2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.i2022的值为(

)A.1 B.−1 C.i D.2.数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为(

)A.6 B.6.5 C.7 D.5.53.向量a与b不共线，AB=a+kb，AC=la+bA.k+l=0 B.k−l4.一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为(

)A.3π4 B.π2 C.π5.已知向量a=(cosθ,siA.−3 B.−13 C.16.从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为(

)A.15 B.310 C.257.在△ABC中，下列命题正确的个数是(

)

①AB−AC=BC；

②AB+BA.1 B.2 C.3 D.48.已知锐角△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2B−sin2A.(23,2) B.(1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.设复数z=i+2A.z的共轭复数为2−i B.z的虚部为1

C.z在复平面内对应的点位于第二象限 10.下列说法中错误的是(

)A.已知a=(1,2),b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ∈(−53,+∞)

B.向量11.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=“第一枚出现奇数点”，事件B=“第二枚出现偶数点”，事件C=“两枚骰子出现点数和为8”，事件D=“两枚骰子出现点数和为9A.A与B互斥 B.C与D互斥 C.A与D独立 D.B与C独立12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=45°A.若a=3,△ABC有两解

B.若a=3，△ABC有两解

C.若三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设有两组数据：x1，x2，…xn与y1，y2，…yn，它们之间存在关系式：yi=axi+b(i=114.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为______．15.已知向量a=(2,1),b=(x,216.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为12，该纸片，上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△A四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

设ω=−12+32i

(18.(本小题12.0分)

已知sinα=45，α∈(π2,π)，cosβ=−519.(本小题12.0分)

为测量地形不规则的一个区域的径长AB，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到∠ACB=∠DCB，∠ACD为钝角，AC=5，AD=20.(本小题12.0分)

社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40,100]内，将笔试成绩按照[40,50)，[50,60)，…，[90,100]分组，得到如图所示频率分布直方图．

(121.(本小题12.0分)

如图，三棱锥A−BCD中，△ABC为等边三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．

(1)求证：22.(本小题12.0分)

设△ABC是边长为1的正三角形，点P1，P2，P3四等分线段BC(如图所示)．

(1)求AB⋅AP1+AP1⋅A

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵i2022=i2=−1．

2.【答案】D

【解析】解：由题意可知，共有10个数字，则第60百分位数的位置为10×60%=6，即在第6位和第7位上的数字和的平均数5+62=5.5．

3.【答案】D

【解析】解：∵a,b不共线，∴la+b≠0，且AB与AC共线，

∴存在实数λ，使a+kb=λ(la+b)，

∴λl4.【答案】A

【解析】解：依题意，设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l=1，

则l2=r2+h2=1，

底面周长为2πr=12×(2π×1)5.【答案】C

【解析】解：因为向量a=(cosθ,sinθ)，b=(2,−1)，若a//b6.【答案】B

【解析】解：从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，共有C53=10种取法，

而取出的三条线段能构成一个三角形的情况有4，6，8和4，8，10以及6，8，10，共3种，

故这三条线段能构成一个三角形的概率为P=310．

故选：B．

求出从长度为2，4，6，8，10的7.【答案】B

【解析】解：①AB−AC=CB≠BC；所以①不正确；

②AB+BC+CA=0；满足向量的运算法则，所以②正确；

③若(AB−AC)⋅(AB8.【答案】D

【解析】解：∵sin2B−sin2A=sinA⋅sinC，

∴由正弦定理可得b2−a2=ac，

∵由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，可得a2+c9.【答案】BC【解析】解：z=i+2i2=−2+i，

