2021年山西省忻州市分水岭中学高三数学理模拟试题含解析

2021年山西省忻州市分水岭中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则等于

（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：C2.集合A={x，B=，则= A．{1} B．{0} C．{0，1} D．{-1，0，1}参考答案：A略3.已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半价为，则其离心率为（）A． B．2 C． D．参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用等积法和勾股定理，可得r=c﹣a，结合条件和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用面积相等可得S=|AF2|?|F1F2|=r（|AF1|+|AF2|+|F1F2|），由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，解得r=，，则离心率e==，故选A．4.定义在上的函数，当时，，且对任意的满足（常数），则函数在区间上的最小值是（

）

参考答案：D5.已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如图所示，φ=（）A． B． C． D．参考答案：A6.已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．【解答】解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，所以?（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；故选C．7.

在下列函数中，图象关于直线对称的是A．

B．

C．

D．

参考答案：答案：C8.（04年全国卷III理）设函数，则使得f(x)1的自变量x的取值范围为(

)A.(-∞,-2][0,10]

B.(-∞,-2][0,1]

C.(-∞,-2][1,10]

D.[-2,0][1,10]参考答案：答案：C9.已知等边的顶点在平面上，在的同侧，为中点，在上的射影是以为直角顶点的直角三角形，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是A．

B．

C．

D．

参考答案：D略10.（5分）（2015?青岛一模）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β参考答案：C【考点】：平面与平面之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案．解：选择支C正确，下面给出证明．证明：如图所示：∵m∥n，∴m、n确定一个平面γ，交平面α于直线l．∵m∥α，∴m∥l，∴l∥n．∵n⊥β，∴l⊥β，∵lα，∴α⊥β．故C正确．故选C．【点评】：正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.同时满足条件：①②若，这样的集合M有

个。参考答案：812.已知an=n（n+1），则a1+a2+…+a9=．参考答案：330【考点】数列的求和．【分析】方法一、直接法，计算即可得到所求和；方法二、由数列的求和方法：分组求和，结合n个正整数的平方和公式和等差数列的求和公式，化简整理，计算即可得到所求和．【解答】解法一、由an=n（n+1），直接计算可得：a1+a2+…+a9=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10=330．解法二、（公式法）由an=n（n+1）=n2+n，可得Sn=（12+22+…+n2）+（1+2+…+n）=+=，可得a1+a2+…+a9=S9==330．故答案为：330．13.若则的值为

____

.参考答案：略14.已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且，则棱锥的体积为

．参考答案：15.函数，若在区间上恒有解，则的取值范围为

.参考答案：16.圆C：的圆心到直线的距离是_______________.参考答案：317.多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm）

．参考答案：

cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，进而可得答案．解答： 解：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2，由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm，故几何体的体积V=×8×4=cm3，故答案为：cm3点评：本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）从小到大排列的三个数构成等比数列，它们的积为8，并且这三个数分别加上2、2、1后成等差数列中的。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，数列的前项和为，求。参考答案：略19.已知函数在[1，+∞）上为增函数．且θ∈（0，π），（1）求θ的值；（2）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）函数是单调函数，求m的取值范围．参考答案：【考点】函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（1）先对函数g（x）进行求导，根据g′（x）≥0在x≥1时成立可得≥，根据θ∈（0，π）可知sinθ＞0，所以sinθ=1求得θ的值．（2）对函数f（x）﹣g（x）进行求导，使其为单调，需m=0时，恒小于0

成立m不等于0时对于h（x）可变为K（x）=mx2﹣2x+m=0的形式求解进而根据对称轴求得所以使K（1）≥0则成立的条件求得m的范围．m＜0时，使K（1）≤0，所以m≤﹣1．综合可得答案．【解答】解：（1）求导得到g′（x）=﹣+≥0在x≥1时成立∴≥∴1≥∵θ∈（0，π）∴sinθ＞0∴sinθx≥1∴sinθ=1

θ=（2）（f（x）﹣g（x））′=m+﹣+﹣=m+﹣使其为单调∴h（x）=m+﹣=，在x≥1时m=0时

h（x）＜0恒成立．m≠0时对于h（x）=，令K（x）=mx2﹣2x+m=0的形式求解因为[1，+∞）上函数为增函数，所以m＞0时对称轴x=所以使K（1）≥0则成立所以m﹣2+m≥0所以m≥1m＜0时

使K（1）≤0

所以m≤1综上所述m≥1或m≤0【点评】本题主要考查了方程与函数的综合运用．考查了用导数法研究函数的单调性问题．20.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，短轴长为2，为原点，直线与椭圆的另一个交点为，且的面积是的面积的3倍．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于两点，若在椭圆上存在点，使为平行四边形，求取值范围.参考答案：（1）；（2）.试题分析：（1）依题意有，根据面积比求得点的坐标，代入椭圆方程求得，，所以椭圆方程为；（2）设，利用平行四边形对角线可求得点的坐标，代入椭圆方程化简得，联立，消去写出韦达定理，代入上式化简得，解得.又，解得或，则取值范围是.…………12分考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系.第一问探究椭圆的标准方程，由题意容易得到，题目另一个条件给的是面积的比，利用面积的比可以得到边长的比，进而得到点的坐标，代入椭圆方程建立等式，由此解出.第二问需要借助平行四边形的几何性质，求出点坐标后代入椭圆方程，再利用韦达定理就可以求得的范围.21.设f（x）=px﹣﹣2lnx．（Ⅰ）若f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题．分析：（I）由f（x）=px﹣﹣2lnx，得=．由px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）内恒成立，能求出P的范围．（II）法1：g（x）=在[1，e]上是减函数，所以g（x）∈[2，2e]．原命题等价于[f（x）]max＞[g（x）]min=2，x∈[1，e]，由，解得p＞，由此能求出p的取值范围．法2：原命题等价于f（x）﹣g（x）＞0在[1，e）上有解，设F（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣﹣2lnx﹣，由=，知F（x）是增函数，由[F（x）]max=F（e）＞0，能求出p的取值范围．解答： 解：（I）由f（x）=px﹣﹣2lnx，得=．…要使f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调增函数，只需f′（x）≥0，即px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）内恒成立，…从而P≥1．…（II）解法1：g（x）=在[1，e]上是减函数，所以[g（x）]min=g（e）=2，[g（x）]max=g（1）=2e，即g（x）∈[2，2e]．当0＜p＜1时，由x∈[1，e]，得x﹣，故，不合题意．…当P≥1时，由（I）知f（x）在[1，e]连续递增，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，∴原命题等价于[f（x）]max＞[g（x）]min=2，x∈[1，e]，…由，解得p＞，综上，p的取值范围是（，+∞）．…解法2：原命题等价于f（x）﹣g（x）＞0在[1，e）上有解，设F（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣﹣2lnx﹣，∵=，∴F（x）是增函数，…∴[F（x）]max=F（e）＞0，解得p＞，∴p的取值范围是（，+∞）．…点评：本题考查得用导数求函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．22.在直角坐标系xOy中，点，是曲线上的任意一点，动点C满足（1）求点C的轨迹方程；（2）经过点的动直线与点C的轨迹方程交于A、B两点，在x轴上是否存在定点D（异于点P），使得？若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）；（2）存在点符合题意.【分析】（1）设，，利用相关点代入法得到点的轨迹方程；（2）设存在