高中数学必修一习题课(一) 集合与常用逻辑用语

/习题课（一）集合与常用逻辑用语一、选择题1．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x>3}，则M∪N＝()A．{x|x>－3} B．{x|－3<x≤5}C．{x|3<x≤5} D．{x|x≤5}解析：选A在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x>－3}．2．下列存在量词命题是假命题的是()A．存在x∈Q，使2x－x3＝0B．存在x∈R，使x2＝0C．存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角D．有的有理数没有倒数解析：选C因为对任意的钝角三角形，其内角是锐角或是钝角，所以选项C不正确．3．“x(2x－1)＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B由x(2x－1)＝0，得x＝0或x＝eq\f(1,2)，故x(2x－1)eq\a\vs4\al(⇒/)x＝0，而x＝0⇒x(2x－1)＝0，∴“x(2x－1)＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．4．若集合A＝{x|0<x<7，x∈N*}，B＝yeq\f(6,y)∈N*，y∈A，则B中元素个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D∵A＝{1,2,3,4,5,6}，B中元素为A中能整除6的数，∴B＝{1,2,3,6}．5．命题“∃x∈∁RQ，x3∈Q”的否定是()A．∃x∉∁RQ，x3∈Q B．∃x∈∁RQ，x3∉QC．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q解析：选D存在量词命题的否定是全称量词命题．“∃”的否定是“∀”，x3∈Q的否定是x3∉Q.命题“∃x∈∁RQ，x3∈Q”的否定是“∀x∈∁RQ，x3∉Q.”6．(2018·天津高考)设x∈R，则“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”是“x3＜1”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)，得0＜x＜1，则0＜x3＜1，即“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”⇒“x3＜1”；由x3＜1，得x＜1，当x≤0时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))≥eq\f(1,2)，即“x3＜1”“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”．所以“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”是“x3＜1”的充分而不必要条件．7．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且eq\r(x)∉M，若M⊆{0,1,2,3,4,5}，则满足条件M的个数是()A．11 B．12C．15 D．16解析：选A由题意M是集合{2,3,4,5}的非空子集，有15个，且2,4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个．故选A.8．已知集合A＝{0,1，m}，B＝{x|0<x<2}，若A∩B＝{1，m}，则实数m的取值范围是()A．{m|0<m<1或1<m<2}B．{m|1<m<2}C．{m|0<m<1}D．{m|0<m<2}解析：选A因为集合A＝{0,1，m}，B＝{x|0<x<2}，A∩B＝{1，m}，所以1，m∈B，所以0<m<2.又m≠1，所以m的取值范围是{m|0<m<1或1<m<2}．9．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为()解析：选A如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.10．如果不等式|x－a|<1成立的充分不必要条件是eq\f(1,2)<x<eq\f(3,2)，则实数a的取值范围是()A.eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2) B.eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2)C．a>eq\f(3,2)或a<eq\f(1,2) D．a≥eq\f(3,2)或a≤eq\f(1,2)解析：选B由|x－a|<1，得a－1<x<a＋1.由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≤\f(1,2)，,a＋1≥\f(3,2)，))(等号不能同时成立)，即eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2).二、填空题11．设全集U＝R，若集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|2≤x≤3}，则A∩(∁UB)＝________.解析：∵∁UB＝{x|x<2或x>3}，∴A∩(∁UB)＝{1,4}．答案：{1,4}12．命题p的否定是“对所有的正数x，eq\r(x)>x＋1”，则命题p是________．答案：存在一些正数x，使得eq\r(x)≤x＋113．集合M＝{1,2，a，a2－3a－1}，N＝{－1,3}，若3∈M且N⃘M，则a的取值为________．解析：①若a＝3，则a2－3a－1＝－1，即M＝{1,2,3，－1}，显然N⊆M，不合题意．②若a2－3a－1＝3，即a＝4或a＝－1.当a＝－1时，N⊆M，舍去．当a＝4时，M＝{1,2,4,3}，满足要求．答案：414．已知p：－1<x<3，q：－1<x<m＋1，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．解析：由p：－1<x<3，q：－1<x<m＋1，q是p的必要不充分条件，即3<m＋1，即m>2.答案：(2，＋∞)三、解答题15．已知集合A＝{x|a＋1<x<2a}，集合B＝{y|y＝x2，x∈R}．(1)若6∈A，求a的取值范围；(2)若A∩B非空，求a的取值范围．解：(1)由已知有a＋1<6<2a⇒3<a<5.故a的取值范围为{a|3<a<5}．(2)由已知A∩B非空，则要求集合A中有大于0的元素即可，有2a>0⇒a>0，且2a>a＋1⇒a>1，故a的取值范围为{a|a>1}．16．设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，A∩B＝{2}．(1)求a的值及集合A，B；(2)设集合U＝A∪B，求(∁UA)∪(∁UB)的所有子集．解：(1)根据题意得2∈A,2∈B，将x＝2代入A中的方程得8＋2a＋2＝0，解得a＝－5，∴A＝{x|2x2－5x＋2＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．(2)由题意得全集U＝A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)，－5))，A∩B＝{2}，∴(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5))，∴(∁UA)∪(∁UB)的所有子集为∅，{－5}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－5，\f(1,2))).17．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m2＝0.(1)求出该方程有实数根的充要条件；(2)写出该方程有实数根的一个充分不必要条件；(3)写出该方程有实数根的一个必要不充分条件．解：(1)方程有实数根的充要条件是Δ≥0，即4－4m2≥0，解得－1≤m≤1，故方程有实数根的充要条件是－1≤m≤1.(2)有实数根的一个充分不必要条件是m＝0.(3)有实数根的一个必要不充分条件是－2<m≤2.18．对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有：A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}．据此，试回答下列问题：(1)已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×D；(2)已知A×B＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A，B；(3)若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，试确定A×B中有多少个元素．解：(1)C×D＝{(a,1)，(a