2022年广东省汕尾市陆丰林启恩纪念中学高三数学理期末试题含解析

2022年广东省汕尾市陆丰林启恩纪念中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某同学同时投掷两颗骰子，得到点数分别为，则双曲线的一条渐近线的倾斜角小于的概率为 （

）

参考答案：A略2.已知，那么 （）A． B． C． D．参考答案：C3.曲线y=e﹣x（e为自然对数的底数）在点M（1，e﹣1）处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形的面积为（）A． B． C．e D．2e参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的截距式方程．【分析】根据导数的几何意义可求得在点M（1，e﹣1）处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x轴、y轴的交点A、B，利用直角三角形的面积公式即可求得．【解答】解：f（x）=e﹣x，∴f（1）=e﹣1，f'（x）=﹣e﹣x，f'（1）=﹣e﹣1，函数f（x）在点M（1，e﹣1）处的切线方程为y﹣e﹣1=﹣e﹣1（x﹣1），即y=﹣e﹣1x+2e﹣1，设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B，∴A（2，0），B（0，2e﹣1），∴三角形的面积为×2e﹣1=，故选：B．4.数列满足：，则数列前项的和为A．

B．

C．

D．参考答案：A考点：倒序相加，错位相减，裂项抵消求和因为，所以

所以数列是以2为公差的等差数列，所以

所以所以

所以数列前项的和

故答案为：A5.已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且,若,则展开式中常数项(

)A.32 B.24 C.4 D.8参考答案：B【分析】先由二项展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，求出；再由求出，由二项展开式的通项公式，即可求出结果.【详解】因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，所以，因此，又，所以，令，则，又，所以，因此，所以展开式的通项公式为，由得，因此展开式中常数项为.故选B【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.6.设都是不等于1的正数，则“”是“”的什么条件(

)A.充分必要

B.充分非必要

C.必要非充分

D.非充分非必要参考答案：B都是不等于的正数，，，即或解得或或，根据充分必要条件的定义可得“”是“”的充分非必要条件

7.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C8.如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B． C． D．2参考答案：D【考点】球内接多面体．【分析】设AB=a，BB1=h，求出a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论．【解答】解：设AB=a，BB1=h，则OB=a，连接OB1，OB，则OB2+BB12=OB12=3，∴=3，∴a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，∴V′=6﹣6h2，当0＜h＜1时，V′＞0，1＜h＜时，V′＜0，∴h=1时，该四棱柱的体积最大，此时AB=2．故选：D．9.函数的一个单调减区间是A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为(

) A．﹣1 B． C． D．2参考答案：D考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论．解答： 解：∵函数f（x）=sin（2πx+φ）的周期T==2，则BC==1，则C点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知：=2，=∴=2?=2||2=2×12=2．故选：D．点评：本题主要考查向量的数量积运算，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设P是曲线为参数）上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹的普通方程为_____．参考答案：【分析】由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，设P（x0，y0），M（x，y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．【详解】曲线（θ为参数），即有，由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，设P（x0，y0），M（x，y），可得，代入曲线方程，可得2x02﹣y02＝1，即为2（2x）2﹣（2y）2＝1，即为8x2﹣4y2＝1．故答案为：8x2﹣4y2＝1．【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．12.若数列满足：，则前6项的和

.（用数字作答）参考答案：63试题分析：要求数列的前项的和，一般先确定下这个数列是不是等差数列或者等比数列，或者是否能转化为等差（或等比）数列，例如本题中由，，故数列是等比数列，公比，因此．考点：等比数列的定义与前项和．

13.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________。参考答案：36π取的中点，连接因为所以因为平面平面所以平面设所以所以球的表面积为14.函数y=ln(1-x)的定义域为________参考答案：[0,1)15.，若关于的方程有解，则的范围_______________.参考答案：【知识点】函数的单调性与最值B3【答案解析】m≥

∵max{a，b}=，

∴f（x）=max{|x+1|，|x-2|}的图象如下图所示：

由图可得f（x）的最小值为，若关于x的方程f（x）=m有解，则m≥，

故答案为：m≥【思路点拨】根据题中所给条件通过比较|x+1|、|x-2|哪一个更大，先画出f（x）的图象，据此函数的图象得到f（x）min=f（）=，然后根据图象交点的情况即可求出实数m的取值范围．16.在直角坐标系xOy中，过椭圆（为参数）的右焦点，斜率为的直线方程为

.

