2021年广东省中山市纪念中学高三数学理月考试题含解析

2021年广东省中山市纪念中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（理）函数,下列关于函数的零点个数的判断正确的是

（）A．无论为何值,均有2个零点

B．无论为何值,均有4个零点C．当时,有3个零点；当时,有2个零点D．当时,有4个零点；当时,有1个零点参考答案：D2.某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是（A）10

（B）11

（C）12

（D）16参考答案：D3.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.执行如图所示的程序框图，输出的S和n的值分别是（

）A．20，5

B．20，4

C．16，5

D．16，4参考答案：A第一次循环，是，∴；第二次循环，是，∴；第三次循环，是，∴；第四次循环，是，∴；第五次循环，是，∴；否，故输出和的值分别是，.

5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金杖，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”其大意是：“现有一根长五尺的金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺重4斤．在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据上面的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则金杖的质量为（）A．12斤 B．15斤 C．15.5斤 D．18斤参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项，再由通项公式求得公差，依次可得每一尺的重量；再由由等差数列的前n项和求得金杖的质量为．【解答】解：由题意可知等差数列中a1=4，a5=2，则d=，∴，，．∴每一尺依次重4斤，3.5斤，3斤，2.5斤，2斤；S5=，∴金杖重15斤．故选：B．6.已知函数f（x）=x2+mx+n，其中1≤m≤3，0≤n≤4，记函数f（x）满足条件的事件为A，则事件A发生的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数解析式，可得事件A对应的不等式为，因此在同一坐标系内作出不等式组1≤m≤4，0≤n≤4和可得对应的平面区域，分别得到矩形ABCD和影音部分的面积，即可得到事件A发生的概率．【解答】解：∵f（x）=x2+mx+n，∴不等式，可得以m为横坐标、n为纵坐标建立直角坐标系，将不等式1≤m≤3，0≤n≤4和对应的平面区域作出，如图所示不等式组1≤m≤4，0≤n≤4对应图中的矩形ABCD，其中A（1，0），B（3，0），C（3，4），D（1，4），E（2，4），F（1，3），G（3，2）可得S矩形ABCD=2×4=8，S△DEF=×1×1=，S△ECG=×1×2=1，对应图中的阴影部分的面积为=S矩形ABCD﹣S△DEF﹣S△ECG=8﹣﹣1=∴事件A发生的概率为P（A）==故选B．【点评】本题以二次函数与不等式的运算为载体，求事件A发生的概率．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型计算公式等知识，属于中档题．7.如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出a，b的值，可得当a=b=8时，不满足条件a≠b，输出a的值为8，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=16，b=24满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=24﹣16=8，满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=16﹣8=8，不满足条件a≠b，输出a的值为8．故选：C．8.函数在区间上有几个零点（

）A．4个

B．3个

C．2个

D．1个参考答案：D略9.已知，则（

）A.9 B.36 C.84 D.243参考答案：B【分析】等价变形为，然后利用二项式定理将其拆开，求出含有的项，便可得到。【详解】解：展开式中不含；展开式中含的系数为所以，，故选B【点睛】本题考查二项式定理，解题的关键是要将原来因式的形式转化为目标因式的形式，然后再进行解题。10.如图所示，矩形的对角线相交于点，的中点为，若（为实数），则（

）A．1

B．

C．

D．参考答案：,,所以，故选C.考点：平面向量基本定理二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”．已知点，点是直线上的动点，则的最小值为____________.参考答案：612.在区间（0，1）上随机取两个数m，n，则关于x的一元二次方程x2﹣?x+m=0有实根的概率为

．参考答案：【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（m，n）对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程x2﹣?x+m=0有实根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如下图所示：试验的全部结果所构成的区域为{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1}（图中矩形所示）．其面积为1．构成事件“关于x的一元二次方程x2﹣?x+m=0有实根”的区域为{{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1，n≥4m}（如图阴影所示）．所以所求的概率为==．故答案为：．13.将连续整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为

，最大值为

.参考答案：；因为第3列前面有两列，共有10个数分别小于第3列的数，因此：最小为：3+6+9+12+15=45.因为第3列后面有两列，共有10个数分别大于第3列的数，因此：最大为：23+20+17+14+11=85.14.若直线y=kx+b是曲线y=ex+2的切线，也是曲线y=ex+1的切线，则b=．参考答案：4﹣2ln2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设直线y=kx+b与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为和，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到b的值．【解答】解：设直线y=kx+b与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为和，则切线分别为，，化简得：，，依题意有：，所以．故答案为：4﹣2ln2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求得导数和设出切点是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．15.已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为

．参考答案：略16.设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率为，则

；参考答案：817.若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,则实数的值为

．参考答案：考点：三角函数的图象和性质．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知向量记.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是、、，且满足，若，试判断△ABC的形状.参考答案：……2分

（I）由已知得，于是，∴

……6分（Ⅱ）

根据正弦定理知：......8分∵

……11分∴或或而，所以，因此ABC为等边三角形.……………13分19.已知数列满足.（Ⅰ）证明：是等比数列；（Ⅱ）求.参考答案：（Ⅰ）由得：，因为，所以，从而由得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列.（Ⅱ）由（1）得，所以.20.已知中的内角的对边分别为，若.（1）求的值；（2）求的面积.参考答案：（1）因为，所以，由正弦定理，得，由余弦定理，得，由，可得.（2）由余弦定理，又，得，所以的面积.21.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（1）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.参考答案：（1）平均数为36，众数为33；（2）详见解析；（3）甲公司被抽取员工该月收入元，乙公司被抽取员工该月收入元.【分析】（1）直接利用茎叶图中数据求甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数.（2）由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.（3）利用（2）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.【详解】（1）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：，众数为33.（2）设a为乙公司员工B投递件数，则当时，元，当时，元，X的可能取值为136，147，154，189，203，，，，，，X的分布列为：X136147154189