2021年湖南省郴州市羊脑中学高三数学理联考试题含解析

2021年湖南省郴州市羊脑中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知两条平行线方程为与，则它们间距离为（

）． A． B． C． D．参考答案：C将化为，则两平行线间的距离，故选．2.已知i是虚数单位，是全体复数构成的集合，若映射R满足:对任意，以及任意R,都有,则称映射具有性质.给出如下映射:①R,,iR;②R,,iR;③R,,iR;其中,具有性质的映射的序号为A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③参考答案：B3.2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：

生二胎不生二胎合计70后30154580后451055合计7525100根据以上调查数据，认为“生二胎与年龄有关”的把握有（）参考公式：x2=，其中n=n11+n12+n21+n22．参考数据：P（x2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879A．90% B．95% C．99% D．99.9%参考答案：A【考点】独立性检验的应用．【分析】根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论．【解答】解：由题意，K2=≈3.030＞2.706，∴有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．故选A．4.下列图象不能作为函数图象的是（

）参考答案：B试题分析：B不行，因为一个对应了个，不是函数图象.考点：函数图象.5.已知，则下列函数的图象错误的是

参考答案：D略6.已知，.记，则的值是

A．2

B．

C．0

D．参考答案：答案：B7.△ABC中，角A，B，C成等差数列是成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】简易逻辑．【分析】根据等差数列和两角和的正弦公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若A，B，C成等差数列，则A+C=2B，∴B=60°，若，则sin（A+B）=，即sinAcosB+cosAsinB=，∴cosAsinB=cosAcosB，若cosA=0或tanB=，即A=90°或B=60°，∴角A，B，C成等差数列是成立的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等差数列的性质以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．8.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A．

B.

C.

D.参考答案：C9.在中，已知D是AB边上一点，若=2，=,则=(

)A. B. C.- D.-参考答案：A10.如图可表示函数y=f（x）图象的是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数的定义分别对四个图象进行判断．【解答】解：由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变化x，有唯一的一个变量y与x对应．则由定义可知A，B，C中图象均不满足函数定义．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的定义以及函数的应用．要求了解，对于一对一，多对一是函数关系，一对多不是函数关系．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若(a＋1)＜(3－2a)，则a的取值范围是__________．参考答案：【知识点】其他不等式的解法E1【答案解析】（）解析：解：∵，函数y=是（0，+∞）上的减函数，∴a+1＞3﹣2a＞0，解得，故答案为（）【思路点拨】由题意利用函数y=是（0，+∞）上的减函数，可得a+1＞3﹣2a＞0，由此解得实数a的取值范围12.化简=

参考答案：-113.已知函数，关于x的方程有且只有一个实根，则实数a的范围是

．参考答案：(1，＋∞)14.已知函数在（0，2]上恰有一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．参考答案：C略15.若展开式的常数项为60，则常数的值为

．参考答案：416.已知数列{an}中a1=1，an+1=an+n，若利用如右图所示的程序框图计算该数列的第8项，则判断框内的条件是

参考答案：17.执行右面的程序框图，那么输出的结果是________参考答案：11略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，判断直线与曲线的位置关系参考答案：已知曲线的参数方程为（t为参数），可得曲线的普通方程为，这是以坐标原点为圆心，以为半径的圆；以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，化为直角坐标方程为；由于圆心到直线的距离为，所以直线与圆的位置关系是相切.

………7分19.已知点(1,2)是函数的图象上一点，数列{an}的前n项和（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若，①求数列{an+bn}的前n项和；②设数列的前n项和为，求证：.参考答案：（Ⅰ）把点代入函数得………………2分所以数列的前n项和为当时，；当时，，对时也适合，∴.………………5分（Ⅱ）①由a＝2，，可得………………7分∴数列{bn}是以1为首项，4为公差的等差数列，故………………9分②＝＝………………11分法1：易知单调递增，故，又所以.………………14分法2：不等式运算，，……14分20.（本小题满分14分）设函数，，其中（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.参考答案：（Ⅰ）递减区间为，递增区间为，.（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.②当时，存在三个单调区间试题解析：（Ⅰ）解：由，可得，下面分两种情况讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.②当时，令，解得或.当变化时，、的变化情况如下表：

0单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（1）知且.由题意得，即，进而，又，且，由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以.（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示，两数的最大值，下面分三种情况讨论：②当时，，由（1）和（2）知，，所以在区间上的取值范围为，所以.21.

为了增强学生的环保意识，某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛，本次竞赛的成绩（得分均为整数，满分100分）整理得到的频率分布直方图如下图。若图中第一组（成绩为[40，50））对应矩形高是第六组（成绩为[90，100]）对应矩形高的一半．

（1）试求第一组、第六组分别有学生多少人？

（2）若从第一组中选出一名学生，从第六组中选

出2名学生，共3名学生召开座谈会，求第一组

中学生A1和第六组中学生B1同时被选中的概率．

参考答案：略22.（13分）已知等比数列{an}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．（Ⅰ）求公比q和a3的值；（Ⅱ）若{an}的前n项和为Sn，求证＜2．参考答案：【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】综合题；方程思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】（I）利用等比数列的通