2021年黑龙江省哈尔滨市第五十八中学高三数学文模拟试卷含解析

2021年黑龙江省哈尔滨市第五十八中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等差数列{an}中，已知a4=5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{an}的前5项的和为（）A．15 B．20 C．25 D．15或25参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和等比中项定义，列出方程组，求出a1=﹣1，d=2，由此能求出数列{an}的前5项的和．【解答】解：∵在等差数列{an}中，a4=5，a3是a2和a6的等比中项，∴，解得a1=﹣1，d=2，∴数列{an}的前5项的和为：=5×（﹣1）+5×4=15．故选：A．【点评】本题考查等差数列的前五项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．2.已知函数的周期为2,当时,那么函数的图象与函数的图象的交点共有(

)A.10个

B.9个

C.8个

D.1个参考答案：A3.已知p为直线x+y﹣2＝0上的点，过点p作圆O：x2+y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点p有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个参考答案：B连接，则四边形为正方形，因为圆的半径为，，原点（圆心）到直线距离为符合条件的只有一个，故选B.4.已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B． C． D．2参考答案：D【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2πx+φ）的周期T==2，则BC==1，则C点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知：=2，=∴=2?=2||2=2×12=2．故选：D．【点评】本题主要考查向量的数量积运算，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．5.在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是

A．

B．

C．(1,0)

D．(1，)参考答案：B本题考查了极坐标方程与普通方程的相互转化的相关知识，容易题．由，有，化为普通方程为，其圆心坐标为，所以其极坐标方程为，故应选B．6.已知，则的值为

A.

B.

C.

D.参考答案：A【考点】复数乘除和乘方【试题解析】因为（1+bi）i=i+bi=-b+i=-1+i，所以7.已知集合若，则的值为A．1

B．2

C．1或2

D．不为零的任意实数参考答案：D略8.已知命题：，则是（

）A．

B．C．

D．参考答案：A略9.在等比数列{an}中，a1=2，公比q=2，若am=a1a2a3a4（m∈N*），则m=（）A．11 B．10 C．9 D．8参考答案：A【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】把a1和q代入am=a1a2a3a4，求得am=a1q6，根据等比数列通项公式可得m．【解答】解：am=a1a2a3a4=a14qq2q3=2426=210=2m﹣1，∴m=11，故选：A．10.在平面上，，，，若，则的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设，，设点的坐标为，由由以及，可得出关于、的等式或不等式，从中求出的取值范围可得出的取值范围.【详解】根据条件知、、、构成一个矩形，以点为坐标原点建立如下图所示的平面直角坐标系，设，，设点的坐标为，则点的坐标为，，由得，又，得，可得，，又，知，同理可得，得，故，因此，的取值范围是，故选：C.【点睛】本题考查平面向量的模长以及不等式的应用，难点在于将向量模的取值范围转化为不等式的取值范围，并利用数形结合思想来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设平面向量，（其中x＞0，y＞0）若，则的最小值为

．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出的坐标，结合数量积为0可得xy﹣2（x+y）﹣5=0，再由基本不等式转化为关于（x+y）的不等式，求出x+y的最小值，即可求得的最小值．【解答】解：∵，∴，由，得（x﹣2）（y﹣2）﹣9=0，即xy﹣2（x+y）﹣5=0．又x＞0，y＞0，∴2（x+y）+5=xy，解得x+y≤﹣2（舍），或x+y≥10．==故答案为：．12.如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=1，PO=4，则⊙O的半径为

。参考答案：213.集合，在A中任取一个元素m和在B中任取一个元素n，则所取两数的概率是

。参考答案：略14.二项式(x－)8的展开式中，常数项是

．参考答案：28【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：通项公式Tr+1=x8﹣r=（﹣1）r，令8﹣=0，解得r=6．∴常数项==28．故答案为：28．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.若正数满足，且使不等式恒成立，则实数的取值范围是

参考答案：16.在区间（0，1）上随机取两个数m，n，则关于x的一元二次方程x2﹣?x+m=0有实根的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【专题】数形结合．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（m，n）对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程x2﹣?x+m=0有实根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如下图所示：试验的全部结果所构成的区域为{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1}（图中矩形所示）．其面积为1．构成事件“关于x的一元二次方程x2﹣?x+m=0有实根”的区域为{{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1，n≥4m}（如图阴影所示）．所以所求的概率为==．故答案为：．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．17.（5分）在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为．

参考答案：﹣1考点:二项式系数的性质．专题:概率与统计．分析:所有二项式系数的和是32，可得2n=32，解得n=5．在中，令x=1，可得展开式中各项系数的和．解：∵所有二项式系数的和是32，∴2n=32，解得n=5．在中，令x=1，可得展开式中各项系数的和=（﹣1）5=﹣1．故答案为：﹣1．点评:本题考查了二项式定理及其性质，考查了计算能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列的首项,前n项和为Sn,且满足(n∈N*)．（1）求及；（2）求满足的所有的值．参考答案：(1)

解:由,得,

又,所以.

由,(n≥2)相减,得,

又,

所以数列{an}是以为首项,为公比的等比数列.因此(n∈N*)…6分(2)

由题意与(Ⅰ),得,

即

因为

,,

所以n的值为3,4.……………12分19.设函数处取得极值，且

（Ⅰ）若的值，并求的单调区间；（Ⅱ）若的取值范围。参考答案：解：①

……………1分（Ⅰ）当，；由题意知为方程的两根，所以的两根，所以由

……………………3分从而当时，，当时，故在（—1，1）单调递减，在单调递增………5分（Ⅱ）由①式及题意知为方程的两根，所以，从而由止式及题设知

…………7分令

………………9分故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为.

…………………10分又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为即以值范围为

……………………12分20.（本题满分12分）在数列中，已知，（.（1）求证：是等差数列；（2）求数列的通项公式及它的前项和.参考答案：由（1）知是等差数列，且公差为1，且

∴

∴

∴

令…………①

则……②

两式相减得：

略21.在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF是边长均为a正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH（1）求证：平面AGH⊥平面EFG（2）若a=4，求三棱锥G﹣ADE的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连接FH，由题意，知CD⊥平面BCFG，从而CD⊥GH．再求出GH⊥FG，由此能证明平面AGH⊥平面EFG．（2）由VG﹣ADE=VE﹣ADE，能求出三棱锥G﹣ADE的体积．【解答】证明：（1）连接FH，由题意，知CD⊥BC，CD⊥CF，∴CD⊥平面BCFG．又∵GH?平面BCFG，∴CD⊥GH．又∵EF∥CD，∴EF⊥GH，…由题意，得BH=，CH=，BG=，∴GH2=BG2+BH2=，FG2=（CF﹣BG）2+BC2=，FH2=CF2+CH2=，则FH2=FG2+GH2，∴GH⊥FG．…又∵EF∩FG=F，GH⊥平面EFG．…∵GH?平面AGH，∴平面AGH⊥平面EFG．…解：（2）∵