2021年四川省遂宁市蓬溪实验中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021年四川省遂宁市蓬溪实验中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中与为同一函数的是（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：B略2.在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是某人要走三百七八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．则下列说法错误的是（）A．此人第二天走了九十六里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第三天走的路程占全程的D．此人后三天共走了42里路参考答案：C【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．【解答】解：记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴a2=a1q=192×=96，此人第一天走的路程比后五天走的路程多192﹣（378﹣192）=6，a3=a1q2=192×=48，=＞前3天周的路程为192+96+48=336，则后3天走的路程为378﹣336=42，故选：C．【点评】本题考查等比数列的通项公式的运用，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于中档题3.△ABC外接圆的半径为，圆心为，且，，则的值是

（

）A.2

B.3

C.1

D.0参考答案：B

4.设向量且,则锐角为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略5.在中，,则最短边的边长是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略6.设等差数列的前n项和为Sn，若,则当Sn取最小值时．n等于

A．6

B．7

C．8

一

D．9参考答案：7.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．3024 B．1007 C．2015 D．2016参考答案：A【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+=6+…+6=6×=3024；所以该程序运行后输出的S值是3024．故选：A．8.数列满足，且对于任意的都有则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.已知a,b是不共线的向量，=λa+b,=a+μb,(λ,μ∈R），则A、B、C共线的充要条件是（

）

A、λ+μ=1

B、λ-μ=1

C、λμ=1

D、λμ=-1参考答案：C10.定义两个实数间的一种新运算“*”：.对任意实数，给出如下结论： ①；

②；

③；其中正确的个数是

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆C1：相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为

。参考答案：x+y-3=012.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1、F2,这两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形。若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2,则e1·e2的取值范围为

。参考答案：【知识点】单元综合H10设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．

由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，

∴2c＜10，2c+2c＞10，?．?1＜＜4，

∴e2=；

e1=．

∴e1?e2==。【思路点拨】设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e1?e2的取值范围是．13.设A为曲线M上任意一点，B为曲线N上任意一点，若的最小值存在且为，则称为曲线M，N之间的距离.（1）若曲线M:为自然对数的底数），曲线N：，则曲线M，N之间的距离为

；（2）若曲线M：，曲线N：，则曲线M，N之间的距离为

．参考答案：，【知识点】单元综合B14：（1）设与直线N：y=x平行且与曲线M：y=ex相切的直线方程为y=x+t，切点P（x0，y0）．

∵y′=ex，∴ex0=1，∴x0=0．∴y0=1．∴切点P（0，1），∴1=0+t，解得t=1．∴切线方程为y=x+1．

∴曲线M，N之间的距离=．

（2）由曲线M：y2+1=x，曲线N：x2+1+y=0，可知两曲线关于直线：y=-x对称．

设与直线：y=-x平行，且与曲线N：x2+1+y=0相切于点p（x，y），由曲线N：x2+1+y=0，y′=-2x，

令-2x=-1，解得x=，y=-．切点P(，-)到直线y=-x的距离=．

∴曲线M，N之间的距离为．【思路点拨】（1）设与直线N：y=x平行且与曲线M：y=ex相切的直线方程为y=x+t，切点P（x0，y0）．利用导数的几何意义可得切点P（0，1），

代入y=x+t，解得t=1．可得切线方程为y=x+1．即可得出曲线M，N之间的距离．

（2）由曲线M：y2+1=x，曲线N：x2+1+y=0，可知两曲线关于直线：y=-x对称．设与直线：y=-x平行，且与曲线N：x2+1+y=0相切于点p（x，y），利用导数的几何意义可得切点，利用平行线之间的距离公式即可得出．14.设a∈Z，且0＜a＜13，若532017+a能被13整数，则a=

．参考答案：12【分析】532017+a=（52+1）2017+a=522017+522016+…+52+1+a．根据532017+a能被13整数，可得1+a能被13整数，即可得出．【解答】解：532017+a=（52+1）2017+a=522017+522016+…+52+1+a．∵532017+a能被13整数，∴1+a能被13整数，又a∈Z，且0＜a＜13，则a=12．故答案为：12．15.等比数列中，,则=

.参考答案：或16.在△ABC中，若sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为________．参考答案：17.在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知,且，则b=

.参考答案：4

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.(1)求的方程；(2)设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.参考答案：解：(Ⅰ)显然是椭圆的右焦点，设由题意

又离心率

，故椭圆的方程为

(Ⅱ)

由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为,方程为联立直线与椭圆方程：，化简得：设，则坐标原点到直线的距离为令，则（当且仅当即时等号成立）故当即，时的面积最大从而直线的方程为

略19.（本小题满分13分）

如图，平面四边形的四个顶点都在球的表面上， 为球的直径，为球面上一点，且平面 ，，点为的中点.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.参考答案：解：(1)证明：且，…………2分 则平行且等于，即四边形为平行四边形，所以.

…………6分 (2)以为原点，方向为轴，以平面内过点且垂直于方向为轴 以方向为轴，建立如图所示坐标系. 则，，， ，，…………8分 由，， 可求得平面PBC的法向量为 由，， 可求得平面PAD的法向量为 则， 因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

…………13分20.（本小题满分14分）已知函数当时，求的单调区间；若不是单调函数，求实数的取值范围.参考答案：（1）（2）【知识点】导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性【试题解析】函数定义域为，

;

（1）当时，，令

，

则，由，得，

则时，；时，，

所以在上是减函数，在上是增函数，

所以，

即，所以在上是增函数，

即的增区间为．

（2）由（1）知，

①当时，，

故，于是，

则在上是增函数，故不合题意；

②当时，令

，

，由，得，

于是时，；时，，

即所以在上是减函数，在上是增函数，

而，，

故在上存在唯一零点，

设其为，则时，，即；

时，，即，

所以在上是增函数，在上是减函数，

所以不是单调函数，故符合题意．

所以实数的取值范围是．21.（本小题13分）已知函数（、为常数），在时取得极值.（I）求实数的值；（II）当时，求函数的最小值；（III）当时，试比较与的大小并证明.命题意图:考查导数极值、最值，辅助函数证明不等式等，难题.参考答案：（I）

∴ …4分（II） 在上单调递减，在上单调递增在内有唯一极小值，也就是在内的最小值

…8分（III）由（II）知且在上单调递减 ∴

∴ ∴

∴

………………（13分）22.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E，F分别是A1C1，BC的中点．（1）证明：C1F∥平面ABE；（2）设P是BE的中点，求三棱锥P﹣B1C1F的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】转化思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明：C1F∥平面ABE；（2）根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥P﹣B1C1F的体积．【解答】（1）证明：取AC的中点M，连接C1M，FM，在△ABC中，FM∥AB