2021-2022学年山西省太原市晋安中学高三数学理测试题含解析

2021-2022学年山西省太原市晋安中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则的最小值为(

)A．64 B．32 C．16 D．10参考答案：B2.如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系轴上方，其“底端”落在原点O处，一顶点及中心在轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.今使“凸轮”沿轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（

）参考答案：A3.将正整数从小到大排成一个数列，按以下规则删除一些项：先删除，再删除后面最邻近的个连续偶数，再删除后面最邻近的个连续奇数，再删除后面最邻近的个连续偶数，再删除后面最邻近的个连续奇数，按此规则一直删除下去，将可得到一个新数列，则这个新数列的第项是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A4.若实数，满足则的最大值是（

）A．-1

B．1

C.

2

D．3参考答案：C5.函数的定义域为A、

B、

C、

D、参考答案：C略6.若为实数，则“”是“”的（

）A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分条件

D.既不充分也不必要条件

参考答案：B7.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为A.

B.

C.

D.参考答案：D8.“”是“复数（）为纯虚数”的

（

）A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A：为纯虚数，则＝0，，所以，反之也成立.9.已知集合M={x|x≥﹣1}，N={x|2﹣x2≥0}，则M∪N=（）A．[﹣，+∞） B．[﹣1，] C．[﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣]∪[﹣1，+∞）参考答案：A【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】解不等式求出集合N，根据集合并集的定义得到答案．【解答】解：∵集合M={x|x≥﹣1}，N={x|2﹣x2≥0}={x|﹣≤x≤}，∴M∪N={x|x≥﹣}=[﹣，+∞），故选：A【点评】本题考查的知识点是集合的并集及其运算，属于基础题．10.定义式子运算为将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为（

）

A．

B． C．

D．参考答案：C,将其图像向左平移n各单位得到函数，因为其为偶函数，所以，又因为，所以的最小值为。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体积为．参考答案：π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】证明△ABD是直角三角形．取DB中点O，则OA=OB=OC=OD=1，即O为三棱锥外接球的球心，外接圆的半径为R=1，可得球的体积．【解答】解：BC⊥CD，BC=1，CD=，∴DB=2又因为AB=AD=，∴△ABD是直角三角形．取DB中点O，则OA=OB=OC=OD=1∴O为三棱锥外接球的球心，外接圆的半径为R=1，∴该三棱锥外接球的体积为π，故答案为：π．12.已知正实数a,b满足，则的最小值是

.参考答案：【答案解析】解析：因为a>0,b>0,所以3=.当且仅当，即时等号成立，所以ab的最小值是，又，所以，所以=.【思路点拨】利用基本不等式求解.13.设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为． 参考答案：[﹣2，1]【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则A（1，1），B（2，4）， ∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1， ∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4， 经过点A时取得最小值为a+1， 若a=0，则y=z，此时满足条件， 若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0， 要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值， 则目标函数的斜率满足﹣a≥kBC=﹣1， 即0＜a≤1， 若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0， 要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值， 则目标函数的斜率满足﹣a≤kAC=2， 即﹣2≤a＜0， 综上﹣2≤a≤1， 故答案为：[﹣2，1]． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题． 14.已知随机变量服从正态分布.若，则等于

．参考答案：试题分析：因为随机变量服从正态分布，所以，因为，所以．考点：正态分布．15.若，则函数的最小值为

.参考答案：316.从，，，这四个数中随机取出两个数组成一个两位数，则组成的两位数是的倍数的概率是

．参考答案：17.在多项式的展开式中，xy3的系数为___________．参考答案：120

根据二项式展开式可知，的系数应为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数的部分图象如图所示，其中为函数图象的最高点，是函数图象与轴的相邻两个交点，若轴不是函数图象的对称轴，且.（1）求函数的解析式；（2）若，求函数的取值范围.参考答案：19.已知椭圆的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1).（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【分析】(Ⅰ)由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.（Ⅱ）设联立得，，，.直线，令得，即；同理可得.因为,所以；，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若，且，求△ABC的面积．参考答案：（1）；（2）．（1）由，∴，∴，·················································3分∴，····························································5分∴C＝．································································6分（2）由，∴，∴，∴，·································································8分根据正弦定理，可得，解得，··················10分∴．····12分21.（12分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：．（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考答案：【考点】：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人，则随机变量ξ的可能取值有0，1，2，然后根据古典概型的概率公式求出相应的概率，从而可求出数学期望．解：（1）由30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1