2021-2022学年辽宁省朝阳市凌源四官营子中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021-2022学年辽宁省朝阳市凌源四官营子中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列四个结论：①设为向量，若，则恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个参考答案：A【考点】复合命题的真假．【分析】由向量的运算性质判断出夹角是90°即可判断①正确；由命题的逆否命题，先将条件、结论调换，再分别对它们否定，即可判断②；由命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，即可判断③．【解答】解：对于①设为向量，若cos＜，＞，从而cos＜，＞=1，即和的夹角是90°，则恒成立，则①对；对于②，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”而不是逆命题，则②错；对于③，命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，反之成立，则应为必要不充分条件，则③错；故选：A．2.将函数的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到函数解析式为A.

B.

C.

D.参考答案：A3.设D为△ABC所在平面内一点，，则(

)A． B．C． D．参考答案：A【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A．【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．4.执行右面的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于

( )A、[－3,4]

B、[－5,2]C、[－4,3]D、[－2,5]参考答案：A5.已知，为虚数单位，且，则=（

）A．2

B．

C．

D．参考答案：D略6.已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈时，，则函数y=f（x）在上的大致图象是（）A． B． C． D．参考答案：A考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由题意求出函数f（x）在上的解析式，问题得以解决．解答：解：∵f（x+2）=2f（x），∴f（x）=2f（x﹣2），设x∈，则x﹣2∈，∴f（x）=，当x∈，f（x）=﹣2x2+12x﹣16，图象过点（3，2），（4，0）的抛物线的一部分，故选：A点评：本题考查了函数的解析式的求法和函数的图象的识别，属于基础题，7.是等比数列,其中是关于的方程的两根,且,则锐角的值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C8.若全集，，则=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略9.要得到函数的图象，只要将函数y=sin2x的图象（） A、向左平移个单位 B、向右平移个单位 C、向左平移个单位 D、向右平移个单位参考答案：D10.设集合，，若，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等差数列满足，则其前11项之和=__________.参考答案：66

略12.数据的方差为，平均数为，则（1）数据的标准差为，平均数为．（2）数据的标准差为，平均数为。参考答案：（1），（2），解析：（1）（2）13.若命题“存在x∈R，使2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．参考答案：14.若行列式则

▲

．参考答案：2由得，即，所以。15.已知的展开式中的系数为，则常数的值为

.参考答案：略16.若圆与圆相交于，则公共弦的长为________.参考答案：公共弦所在的直线方程为，圆的圆心到公共弦的距离为，所以公共弦的长为。17.若命题“是真命题”，则实数a的取值范围是

。参考答案：或若命题为真，则对应方程有解，即，解得或。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知函数.（Ⅰ）若在时有极值，求的值及函数的单调递减区间；（Ⅱ）当时，，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）.

由得,……………2分当时，，当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少,则在时有极小值,所以,函数的单调递减区间为（-1，0）.………………6分（Ⅱ）.令，则。若，则当时，，为减函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0.

…9分若，则当时，，为减函数，而，从而当时＜0，即＜0.

……………11分综合得的取值范围为

…12分另解:（Ⅱ）当时，，即.①当时，；

………………7分②当时，等价于，也即.记，，则.

…………8分记，，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.

…9分由洛必达法则有，即当时，所以，即有.

……………11分综上①、②所述，的取值范围为

…12分19.(本小题14分)在等差数列和等比数列中,a1=2b1=2,b6=32,的前20项和S20=230.(Ⅰ)求和;(Ⅱ)现分别从和的前4中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求所取两项中，满足an>bn的概率.参考答案：20.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．参考答案：【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）先设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2．【解答】解：（1）设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，则=8=，故，由于矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．则=，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，故矩阵M的另一个特征值为2．21.已知函数，如果函数恰有两个不同的极值点，，且.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求的最小值，并指出此时的值.参考答案：解：（Ⅰ）∵函数恰有两个不同的极值点，，即有两个零点，∴方程有两个不同的零点，

……………2分令．，

……………4分当时，，是减函数；当时，，是增函数，……6分∴在时取得最小值．∴．

…………………7分（Ⅱ）∵，即，∴

…………………9分于是，∴

…………11分∵，∴．∴当时，，是减函数；当时，，是增函数……………12分∴在上的最小值为，此时.…13分

略22.如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=．（I）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法．【专题】数形结合；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（I）根据线面平行的判定定理即可证明EF∥平面ABCD；（Ⅱ），建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，过点E作EH⊥BC于H，连接HD，∴EH=．∵平面ABCD⊥平面BCE，EH?平面BCE，平面ABD∩平面BCE=BC，∴EH⊥平面ABCD，又∵FD⊥平面ABCD，FD=，∴FD∥EH．FD=EH∴四边形EHDF为平行四边形．∴EF∥HD∵EF?平面ABCD，HD?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD（Ⅱ）连接HA由（Ⅰ），得H为BC中点，又∠CBA=60°，△ABC为等边三角形，∴AH⊥BC，分别以HB，HA，HE为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系H﹣xyz．则B（1，0，0），F（﹣2，，），E（0，