2022年陕西省西安市第九十一中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2022年陕西省西安市第九十一中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如右图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为A．y2

B．y2＝3x

C．y2

D．y2＝9x参考答案：B如图，过作垂直准线于，过作垂直准线于，记准线与轴的交点为．由抛物线定义知，故，所以，即，解得，所以，代入即得答案，故选B．考点：抛物线的定义，方程．2.在上，函数与在同一点取得相同的最小值，那么在上的最大值是A．

B．

C．

D．参考答案：B3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，2b，c成等比数列，则cosB的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】等比数列的通项公式．【分析】由a，2b，c成等比数列，知4b2=ac，由此利用余弦定理和基本不等式能求出cosB的最小值．【解答】解：∵a，2b，c成等比数列，∴4b2=ac，∴cosB==﹣≥1﹣=．当且仅当a=c时，取等号，∴cosB的最小值为．故选：D．4.已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如下：012342.24.34.54.86.7

且回归方程是的预测值为（

）

A．8.1

B．8.2

C．8.3

D．8.4参考答案：C5.设（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）是变量x和y的n次方个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（）A．直线l过点B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同参考答案：A【考点】BK：线性回归方程．【分析】回归直线一定过这组数据的样本中心点，两个变量的相关系数不是直线的斜率，两个变量的相关系数的绝对值是小于1的，是在﹣1与1之间，所有的样本点集中在回归直线附近，没有特殊的限制．【解答】解：回归直线一定过这组数据的样本中心点，故A正确，两个变量的相关系数不是直线的斜率，而是需要用公式做出，故B不正确，直线斜率为负，相关系数应在（﹣1，0）之间，故C不正确，所有的样本点集中在回归直线附近，不一定两侧一样多，故D不正确，故选A．【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点的性质，考查相关系数的做法，考查样本点的分布特点，是一个基础题．6.直线的倾斜角的取值范围是（

）A．[0,]

B．[0,π]

C．[－,]

D．[0,]∪[,π]参考答案：C7.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1，上分别各取异于端点的一点E，F，M，则△MEF是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定参考答案：B【考点】棱柱的结构特征．【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，设出AE=x，AF=y，AM=z，利用勾股定理和余弦定理，求出△MEF的内角的余弦值，即可判断三角形的形状．【解答】解：如图所示，设AE=x，AF=y，AM=z，则EF2=x2+y2，MF2=y2+z2，ME2=x2+z2，∴cos∠EMF==＞0，∴∠EMF为锐角；同理，∠EFM、∠FEM也是锐角，∴△MEF是锐角三角形．故选：B．【点评】本题考查了利用余弦定理判断三角形形状的应用问题，也可以用平面向量的坐标表示求向量的夹角进行判断，是基础题目．8.方程的两个根可分别作为

的离心率。A．椭圆和双曲线

B．两条抛物线

C．椭圆和抛物线D．两个椭圆参考答案：A9.已知a=，则展开式中的常数项为(

) A．﹣160π3 B．﹣120π3 C．2π D．160π3参考答案：A考点：二项式系数的性质；定积分．专题：计算题．分析：根据定积分的几何意义可求a=，然后结合通项求出展开式中的常数项解答： 解：∵y=表示的曲线为以原点为圆心，半径为2的上半圆，根据定积分的几何意义可得a==2π，故展开式中的常数项为=﹣160π3，故选A．点评：本题主要考查了积分的几何意义的应用及利用通项求解二项展开式的指定项，属于知识的简单综合10.直线是曲线的一条切线，则实数b的值为()A．2

B．ln2＋1

C．ln2－1

D．ln2参考答案：C∵y＝lnx的导数为y′＝，∴＝，解得x＝2，∴切点为(2，ln2)．将其代入直线y＝x＋b得b＝ln2－1.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为_________.参考答案：设右焦点为F′，则

∵，

∴，

∴E是PF的中点，

∴PF′=2OE=a，

∴PF=3a，

∵OE⊥PF，

∴PF′⊥PF，

∴（3a）2+a2=4c2，

∴.

