2021-2022学年安徽省宣城市试验中学高二数学理月考试卷含解析

2021-2022学年安徽省宣城市试验中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.A、B、C、D、E五个人参加抽奖活动，现有5个红包，每人各摸一个，5个红包中有2个8元，1个18元，1个28元，1个0元，（红包中金额相同视为相同红包），则A、B两人都获奖（0元视为不获奖）的情况有（）A．18种 B．24种 C．36种 D．48种参考答案：C【分析】A、B两人都获奖（0元视为不获奖）的情况有三类：即获奖的四人为：ABCD，ABCE，ABDE，在每类情况中，获奖的情况有：=12种，由乘法原理能求出A、B两人都获奖（0元视为不获奖）的情况的种数．【解答】解：A、B两人都获奖（0元视为不获奖）的情况有三类：即获奖的四人为：ABCD，ABCE，ABDE，在每类情况中，获奖的情况有：=12种，∴由乘法原理得：A、B两人都获奖（0元视为不获奖）的情况有：3×12=36种．故选：C．2.设数列,,,,…，则是这个数列的(

)

A.第6项

B.第7项

C.第8项

D.第9项参考答案：B3.若对于任意的x∈[﹣1，0]，关于x的不等式3x2+2ax+b≤0恒成立，则a2+b2﹣1的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数恒成立问题．【分析】根据题意，结合二次函数f（x）=3x2+2ax+b的图象得出不等式组，画出该不等式所表示的平面区域，设z=a2+b2﹣1，结合图形求圆a2+b2=1+z的半径的范围即可．【解答】解：设f（a）=3x2+2ax+b，根据已知条件知：；该不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z=a2+b2﹣1，a2+b2=1+z；∴该方程表示以原点为圆心，半径为r=的圆；原点到直线﹣2a+b+3=0的距离为d=；∴该圆的半径r=；解得z≥；∴a2+b2﹣1的最小值是．故选：A．4.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1参考答案：A【考点】函数的零点；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；故选A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．5.设a，b，c∈（0，+∞），则三个数a+，b+，c+的值（）A．都大于2 B．都小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2参考答案：D【考点】进行简单的合情推理．【分析】利用反证法，即可得出结论．【解答】解：假设3个数a+＜2，b+＜2，c+＜2，则a++b++c+＜6，利用基本不等式可得a++b++c+=b++c++a+≥2+2+2=6，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以，3个数a+，b+，c+中至少有一个不小于2．故选：D．6.点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）A． B． C. D．参考答案：C【考点】Q6：极坐标刻画点的位置．【分析】利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，先将点M的直角坐标是后化成极坐标即可．【解答】解：由于ρ2=x2+y2，得：ρ2=4，ρ=2，由ρcosθ=x得：cosθ=，结合点在第二象限得：θ=，则点M的极坐标为．故选C．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．7.设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．参考答案：B【考点】基本不等式；等比数列的性质．【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因为3a?3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．8.下列各函数的导数：①；②（ax）′=a2lnx；③（sin2x）′=cos2x；④（）′=．其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：B【考点】导数的运算．【分析】根据题意，依次对4个函数求导，比较即可得答案．【解答】解：根据题意，依次对4个函数求导：对于①、y==，其导数y′=，正确；对于②、y=ax，其导数y′=axlna，计算错误；对于③、y=sin2x，其导数y′=2cos2x，计算错误；对于④、y==（x+1）﹣1，其导数y′=﹣，计算错误；只有①的计算是正确的；故选：B．9.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数可以是（

）A．1或2或3或4

B．0或2或4

C．1或3

D．0参考答案：B略10.在中，若,，，则的面积为（

）

A． B． C．1 D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是上的单调增函数，则的取值范围是__________．参考答案：即，解得．12.如图，在三棱锥中，底面，，，则与底面所成角的正切值为

．参考答案：13.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．当四边形OACB面积最大时，∠AOB=

．

参考答案：150°【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】设∠AOB=θ，并根据余弦定理，表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．【解答】解：四边形OACB的面积=△OAB的面积+△ABC的面积，设∠AOB=θ，则△ABC的面积=?AB?AC?sin60°=?AB2=（OA2+OB2﹣2OA?OB?sinθ）=（5﹣4cosθ），△OAB的面积=?OA?OB?sinθ==sinθ，四边形OACB的面积=（5﹣4cosθ）+sinθ=﹣cosθ+sinθ=+2sin（θ﹣60°），故当θ﹣60°=90°，即θ=150°时，四边形OACB的面积最大值为+2，故答案为：150°．【点评】函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|、最小值为﹣|A|求解，属于中档题．14.数列的通项公式，前项和为，则_______．参考答案：因为，所以，，，，可见，前2012项的所有奇数项为1，，1006个偶数项依次为，发现依次相邻两项的和为4，所以，.15.已知直线与圆相交于A、B两点，且，则______________.参考答案：16.若复数z满足z＝|z|－3－4i，则＝________.参考答案：略17.函数的定义域是

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题14分）某地区原森林木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材存量（1）计，，算的值；（2）由（1）的结果，推测的表达式，并用数学归纳法证明你的结论；（3）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于，如果，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（取）参考答案：19.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求a的范围.参考答案：解：（1）当时，可化为：，①当时，不等式为：，解得：，故，②当时，不等式为：，解得：，故，③当时，不等式为：，解得：，故.综上，原不等式的解集为：.（2）∵的解集包含，∴在内恒成立，∴在内恒成立，∴在内恒成立，∴，解得，即的取值范围为.

20.

已知命题“时，恒成立”；命题“方程无实数根”.若“”是假命题，且“”是真命题，求实数的取值范围.参考答案：略21.在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为，以点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，l与x轴交于点M．（1）求直线l的直角坐标方程，点M的极坐标；（2）设l与C交于A，B两点，求．参考答案：（1），；（2）【分析】（1）将由两角差的正弦公式展开，由可求直线的直角坐标方程；再通过与轴交于点，即可求得点的直角坐标，再转化成极坐标。（2）设点所对应的参数分别为，根据弦长公式求解即可。【详解】（1）由题可知直线的极坐标方程为即因为所以直线的直角坐标方程是.由题与轴交于点，所以点的直角坐标是，转化成极坐标是。（2）设点所对应的参数分别为由