参考答案：略17.已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若?=0，则实数k的值为．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k．【解答】解：∵是夹角为的两个单位向量∴∴==∵∴解得故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C:()的离心率为,点(1,)在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若椭圆C的两条切线交于点M(4,),其中,切点分别是A、B,试利用结论:在椭圆上的点()处的椭圆切线方程是,证明直线AB恒过椭圆的右焦点;(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，试探究的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请说明理由.参考答案：解:(Ⅰ)设椭圆C的方程为()①点(1,)在椭圆C上,②,由①②得:椭圆C的方程为，

………………

3分(Ⅱ)设切点坐标,,则切线方程分别为,.又两条切线交于点M(4,),即,即点A、B的坐标都适合方程,显然对任意实数,点(1,0)都适合这个方程，故直线AB恒过椭圆的右焦点.

………………

6分(Ⅲ)将直线的方程，代入椭圆方程,得,即所以,………………

8分不妨设,,同理………10分所以==所以的值恒为常数.………………

12分略19.（12分）已知函数（Ⅰ）若，求函数的极小值；（Ⅱ）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？参考答案：解：（I）由已知得，

xk.Com]则当时，可得函数在上是减函数，当时，可得函数在上是增函数，

故函数的极小值为；(Ⅱ)若存在，设，则对于某一实数，方程在上有三个不同的实数根，设，则有两个不同的零点，即关于的方程有两个不同的解，则，设，则，故在上单调递增，则当时，即，又，则故在上是增函数，则至多只有一个解，故不存。方法二：关于方程的解，当时，由方法一知，此时方程无解；当时，可以证明是增函数，此方程最多有一个解，故不存在。20.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若sinAsinC=sin2B，求a﹣c的值．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由，可得2sin（A+C）﹣cos2B=0，解得tan2B=，可得B．（II）sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：ac=b2，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：（I）∵，∴2sin（A+C）﹣cos2B=0，∴﹣2sinBcosB=cos2B，即sin2B=﹣cos2B，解得tan2B=，∵，∴2B∈（0，π），∴，解得B=．（II）∵sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：ac=b2，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴ac=a2+c2﹣2accos，化为（a﹣c）2=0，解得a﹣c=0．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、数量积运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知函数．(1)试说明函数的图像是由函数的图像经过怎样的变换得到的；(2)(理科)若函数，试判断函数的奇偶性，并用反证法证明函数的最小正周期是；

(3)求函数的单调区间和值域．参考答案：解(1)∵，

∴．∴函数的图像可由的图像按如下方式变换得到：①将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；②将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图像；③将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图像．(说明：横坐标先放缩，再平移也可．即将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数，再将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，最后将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图像．)(2)(理科)由(1)知，，∴．

又对任意，有，∴函数是偶函数．∵，∴是周期函数，是它的一个周期．现用反证法证明是函数的最小正周期。反证法：假设不是函数的最小正周期，设是的最小正周期．则，即．令，得，两边平方后化简，得，这与()矛盾．因此，假设不成立．所以，函数的最小正周期是．

(3)(理科)先求函数在一个周期内的单调区间和函数值的取值范围。当时，，且．易知，此时函数的单调增区间是，单调减区间是；函数的取值范围是．因此，依据周期函数的性质，可知函数的单调增区间是；单调减区间是；函数的值域是．22.在一次期末数学测试中，唐老师任教班级学生的考试得分情况如表所示：分数区间人数28323820

（1）根据上述表格，试估计唐老师所任教班级的学生在本次期末数学测试的平均成绩；（2）现从成绩在[70,110)中按照分数段，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再在这5人中随机抽取2人作小题得分分析，求恰有1人的成绩在[70,90)上的概率.参考答案：（1）；（2）【分析】(1)利用表格中给出的数据即可求出平均成绩；(