12.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为__________．参考答案：解：设双曲线为，则渐近线为，代入，∴，∵，∴．13.曲线在点（1，2）处的切线方程是

．

参考答案：14.有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现要把其倾斜角改为30°，而坡高不变，则坡长需伸长_____________米.参考答案：100(－1)略15.如图，是以为圆心，半径为的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（）__________；（）__________．参考答案：（）（）圆面积，正方形面积，∴，∵表示事件“已知豆子落在正方形中，则豆子落在扇形”的概率，∴．16.已知a，b∈R，且a≠﹣1，则|a+b|+|﹣b|的最小值是．参考答案：1【考点】基本不等式．【分析】利用绝对值不等式的性质、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：a，b∈R，且a≠﹣1，则|a+b|+|﹣b|≥=|a+1+﹣1|≥|2﹣1|=1，当且仅当a=0时取等号．故答案为：1．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.函数的值域是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题12分)已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x－3y+16=0，CA：2x+y－2=0，求AC边上的高所在的直线方程.参考答案：由解得交点B（－4，0），……………5fen.……………10fen∴AC边上的高线BD的方程

为…………15fen19.）已知点(－2,0),(2,0)，过点的直线与过点的直线相交于点，设直线斜率为，直线斜率为，且=。 （1）求直线与的交点的轨迹方程；（2）已知，设直线：与（1）中的轨迹交于、两点，直线、的倾斜角分别为，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标参考答案：（Ⅰ）设点M（x,y）,则由整理得

………3分∵由题意点M不与重合∴点不在轨迹上∴点M的轨迹方程为（）

………4分（Ⅱ）由题意知，直线的斜率存在且不为零，联立方程，消，得设

略20.某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出60名学生，将其成绩分成六段，然后画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四个小组的频率以及频率分布直方图中第四个小矩形的高；（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分．参考答案：【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）第四小组分数在[70，80）内的频率为，即可求出第四个小矩形的高，（2）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分【解答】解：（1）第四小组分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025）×10=0.30则第四个小矩形的高为=0.03，（2）由题意60分以上的各组频率和为：（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75，故这次考试的及格率约为75%，由45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，得本次考试中的平均分约为71：21.（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧棱SD=2，SA=2，∠SDC=120°．（Ⅰ）求证：AD⊥面SDC；（Ⅱ）求棱SB与面SDC所成角的大小．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由SD=2，SA=2，得AD⊥SD，又AD⊥CD，由线面垂直的判定得AD⊥侧面SDC；（Ⅱ）证明∠BSC棱SB与面SDC所成角，即可求棱SB与面SDC所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵SD=2，SA=2，∴AD⊥SD，又AD⊥CD，CD?侧面SDC，SD?侧面SDC，且SD∩CD=D，∴AD⊥侧面SDC；（Ⅱ）解：∵BC∥AD，AD⊥侧面SDC，∴∠BSC是棱SB与面SDC所成角．△SDC中，SD=2，DC=2，∠SDC=120°，∴SC=2，△BSC中，tan∠BSC=，∴∠BSC=30°，∴棱SB与面SDC所成角为30°．【点评】本题主要考查线面垂直，考查线面角的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.已知函数f（x）=．（1）求f（x）的最大值；（2）当x＞0时，f（x）＞，求正实数a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3H：函数的最值及其几何意义；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）令分母xex+1=g（x），利用导数研究其单调性可得：x=﹣1时函数g（x）取得极小值，g（﹣1）＞0．可得函数f（x）的定义域为R．f′（x）=，利用导数研究其单调性可得：x=0时，函数f（x）取得极大值即最大值．（2）当x＞0时，f（x）＞，a＞0，?（ax2﹣x+1）ex﹣1＞0．x＞0，a＞0．令h（x）=（ax2﹣x+1）ex﹣1，x＞0，a＞0．h（0）=0．h′（x）=ax（x﹣）ex．对a分类讨论利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）令分母xex+1=g（x），可得：g′（x）=ex（1+x），可得x=﹣1时函数g（x）取得极小值，g（﹣1）=1﹣＞0．∴函数f（x）的定义域为R．f′（x）=，可得x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴x=