对于A，z−=−2−i，故A错误，

对于B，z的虚部为1，故B正确，

对于C，z在复平面内对应的点(−2,1)位于第二象限，故C正确，

10.【答案】AC【解析】解：A．a+λb=(1+λ,2+λ)，∵a与a+λb的夹角为锐角，∴a⋅(a+λb)>0且a与a+λb不共线，

∴1+λ+2(2+λ)>02+λ−2(1+λ)≠0，解得λ>−53，且λ≠0，

∴λ∈(−53,0)∪(0,+∞)，∴A错误；

B.∵e1=4e2，∴e1与e2共线，不能作为基底，B正确；

C.11.【答案】BC【解析】解：对于A，记(x,y)表示事件“第一枚点数为x，第二枚点数为y”，

则事件A包含事件(1,2)，事件B也包含事件(1,2)，

所以A∩B≠⌀，故A与B不互斥，故A错误；

对于B，事件C包含的基本事件有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)共5件，事件D包含的基本事件有(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)共4件，故C∩D=⌀，即C与D互斥，故B正确；

对于C，总的基本事件有6×6=36件，事件A的基本事件有3×6=18件，故P(A)=1836=12，

由选项B知P(D)=436=19，

而事件AD包含的基本事件有(3,6)，(5,12.【答案】AC【解析】解：由A=45°，c=2，过点B作BD⊥AC，垂足为D．

BD=csinA=2×sin45°=2，

由a=3满足2<3<2，∴此时△ABC有两解．

a=3≥2时，△ABC只有一解．

若△ABC为钝角三角形，则C13.【答案】σy【解析】解：∵两组数据：x1，x2，…xn与y1，y2，…yn，它们之间存在关系式：yi=axi+b

即第二组数据是第一组数据的a倍还要整体加上b，

在一列数字上同时加上一个数字方差不变，而同时乘以一个数字方差要乘以这个数字的平方，

∴σx214.【答案】2π【解析】解：边长为a=5、b=7、c=8的三角形ABC中，

cosB=52+82−722×5×8=12，15.【答案】32【解析】解：∵a=(2,1),b=(x,2)，

∴a⋅b=2x+2，|a|=4+16.【答案】100π【解析】解：连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为x(x>0)cm，则OI=x2,IE=6−x2，

因为该四棱维的侧面积是底面积的2倍，

所以4×x2×(6−x2)=2x2，解得x=4．

设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，如图，

则QP=QC=R,O17.【答案】(1)证明：∵ω=−12+32i，

∴ω2=−12−【解析】利用复数的运算法则即可得出．

本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

18.【答案】解：(Ⅰ)∵sinα=45，α∈(π2,π)，∴cosα=【解析】(Ⅰ)由题意利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式，计算求得结果．

(Ⅱ)由题意利用同角三角函数的基本关系求得si19.【答案】解：(1)在△ACD中，由正弦定理可得：ACsin∠ADC=ADsin∠ACD⇒5267=7sin∠ACD，

则sin∠ACD=265，因为∠ACB=∠DCB，因为∠ACD为钝角，

所以cos∠ACD=−15，所以cos∠AC【解析】(1)由正弦定理结合二倍角的余弦公式求解即可；

(2)分别在△ACD，△BCD用余弦定理可求得C20.【答案】解：(1)由频率分布直方图的性质得：

(0.005+0.010+a+0.030+a+0.015)×10=1，

解得a=0.020．

(2)应聘者笔试成绩的众数为：70+802=75，

应聘者笔试成绩的平均数为：

45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+【解析】(1)由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出a．

(2)由频率分布直方图的性质能求出应聘者笔试成绩的众数、平均数．

(3)由频率分布直方图分别求出[90,100]中有30，[80,90)中有4021.【答案】解：(1)在三棱锥A−BCD中，面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD=BC，又CD⊥BC，CD⊂面BCD，

∴CD⊥面ABC，又∵AB⊂面ABC，

∴CD⊥AB；

(2)取BC中点F，连接AF，DF，如图，

因为△ABC为等边三角形，所以AF⊥BC，

因为面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD=BC，AF⊂平面ABC，

所以AF⊥平面BCD，所以∠ADF是【解析】本题考查线线垂直的证明，二面角的余弦值的求法，直线与平面所成的角，线面垂直的判定与性质，利用余弦定理解三角形，属于较难题．

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