2022-2023学年福建省福州市黄岐中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年福建省福州市黄岐中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是服从二项分布的随机变量，又，，则与的值为（

）A．60，

B．60，

C．50，

D．50，参考答案：B2.曲线在点（1，1）处的切线与轴及直线所围成的三角形的面积为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B3.知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D由题意可得，所以，选D.

4.在面积为的内部任取一点，则的面积大于的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：D【知识点】几何概型．B4

解析：记事件A={△PBC的面积超过}，基本事件是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE∥BC并且AD：AB=3：4），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的（）2=，所以P（A）=．故选：D．【思路点拨】在三角形ABC内部取一点P，要满足得到的三角形PBC的面积是原三角形面积的，P点应位于图中DE的下方，然后用阴影部分的面积除以原三角形的面积即可得到答案5.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（

）

A.k＞4?

B.k＞5?

C.

k＞6?

D.k＞7?

参考答案：A略6.将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得集合体的侧面积是（

）

A.4

B.8

C.2

D.参考答案：C7.若复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3参考答案：B【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，可得x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x．【解答】解：∵复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，∴x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x=1．故选：B．8.函数的定义域是A．（0，2） B．[0，2] C． D．参考答案：D9.已知F1、F2为双曲线：（，）的左、右焦点，直线与双曲线C的一个交点P在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：C10.复数z满足（1+i）2?z=﹣1+i，其中i是虚数单位．则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】设出复数z，利用复数相等，求解复数z，然后判断复数对应点所在象限即可．【解答】解：复数z=x+yi，满足（1+i）2?z=﹣1+i，可得2i（x+yi）=﹣1+i，解得x=，y=，z=（，），复数对应点在第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数的几何意义，复数相等的充要条件的应用，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知现有4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长是．参考答案：2+2【考点】LR：球内接多面体．【分析】把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，先求出小正四面体的中心到底面的距离，再求出正四面体的中心到底面的距离，把此距离乘以4可得正四棱锥的高，再根据正四面体的棱长与高的关系求得棱长．．【解答】解：由题意知，底面放三个球，上再落一个球．于是把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离=，正四面体的中心到底面的距离是，所以可知正四面体的高的最小值为（+1）×4=4+，设正四面体的棱长为m，，解得m=，故答案为：2+2．12.如果方程有解，则实数的取值范围是

.参考答案：或≤13.（5分）已知函数f（x）=（a2﹣a﹣1）x为幂函数，则a=

．参考答案：﹣1考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据幂函数的定义和解析式列出方程组，求出a的值．解答： 解：因为函数f（x）=（a2﹣a﹣1）x为幂函数，所以，解得a=﹣1，故答案为：﹣1．点评： 本题考查幂函数的解析式、定义，注意分母不为零，属于基础题．14.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则m＝

.参考答案：15.如图，在圆内接四边形中，//，过点作圆的切线与的延长线交于点.若，则

；

.参考答案：4，试题分析：由圆的弦切割定理可知：所以有，解得；连结BD，由AE是圆的切线得：；又因为AB=AD，所以，从而有：所以BD//AE，故；又因为AB//CD，所以有，从而有因此得到；故得故答案为：4和.考点：平面几何证明选讲.16.定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件.若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为

.参考答案：试题分析：由已知中利普希茨条件的定义，若函数满足利普希茨条件，所以存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有成立，不妨设，则.而，所以的最小值为.故选C.考点：1.利普希茨条件；2.利用函数的单调性求值域；恒成立问题.17.已知正四棱锥的所有棱长均为，则过该棱锥的顶点及底面正方形各边中点的球的体积为

.Ks5u参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E=cvnT，其中v为进行时相对于水的速度，T为行进时的时间（单位：h），c为常数，n为能量次级数，如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中逆流行进200km．（1）求T关于v的函数关系式；（2）①当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；②当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少．参考答案：【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）分别求出探测器相对于河岸的速度，建立条件即可即可求T关于v的函数关系式；（2）①当能量次级数为2时，利用分式函数的性质结合基本不等式进行求解．②当能量次级数为3时，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．【解答】解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小于4km/h，即为v﹣4，则=v﹣4，即T=，（v＞4）；（2）①当能量次级数为2时，由（1）知，v＞4，E=200c=200c=200c?[（v﹣4）++8]≥200c[2+8]=3200c，当且仅当v﹣4=，即v=8km/h时取等号，②当能量次级数为3时，由（1）知，E=200c?，v＞4，则E′=200c?，由E′=0，解得v=6，即当v＜6时，E′＜0，当v＞6时，E′＞0，即当v=6时，函数E取得最小值为E=21600C．19.某公司对员工进行身体素质综合测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级，测试结果如表：（单位：人）

优秀良好合格男1807020女120a30按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人．（1）求a的值；（2）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X为抽取女生的人数，求X的分布列及数学期望．参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）利用分层抽样的计算公式即可得出，进而求出a的值；（2）由题意，X所有取值0，1，2．在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生数=2，抽取的女生数=5﹣2=3．根据古典概型的概率计算公式分别计算出概率，即可得到分布列及数学期望．解答： 解：（1）设该公司共n人，由题意得，，解得，n=500；则a=500﹣（180+120+70+20+30）=80；（2）X的所有取值为0，1，2，则在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生数=2，抽取的女生数=5﹣2=3．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X012PEX=0×+1×+2×=．点评：本题考查了分层抽样的应用及古典概型概率的求法，熟练掌握分层抽样的意义及其计算公式、古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望是解题的关键．20.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为.（I）求数列的通项公式；（II）设，求数列的前n项和参考答案：21.（本题12分）各项均为正数的数列中，前项和.（1）求数列的通项公式；（2）