2021-2022学年陕西省西安市艺术学校高一数学理联考试题含解析

2021-2022学年陕西省西安市艺术学校高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知幂函数y=f（x）的图象过（4，2）点，则=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【分析】本题考查的是幂函数的图象与性质以及求解析式问题．在解答时可以先设出幂函数的解析式，由于过定点，从而可解得函数的解析式，故而获得问题的解答．【解答】解：由题意可设f（x）=xα，又函数图象过定点（4，2），∴4α=2，∴，从而可知，∴．故选D．2.若向量＝，||＝2，若·(－)＝2，则向量与的夹角为()A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据向量的数量积运算，向量的夹角公式可以求得.【详解】由已知可得：，得，设向量a与b的夹角为，则所以向量与的夹角为故选A.【点睛】本题考查向量的数量积运算和夹角公式，属于基础题.3.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D点做BC的垂线，垂足为E，则DE⊥底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则∠ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解．【解答】解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE=，DE=，tan∠ADE=，∴∠ADE=60°．故选C4.已知函数f(x)在R上为奇函数，对任意的，总有且f(1)＝0，则不等式<0的解集为

A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)参考答案：D略5.对于使f（x）≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界．若f（x）=x（1﹣2x）（0＜x＜），则f（x）的上确界为（）A．0 B． C． D．参考答案：D【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】将f（x）配方，求得对称轴，与所给区间比较，即可得到f（x）的最大值，可得f（x）的上确界．【解答】解：f（x）=x（1﹣2x）=﹣2x2+x=﹣2（x﹣）2+，可得对称轴x=∈（0，），即有x=时，f（x）取得最大值，则f（x）的上确界为．故选：D．6.已知，，若与垂直，则的值是(

)A．1

B．－1

C．0

D．±1参考答案：B7.函数的定义域是A.B.

C.

D.参考答案：C略8.若直线是异面直线，与也是异面直线，则与的位置关系是

A.平行或异面

B.相交，平行或异面

C.异面或相交

D.异面参考答案：B略9.在中,分别为角所对的边,且，，，则边的值为

(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A10.已知集合，，则A∩B=（

）A.[－1,6) B.(－1,6) C.(－4,－1] D.(－4,－1)参考答案：A解得，即故选二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知两条不同直线、，两个不同平面、，给出下列命题：①若垂直于内的两条相交直线，则⊥；②若∥，则平行于内的所有直线；③若，且⊥，则⊥；

④若，，则⊥；⑤若，且∥，则∥．其中正确命题的序号是

．（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：①④12.幂函数f（x）的图象过点(3，)，则f（4）=

．参考答案：2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设出幂函数的解析式，由图象过，确定出解析式，然后令x=4即可得到f（4）的值．【解答】解：设f（x）=xa，因为幂函数图象过，则有=3a，∴a=，即f（x）=x，∴f（4）=（4）=2．故答案为：2．【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．13.已知函数是偶函数，定义域为，则

参考答案：114.在等差数列中，已知，，则第3项

.参考答案：

5

略15.．P是双曲线的右支上一动点,F是双曲线的右焦点,已知A(3,1),则的最小值是

.参考答案：略16.已知0＜α＜β＜，且cosαcosβ+sinαsinβ=，tanβ=，则tanα=． 参考答案：【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用． 【专题】三角函数的求值． 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tan（α﹣β）的值，再利用两角和差的正切公式求得tanα的值． 【解答】解：∵0＜α＜β＜，且cosαcosβ+sinαsinβ=，∴cos（α﹣β）=，α﹣β∈（﹣，0）， ∴sin（α﹣β）=﹣，∴tan（α﹣β）==﹣，即==﹣， 求得tanα=． 故答案为：． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式，属于基础题．17.若m，n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为________．①?n⊥α；②?m∥n；③?m⊥n；④?n⊥α.参考答案：3【分析】①可由线面垂直的判定定理进行证明；②由线面垂直的性质定理可得结论正确；③可在内找的平行线进行证明；④不正确，可举反例当和确定的平面平行于．【详解】①，则垂直于内的两条相交直线，因为，所以也垂直于这两条直线，故，故①正确；②由线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线平行，结论正确；③，所以存在直线，且，因为，所以，所以，③正确；④不正确，例如和确定的平面平行于，则．【点睛】本题主要考查空间的线面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列的前项和为，，.

⑴求证：数列是等差数列.⑵设是数列的前项和，求使

对所有的都成立的最大正整数的值.参考答案：解：⑴依题意，，故，….

(2分)

当时，

①

又

②

………….

(4分)②―①整理得：，故为等比数列，且，.，即是等差数列.

……………….

(6分)⑵由⑴知，

=.………….

(9分)，依题意有，解得，……………

(11分)故所求最大正整数的值为5

….

(12分)略19.记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V（，）=|x∈V|x?=x?|（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V（，）中的三个元素；（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）比如=（1，2），=（3，4），设=（x，y），运用数量积的坐标表示，即可得到所求元素；（2）由（1）可得这些向量共线．理由：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），运用数量积的坐标表示，以及共线定理即可得到；（3）设=（s，t），=（a，b），=（c，d），=（u，v），=（e，f），运用新定义和数量积的坐标表示，解方程可得a，即可得证．【解答】解：（1）比如=（1，2），=（3，4），设=（x，y），由?=?，可得x+2y=3x+4y，即为x+y=0，则集合V（，）中的三个元素为（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3）；（2）由（1）可得这些向量共线．理由：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），由?=?，可得as+bt=cs+dt，即有s=t，即=（t，t），故集合V（，）中元素的关系为共线；（3）证明：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），=（u，v），=（e，f），若V（，）=V（，），即有as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv，解得a=?c+?e+，可令d=f，可得λ1=，λ2=，则一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．20.(本小题12分)一个袋子中装有除颜色外其他方面完全相同的2个红球、1个白球和3个黄球，甲乙两人先后从中各取1个球(不放回).(1)求至少有一人取到黄球的概率；(2)若规定两人取得的球的颜色相同则甲获胜，否则乙获胜，这样的规定公平吗？为什么？参考答案：20．(本题12分)解：将6个小球分别编为1，2，3，4，5，6号，1、2号为红球，3号为白球，4、5、6号为黄球。则所有可能结果如下表甲

乙1234561

（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）

（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）

（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）

（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）

（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）

(1)

P（至少一人取得黄球的概率）=24／30=0.8(2)

P（甲胜）=8／30，P（乙胜）=22／30，所以游戏不公平

略21.计算：(