)常常写作假设f(x)的周期中，存在一个最小的正数，那么称它为f(x)的最小正周期；②假设周期函数f(x)的周期为T，那么f(ωx)〔ω≠0〕是周期函数，且周期为。二．典例解析题型一：判断函数的奇偶性例1．讨论下述函数的奇偶性：点评：判断函数的奇偶性是比拟根本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，假设函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程〔要保证定义域不变〕。例2．设函数f〔x〕在〔－∞，+∞〕内有定义，以下函数：①y=－|f〔x〕|；②y=xf〔x2〕；③y=－f〔－x〕；④y=f〔x〕－f〔－x〕。必为奇函数的有_____〔要求填写正确答案的序号〕点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。题型二：奇偶性的应用例3．设f〔x〕是定义在R上的奇函数，假设当x≥0时，f〔x〕=log3〔1+x〕，那么f〔－2〕=_____。点评：该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。例4．定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2－x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]时f(x)的表达式。点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。题型三：判断证明函数的单调性例5．设，是上的偶函数。〔1〕求的值；〔2〕证明在上为增函数。例6．f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)=f(x)+，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论。点评：该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比拟特殊的问题，其根本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点。题型四：函数的单调区间例7．设函数f〔x〕＝〔a＞b＞0〕，求f〔x〕的单调区间，并证明f〔x〕在其单调区间上的单调性。点评：本小题主要考查了函数单调性的根本知识。对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间。例8．〔1〕求函数的单调区间；〔2〕假设试确定的单调区间和单调性。点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减〞的规那么。题型五：单调性的应用例9．偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。题型六：最值问题例11．设a为实数，函数f〔x〕=x2+|x－a|+1，x∈R。〔1〕讨论f〔x〕的奇偶性；〔2〕求f〔x〕的最小值。点评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的根本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为x∈R，f〔0〕=|a|+1≠0，由此排除f〔x〕是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a=0时，f〔x〕是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。题型七：周期问题例13．假设y=f(2x)的图像关于直线和对称，那么f(x)的一个周期为〔〕A．B．C．D．解：因为y=f(2x)关于对称，所以f(a+2x)=f(a－2x)。所以f(2a－2x)=f[a+(a－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)。同理，f(b+2x)=f(b－2x)，所以f(2b－2x)=f(2x)，所以f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2x)。所以f(2x)的一个周期为2b－2a，故知f(x)的一个周期为4(b－a)。选项为D。点评：考察函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规那么处理即可。假设函数y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称〔a≠b〕，那么这个函数是周期函数，其周期为2〔b－a〕。例14．函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。①证明：；②求的解析式；③求在上的解析式。点评：该题属于普通函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成数字特征。五．思维总结1．判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(x)=f(x)f(x)f(x)=0；2．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映；3．假设奇函数的定义域包含0，那么f(0)=0，因此，“f(