2021-2022学年江苏省南京市汇文女子中学高二数学文联考试题含解析

2021-2022学年江苏省南京市汇文女子中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“若，则”的否命题是（A）若，则 （B）若，则 （C）若，则

（D）若，则参考答案：A2.已知长方体，，，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略3.函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A.(0,4) B.[0,4) C.[0,4] D.(0,4]参考答案：B试题分析：由题意可知恒成立，当时恒成立；当时需满足，代入解不等式可得，综上可知实数的取值范围是考点：函数定义域4.直线4x﹣3y﹣12=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）A．a=3，b=﹣4 B．a=﹣3，b=4 C．a=3，b=4 D．a=﹣3，b=4参考答案：A【考点】确定直线位置的几何要素．【专题】方程思想；直线与圆．【分析】由直线4x﹣3y﹣12=0，分别令x=0与y=0，解出即可得出．【解答】解：由直线4x﹣3y﹣12=0，令y=0，解得x=3=a；令x=0，解得y=﹣4=b．∴a=3，b=﹣4．故选：A．【点评】本题考查了直线的截距，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元,其他收入为1350元),预计该地区自2004年起的2年内,农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长,其他收入每年增加160元,根据以上数据,2005年该地区农民人均收入介于()a.3200元～3400元

b.3400元～3600元c.3600元～3800元

d.3800元～4000元参考答案：C本题考查指数函数的应用.设2005年该地区农民人均收入为y元,则y=1800×(1+6%)2+1350+160×2≈3686(元).6.“双曲线方程为”是“双曲线离心率”的

（

）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B7.曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．e2 B．2e2 C．e2 D．e2参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．【解答】解析：依题意得y′=ex，因此曲线y=ex在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y﹣e2=e2（x﹣2），当x=0时，y=﹣e2即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S=×e2×1=．故选D．【点评】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．8.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1,y1）B（x2,y2）两点，如果=6，那么＝

（

）

A.6

B.8

C.9

D.10参考答案：B9.把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程组只有一组解的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】可得方程组无解的情况共（2，3）（4，6）两种，进而可得方程组只有一组解共有36﹣2=34种情形，由概率公式可得．【解答】解：由题意可得m和n的取值共6×6=36种取法，而方程组无解的情况共（2，3）（4，6）两种，方程组没有无数个解得情形，故方程组只有一组解共有36﹣2=34种情形，∴所求概率为P==故选：D10.设成等比数列，其公比为2，则的值为

（

）A．

B．

C．

D．1参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点、，为坐标原点，点为的中点，当绕点旋转时，求动点的轨迹方程

。参考答案：略12.一条直线经过P（1，2），且与A（2，3）、B（4，﹣5）距离相等，则直线l为． 参考答案：3x+2y﹣7=0和4x+y﹣6=0【考点】点到直线的距离公式． 【专题】数形结合；转化思想；直线与圆． 【分析】①当所求直线与AB平行时，求出kAB，利用点斜式即可得出． ②当所求直线经过线段AB的中点M（3，﹣1）时，求出斜率，利用点斜式即可得出． 【解答】解：①当所求直线与AB平行时，kAB==﹣4，可得y﹣2=﹣4（x﹣1），化为4x+y﹣6=0； ②当所求直线经过线段AB的中点M（3，﹣1）时，k==﹣，可得y﹣2=﹣（x﹣1），化为3x+2y﹣7=0． 综上可得所求直线方程为：4x+y﹣6=0；或3x+2y﹣7=0． 故答案为：4x+y﹣6=0；或3x+2y﹣7=0． 【点评】本题考查了中点坐标公式、斜率计算公式、点斜式、平行线之间的斜率关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 13.已知数列的前项和为，若(是常数)，则数列是等比数列的充要条件是

.

参考答案：略14.已知，且，那么直线不通过第__________象限．参考答案：三解：直线化为，∵，，设，．∴图像不经过第三象限．15.若正整数满足，则的取值范围是____________.

参考答案：略16.已知随机变量服从正态分布N(3,a2),则P(＝

.

参考答案：略17.点P是曲上任意一点，则点P到直线的最小距离为___________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数，（1）求函数的最大值和最小正周期（2）设的内角的对边分别是，且，，若，求的值参考答案：（1），的最大值为0；最小正周期为（2），解得；

又，由正弦定理---------------①，由余弦定理，即-------------②由①②解得：，。略19.△ABC三边长的倒数成等差数列，求证：角.参考答案：20.已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤﹣2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题．【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论．（2）先根据a的范围对函数f（x）的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，将问题转化为证明函数g（x）=f（x）+4x的单调性问题．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），．当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=．当x∈（0，）时，f′（x）＞0；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）单调增加，在（，+∞）单调减少．（Ⅱ）不妨假设x1≤x2．由于a≤﹣2，故f（x）在（0，+∞）单调递减．所以|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|等价于f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1．令g（x）=f（x）+4x，则+4=．于是g′（x）≤=≤0．从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x1）≥g（x2），即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，故对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．21.（14分）如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由．参考答案：【考点】平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证明BD⊥AD，利用平面EAD⊥平面ABCD，证明BD⊥平面ADE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面CDE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求BE和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求出平面BEF一个法向量，利用平面BEF⊥平面CDE，向量的数量积为0，即可得出结论．【解答】（I）证明：由BC⊥CD，BC=CD=2，可得．由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得．又AB=4，所以BD⊥AD．又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面ADE．…（II）解：建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，，，，，．设=（x，y，z）是平面CDE的一个法向量，则令x=1，则=（1，1，﹣1）．设直线BE与平面CDE所成的角为α，则sinα=所以BE和平面CDE所成的角的正弦值．…（10分）（III）解：设，λ∈[0，1]．，，．则．设=（x'，y'，z'）是平面BDF一个法向量，则令x'=1，则=（1，0，﹣）．若平面BDF⊥平面CDE，则?=0，即，．所以，在线段CE上存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE．…（14分）【点评】本题考查线面、面面垂直的判定，考查线面角，正确运用向量知识是关键．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的普通方程为，曲线C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求直线l的参数方程和极坐标方程；(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值.参考答案：(Ⅰ)直线的参数方程为(为参数)极坐标方程为()(Ⅱ)5【分析】(Ⅰ)直线的普通